相似三角形的判定

一、基礎題目

l.如圖，6.ADE(/.)6.ACB,乙AED＝乙B,那么下列比例式成立的是（)

AEDE

ADAEDEADAEADACDED-=-

A—=—=—B—=—CECBC

.ACABBC.ABAC.AE=AB=BC

2.如圖，在6ABC中，點D,E分別在邊AB,AC上，DEi/BC，若BD=2AD,則（

ADlAD1DE1

A-=一AE1c-=-D-=-

AB2EC2BC2

B.—EC=-2

3.如圖，已知直線a//6//c,直線m交直線a,b,c千點A,B,C,直線n交直線a,b,c千點D,E,F,

AB1_.DE

若阮＝5，則百＝（

112

ABc

3-2-3-D.l

D,”“.a

RrB二(

第1題圖第2題圖第3題圖

4.如果f:::.ABCv,f:::.A'B'C'，叢ABC與叢A'B'C'的相似比為2,那么叢A'B'C'與叢ABC的相似比

為

BC

5.如圖，AB//CD//EF,AF與BE相交千點G,且AG=2,GD=LDF=5，那么—的值等于

CE

6.如圖，AB、CD相交千點0,OC=2,OD=3,ACIIBD.EF是f:::.ODB的中位線，且EF=2,則AC的長為

7.如圖，在!:::.ABC中，DE//BC，且AD=2,DB=3,則詈＝

A

Ac

F

E/\F

E'~Rr

D、

第5題圖第6題圖第7題圖

8.如圖，EGiiBC,GFIICD,AE=3,EB=2,AF=6，求加的值

A\

\

7

n

二、訓練題目

9.如圖，~ABC中，DEiiBC,EFI/AB,則圖中相似三角形的對數是（

A.1對B.2對C.3對D.4對

10.如圖，在0ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線8D于點F,則EF:FC等千（)

AC3l????2lBD3l????l2

...

.

11.如圖，在MBC中，DEIIBC,AD=3,BD=2，則心切E和MBC的相似比是；若DE=6,則BC=

`..I\

AED^

／飛／(e

BFCRr涵

第9題圖第10題圖第11題圖

12.一個三角形的三邊長分別為8cm,6cm,12cm，另一個與它相似的三角形的最短邊為3cm,則其余兩邊

長為

13.如圖，在叢BC中，DEIIBC,DE分別與AB,AC相交于D、E,若AD=4,

DB=2，求DE:BC的值。

14．如圖，小明從路燈下向前走了5米，發現自己在地面上的影子長DE是2米，如果小明的身高為l.6米，

那么路燈離地面的高度AB為多少米？

15.如圖，在0ABCD中，E為AB延長線上一點，A8=3BE,DE與BC相交千點F,請找出圖中各對相似三角

形及其相似比。

c

nA

16.有一塊三角形的草地，它的一條邊長為25m,在圖紙上，這條邊的長為5cm,其他兩條邊的長為4cm,

求其他兩邊的實際長度。

三、提升題目

17.如圖，過梯形ABCD對角線AC,BD的交點0作EF//AD,分別交兩腰AB,DC于E,F兩點，則圖中的相

似三角形共有（

A.7對B.6對C.5對D.4對

18．如圖，陽光通過窗口照在室內，在地面留有2.7m寬的亮區：已知亮區到窗口下的墻腳的距離EC=8.7m,

窗口高AB為1.8m，窗口底邊離地面的高BC的長為,n.

B三c

第17題圖第18題圖

19.如圖MBC中，DEIIBC,EFIIAB，求證叢DEV)MFC

20.如圖，MBC中，AB=8,AC=6,BC=9，如果動點D以每秒2個單位長的速度，從點B出發沿BA方

向向點A運動，直線DEIIBC,記x秒時這條直線在MBC內部的長度為Y,寫出y關千x的函數關系式，

并畫出它的圖象。

21.如圖，已知AOACOAOBD，且OA=4,AC=2,OB=2,乙C=乙[},求：

(1)b.OAC與叢OED的相似比；

(2)ED的長。

D

/1艾B

r

111

22.如圖，AD與BC交千點E,且AB//EF//CD,求證：—－=—-＋—-

EFABCD。

c

BF

23.小明正在夢登一個如圖所示的禁登架，DE和BC是兩根互相平行的固定架，DE=10Ill,BC=18Ill,小明

從底部固定點B開始攀登，攀行8米，遇上第二個固定點從小明再攀行多少米可到達這個攀登架的頂部

A?

