三垂線法作二面角的平面角的技巧求二面角的大小是考試中經(jīng)常出現(xiàn)的問題三線法作二面角的平面角是求二面角大小的一個(gè)重要方法，許多同學(xué)在解題過程中由于沒有有效地利用三垂線定或逆定)出二面角的平面角，使得解題受阻．我們把用三垂線定理或定理)作面角的平面角的方法稱為三垂線法，其作圖模型為：如圖，在二面角

—l

中，過平面

內(nèi)一點(diǎn)A作⊥平面

，垂足為，點(diǎn)O作⊥l于過A點(diǎn)作⊥于B)(或)垂定理或逆定)知⊥l(OBl)，則∠為面角。—l—平面角．作圖過程中，作出了兩條垂線AO與OB(或)，連結(jié)AB兩(或點(diǎn))這一過程可簡記為“兩垂一連中AO為“第一垂線線能否順利找到或恰當(dāng)作出是用三垂線法作二面角的平面角的關(guān)鍵，在具體解題過程中要注意以下幾點(diǎn)：．善于利用圖中已有的“第一垂線”例已斜棱柱ABC—B中∠BCA°BCA在底面ABC的射影恰11為的點(diǎn)M又知AA與面ABC成的角為60°．1(1)求證：⊥面；1(2)求二面角B一—C的大小．1剖析注該題的第問事上本題已經(jīng)暗示了就我們要尋求“第一垂線略解AA與底面成角為°，所以A＝60，又是中，所以△1AAC是三角形，作CN⊥AA于N點(diǎn)N為的點(diǎn)，連結(jié)，由⊥平面AACC111⊥AA則BNC為二面角B一一C的面角設(shè)＝BC正eq\o\ac(△,AA)eq\o\ac(△,)的長為1，所以

CN

32

a

，在中，∠BNC=

BC2333

，即∠BNC

arctan

23

例

如圖面是直角梯形的四棱—中ABC＝90°⊥面，==＝1AD

12(1)求四棱錐S—的積；(2)求面SCD與所成的二面角的正切值．

剖析：由⊥面ABCD及ABC=90，不難發(fā)現(xiàn)即“第一垂線是本題要作二面角的平面角，還需首先作出二面角的棱．略解延BA交于點(diǎn)連SE則SE是所求二面角的棱因AD∥，，所以=，所以⊥，因?yàn)椤兔鍭BCD，得面⊥面EBC，交線，又⊥，所以⊥面，故SB是CS在SEB上的射影，所以CS⊥SE所以∠是求二面角的平面角，為

SSA

AB

，⊥，因?yàn)椤螧SC

2，所求二面角的正切值為．2．借助第三個(gè)平面，作“第一垂線”例3如，正三棱柱—A的邊長為，側(cè)棱長為111

22

a

，若經(jīng)過對(duì)角線AB且對(duì)角線平行的平面交上底面一邊于D．11(1)確定點(diǎn)D的位置，并證明你的結(jié)論；(2)求二面角A—D的小．11剖析：由線面平行的性質(zhì)定理及三角形中位線性質(zhì)，易知D是C中．二面角11—一D的置屬于非常規(guī)位置的形，但是，容易發(fā)現(xiàn)，平面C過D且平面111AAB垂，這樣的平面相對(duì)于二面角的兩個(gè)平面而言，我們稱為第三個(gè)平面．過D作DF11⊥B，由面面垂直的性質(zhì)知DF面AAB，DF為們要作的“第一垂線1111略解在面A內(nèi)，作⊥B于，連DC由三垂線定理可證⊥DG11∠就二角—AB一D的面角，在正eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC中，因?yàn)镈是C中點(diǎn)，B1111111＝a所以

F

34

3a，DF，在eq\o\ac(△,Rt)DFG可求得=45°．4．利用特殊圖形的定義、性質(zhì)作“第一垂線”例已：eq\o\ac(△,Rt)ABC的邊平面ABAC分與平面30和°角，求平面

與△所平面所成二面角的大小．剖析本中沒有相對(duì)于二面角兩個(gè)平面的第三個(gè)平面可以借助是我們注意到

、AC平面成的角均已給出，只要過AO⊥于O，可同時(shí)找到AB、AC在平面內(nèi)的射影，無疑這樣得的“第一垂線"AO有非常特殊的位置，有利于二面角大小的計(jì)算．解：作AO⊥

于，ODBC于D連OB，AD，由三垂線定理得⊥，所以∠是面角A—BCO的面角，令A(yù)O＝x，在eq\o\ac(△,Rt)中，ABO°，所以AB＝x，在eq\o\ac(△,Rt)中，∠＝45，所以

AC

x

，因?yàn)椤螧AC=