A

E

8

R18r

24.如圖，AlJ/IE6/／BC,E6分別交AB,DB,AC千點E,F,G,已知AD=6,BC=lO,AE=3,AB=5,求防，

F6的長。

AD

G

Rr

[答案習

1-38-32

45-567-5

一、1.A2.B3.B.2...

AEAG

8.解：·..E6//BC,..·EB=GC"

AGAF

又·:GF/1DC,..:=

GCFD"

AEAF36

·伺＝而，即了下5

:.F1J=4.

:.AlJ=AF+FlJ=10.

二、9.C10.D11.0.6,10

12.4crn,6cm

13.解：·:DEIIBC

.·.MDE=MBC

..·AD=DE

ABBC

..,-DE=-4=-2

BC63

14.解：·:DCIIAB

:.MXE(/)皿E

.·.DC=DE

ABAE

..=?1.62

AB2+5

:.AB=S.6

答：路燈離地面的高度為5.6米。

15.解：根據平行四邊形性質得出DC//AB,ADIiBC,

由DC//AB，得6.DFC(/)6.EFB.

BEl

由AB=3BE,AB=CD，得一＝－．

CD3

由ADI/BC，得叢BFE(/)叢ADE，叢DFC(/)6EDA.

CD3

由AB=3BE，得—＝－．

AE4

16.解：設三角形草地其他兩邊的實際長度分別為xm,ym,依題意，得

25XY

==

0.050.040.04

:.x=20,y=20

答其他兩邊的實際長度為20m,20m.

二、17.Cl8.4

19.證明：·:DEIIBC

.?.AADE“AABC

又？EFIIAB

:./illFC=MBC

:..6.心EOAEFC

20.

解：·:DEIIBC

:.吵E。血C

:.匹＝叢2即立＝立二紅

BCAB..98

:.y=-~x+9(0<x<4)

4

列表：

三

21.解：（1)·;,6,0ACu,,6,0R[J，乙C=乙[J,

占線段OA與線段OB是對應邊。

OA42

:.60AC與60BD的相似比為—=－=－。

OB21

(2)·:60ACcn60BD,

ACOA

..BD=OB.

OB?AC2X2

.'.BD==—=1.

OA4

EFBF

22.[答案][提示沁由ABEFOABCD得——=——。1

CDBD

EFBF

同理—=-—@

ABBD

EFEF

O+＠得＋=1.

ABCD

23.解：·:龐／1/BC,

:．叢ABC(/)公ADE

ADDE-·-AD10

..=，即=

ABBCAD+81s·

:.A廬10.

答：小明再攀行10米可到達這個攀登架的頂部A。

24.解：？在叢ABC中，EGI/BC,

:.6AEG"叢ABC.

EGAE

..BC=AB.

EG3

..10=-5·..EG=6.

？在6BAD中，EFIIAD,

.EFBE

:．叢BEF少/:::,BAD.．．一AD＝－－AB.

?EF5-3.~~12

..—6=—5..·.EF=—5.

18

:.FC=EC-EF=—.

5

<27.2.1相似三角形的判定(2)》分層練習

一．基礎題

1.下列命題中，正確的個數是＿（

CD所有的正三角形都相似＠所有的直角三角形都相似＠所有的等腰三角形都相似＠所有的等腰直角三角

形都相似

ni4

A.1B.2C.3

2.如圖在Rt6ABC中，，乙ACB=90°,CD..l_AB千D點，則圖中相似三角形有(.)A/:6

A.1對B.2對C.3對D.4對

3.如圖已知AADEOAACB，其中乙AED＝乙B，則下列比例式成立的是（

A

ADAEDEADAEDE

A—=—=—B.—=—=—

ACABBCABACBC

ADACDEADAEDE

C.—=—=—D.—=—=—

AEABBCABECBC

4．如圖，銳角!::.ABC的高BD,CE交于0點，則圖中與!::.BOE相似的三角形的個數是8~二

A.1B.2C.3D.4

5.在6ABC和6A1B1C'中，乙B＝乙B'，下列條件不能判斷這兩個三角形相似的是（

ABA'B'ABA'B'

A.乙A＝乙CIB.乙A＝乙AIC.—=D.—=

BCB'C'ACA'C'

6.如圖鐵道口的欄桿短臂長1Ill，長臂長16川，當短臂端點下降0.5Ill，長臂端點升高

三，今

乙＇，多＇，今，＇

A.11.25mB.6.6mC.8mD.10.5m尸

7.如圖D為叢ABC的邊AB上一點且乙ABC＝乙ACD,AD=3cm,AB=4cm,則AC的長為

二c

8.小明正在攀登一個如圖27-2-1-14所示的攀登架，DE和BC是兩根互相平行的固定架，DE=lOm,BC=l8m,

小明從底部固定點B開始攀登，攀行8米，遇上第二個固定點D，小明再攀行米可到達這個攀登

A

架的頂部A。

E

B18c

9.將兩塊完全相同的等腰直角三角形板擺放成如圖所示的樣子，假設圖中的所有A

點，線都在同一平面內。

B

請問圖中(1)共有多少個三角形？把它們一一寫出來。

(2)有相似（不包括全等）三角形嗎？若有，請把它們一一寫出來。

10.如圖，已知6ABC，叢DCE，叢FEG是三個全等的等腰三角形，底邊BC,CE,EG在同一直線上，且AB=,BC=l，連

結BF，分別交AC,DC,DE千點P,Q,R.

(1)求BF的長；（2）求BR的長。

B/CEG

二．能力題

11.下列說法正確的個數是（

＠有一個角相等的兩個等腰三角形相似＠有一個底角相等的兩個等腰三角形相似＠所有的等腰三角形相

似＠頂角相等的兩個等腰三角形相似

A.1B.2C.3D.4

12．在LABC中，乙C=90°,D是邊AB上一點（不與點A,B重合），過點D作直線與另一邊相交，使所得的三角形

與原三角形相似，這樣的宜線有（

A.1條B.2條C.3條D.4條

13.如圖，正方形fl.BCD內接于等腰三角形PQR，則PA:PQ等于（

p

QR

BC

A.1：五B.1:2C.1:3D.2:3

14.如圖，h.ABC的底邊BC=a,高AD=h,矩形EFGH內接于h.ABC,其中E、F分別在邊AC、AB上，G、

H都在BC上，且EF=2FG。則矩形EFGH的周長是（)

B二三c

ah6ahQh6h

A

2h+aB.2h+aC.2h-aD.2h+a

15.比例規是一種畫圖工具，如圖使用它可以把線段按一定比例伸長或縮短它是由長度相等的兩腳AD和

BC交叉構成的．如果把比例規的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度3的地方（即同時使OA=30D,OB=30C)，然后

張開兩腳，使A,B兩個尖端分別在線段l的兩個端點上，這時CD=..:AB，為什么？

3｀勹

16．求證：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。

ADB

17.在叢BC中，AB=8cm,BC=l6cm,點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm／秒的速度移動，點Q從點B開始沿

BC向點C以4cm／秒的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發，經幾秒鐘心PQ與心AC相似？

18.如圖，點C、D在線段AB上，f:::.PCD是等邊三角形。

(l)當AC、CD、DB滿足怎樣的關系時，f:::.ACP(/)f:::.PDB?

(2)當叢ACP(/)叢PDB時，求乙APB的度數。A二

三．提升題

19.如圖，已知：在叢ABC中，乙BAC=90°,AD上BC,E是AC的中點，ED

F

卜

交AB的延長線千F。B

ABDF

求證：ACAF。

c

A

20.已知：如圖，矩形ABCD中，AB:BC=5:6,點E在BC上，點F在CD上，

13

F

EC=6BC,FC=5CD,FG上AE千G。

求證：AG=4GE。B

EC

21.已知：如圖，Rt6ABC中，乙ACB=90°,CDJ_AB千D,DE..l_AC千E,DF..l_BC千F。

求證：AE?BF?AB=CD3.

矗D

22.已知：如圖，在!:::.ABC中，D是BC邊上的中點，且AD=AC,DE上BC,DE與AB相交千點E,EC與AD相

交于點F。

,A

(1)求證：AABC“AFCD;

(2)若Sc,rco=5,BC=10，求DE的長。

23.已知：t:;.ABC中，乙C=90°,AC=Scm,BC=6cm。求：在t:;.ABC內作正方形，使正方形的四個頂點都在三

角形的邊或頂點上，求這個正方形的邊長。

[答案]與［解析]

l．兩個直角三角形的對應角不一定相等，對應邊也不一定成比例，等腰三角形的對應角不一定相等，所以

＠＠不正確＠符合AA,＠符合SAS.[答案j為B。

2．根據兩角對應相等的三角形相似，可以找出三對相似三角形，k答案j為C。

3．找準對應邊是關鍵．貯容案習為A。

4.叢ADB=叢AEC=60EB=叢ODC.K答案』為C。E

5.畫出草圖幫助分析，得D不滿足SAS判定法．貯奪案]為D。8

了D

AV

6．作出如右示意圖由叢AOBc:.n6EOD可求得3答案].K答案],,.C

7.由6ABC(/)6ACD,得AC2=AD?AB.[答案]2?3cm

8.解：·:DE//BC,:.6-ABCc.n6ADE.

AD10

???____:_:_=----_=—....AD=lO.[答案]10

AD+BD18

9.(1)按邊過濾找，不要重查或漏查；

(2,）根據相似三角形的條件兩角對應相等來找。

『答案習(1)7個，6-ABD,6-ABE,6-ABC,6-ADC,6-ADE,6-AEC,6-AFG;

(2)有，6.ADE=6.CDA,6.BAE=6.ADE，叢ABE=叢DCA.

10.解：(1)·:6ABC竺6DCE竺6FEG,BC=l,AB=?3,

．二BC=CE=EG=l,EF=FG=AB=?3.

:.BG=3.

FG$EGl$

—=—,—=—=—

BG3'FG?33

FGEG

=

BGFG

·:乙G＝乙G,:.L:.BFG(/)L:.FEG.

.EFEG

BFFG

$l

:.—=—..·.BF=3.

BF5

(2)·:6.ABC,6.DCE,6.FEG是三個全等的等腰三角形，

．．乙ACB＝乙DEB＝乙FGB＝乙DCE＝乙FEG.

:.ACIIDEIIFG,DCI/EF.

又·:BG=BF,:.BR=BE=,2.

11．一個等腰三角形的一個底角等于另一個等腰三角形的頂角．則這兩個等腰三角形不相似，所以＠錯；所

有等腰三角形的三個角不一定對應相等，所以＠錯，＠＠正確．歸奪案]B

12.如右圖所示，有三條直線可滿足要求．K答案]CC

13解？L'.PAD=L'.PQR,A二三/B

.PAAD

=-.

PQQR

又？QR=QB+BC+CR=3AD,

:.c正確。

『答案習C

14.分析：由題目條件中的EF=2FG得，要想求出矩形的周長，必須求出FG與高AD=h的關系。由EF//BC

得6AFE{/)6ABC,則EF與高h即可聯系上。

解：設FG=x，則

·:EF=2FG,:.EF=2x。???EF//BC,6AFE乙公ABC。

又AD..lBC,設AD交EF千M，則從l..lEF。

AMEFAD-DM2xh-x2x

=

ADBC即ADa.ha.

ah6ah

解之，得x=2h+a：．矩形EFGH的周長為6x=2h+a.

『答案習B

1

15.解：已知BC與AD交于點0,OA=30D,OB=30C.求證：co=—AB.

3

證明：?OA=30D,OB=30C,

OA3OB3.OAOB3

=-.,-=-...-=-=-

OD1.OC1ODOC1

又了乙coo＝乙BOA,

:.i6COD(/)6B0A.

.CDOD1

..-=-=-.

ABOA3

1

:.CD=--AB.

3

16.證明：.:乙A＋乙ACD=90°

乙BCD＋乙ACD=90°

乙A=乙BCD

乙ACB=乙ADC=90°

:.6ABC(/)公ACD

?ACAD

··-AB=AC

:.AC2=AD?AB

17.分析：由千兇BQ與心BC有公共角乙B；所以若兇BQ與心BC相似，則有兩種可能一種情況為

PBQBPBQB

—=—，即PQ//AC，另一種情況為－－＝一一。

ABCBCBAB

18．分析：本題是一個探索型的，它給出了一個條件，讓你自己再添加一個條件，可使兩個三角形相似，

因此，首先想到相似的判定方法，因又限制了三條邊關系，所以是以應邊就成比例。當相似了對應角相等，

易求乙APB。

解：（1)．：6PCD是等邊三角形，:.乙PCD＝乙PDC=60°,PD=PC=CD,

ACPC

從而乙ACP＝乙PDB=l20°:．當范＝玩時，f'::.ACP(/)1'::.PDB

即當CD2=AC?BD時，6ACP=6PDB

(2)當叢ACP=6PDB時，乙APC＝乙PBD.

:.乙APB＝乙APC＋乙CPD＋乙DPB＝乙PBD+60°＋乙DPB=60°+60°=120°.

19．分析：比例式左邊AB,AC在6.ABC中，右邊DF、AF在6.ADF中，這兩個三角形不相似，因此本題需

經過中間比進行代換。通過證明兩組三角形分別相似證得結論。

證明：.:乙BAC=90°,ADl.BC,:.乙ADB＝乙ADC＝乙BAC=90°,

ABBD

:.乙l+乙2=90°,乙2＋乙C=90°,:.乙l＝乙C,:.LABO=LCAD,ACAD

又？E是AC中點，．．．DE=EC,:.乙3＝乙C,又？乙3＝乙4,乙l＝乙C,

:．乙l＝乙4，又有乙F＝乙F,占LFBD=LFDA,

BDDFABDF

==

:.ADAF,:.ACAF

1

20．分析：圖中有直角三角形，充分利用直角三角形的知識，設AB=5k,BC=6k(k>O)，則EC=6BC=k,FC=

33

5CD=5AB=3k,得DF=2k,由勾股定理可得AE2=AB2+BE2=50k2.EF2=EC2+Fc2=10k2,AF2=AD2+DF2=40k2.所以

AE2=EF2+AF2由勾股定理逆定理得Rt6AFE,又因為FG上AE,具備雙垂直條件。

證明：'.'AB:BC=5:6,．．．設AB=5k,BC=6k(k>O),

:．在矩形ABCD中，有CD=AB=5k,BC=AD=6k,乙B＝乙C＝乙0=90°,

1133

'.'EC=6sc,.'.EC=6X6k=k,.'.BE=5k,'.'FC=5co,.'.FC=5X5k=3k,.'.DF=CD-FC=2k,

在Rt叢ADF中，由勾股定理得AF2=AD2+DF2=36k2+4k2=40k氣

同理可得AE2=50k2,EF2=10k氣...AF2+EF2=40k2+1Ok2=50k2=AE飛

.'.6AEF是Rt6（勾股定理逆定理），

·:FG..lAE,:.6AFE=6FGE,:.E戶＝GE?AE,·:AE=配＝5,{ik

EF210k2

:.GE=AE邁k=,/5.k,:.4GE=4、5k，占AG=AE-GE=5、EK-、/5.k=4、/5.k,

:.AG=4GE.

21.證明：RtL.ABC中，乙ACB=90°,CD..lAB,

:.CD2=AD?BD,:.CD4=AD2?BD飛

又？Rt叢ADC中，DE上AC,Rt叢BDC中，DF1-BC,

:.AD2=AE?AC,BD2=BF?BC,:.CD4=AE?BF?AC?BC,

又？ACOBC=ABOCD,:.CD4=AE?BF?AB?CD,:.AE?BF?AB=CD3

22.思路：第1問因AD=AC,:．乙ACB=L.CDF,又D是BC中點，ED..lBC,:．乙B=乙ECO,．．．6-ABCV>叢FCD。

第2問利用相似三角形的性質，作從且BC千M,易知S竺c=4S6FCDo:.s6ABC=20,AM=4,又？AM//