第八節多元函數極值（續）

——條件極值

第八章一、多元函數的極值二、最值應用問題三、條件極值機動目錄上頁下頁返回結束一、多元函數的極值

定義:

若函數則稱函數在該點取得極大值(極小值).例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.極大值和極小值統稱為極值,使函數取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內有機動目錄上頁下頁返回結束說明:

使偏導數都為0的點稱為駐點

.例如,定理1(必要條件)函數偏導數,證:據一元函數極值的必要條件可知定理結論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點不一定是極值點.有駐點(0,0),但在該點不取極值.且在該點取得極值,則有存在故機動目錄上頁下頁返回結束時,具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內具有一階和二階連續偏導數,且令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當證明見第九節(P65).

時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數機動目錄上頁下頁返回結束例1.求函數解:

第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導數機動目錄上頁下頁返回結束在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;機動目錄上頁下頁返回結束例2.討論函數及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為機動目錄上頁下頁返回結束二、最值應用問題函數f

在閉域上連續函數f

在閉域上可達到最值

最值可疑點駐點邊界上的最值點特別,當區域內部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)依據機動目錄上頁下頁返回結束極值問題無條件極值:條件極值:對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其他條件限制這就是對目標函數的約束對自變量附加一定條件的極值問題就是條件極值問題.

例如,求單位球內接體積最大的長方體的問題,就是一個有條件的極值問題:長方體頂點必須位于球面上,其坐標應滿足方程

x2+y2+z2=1條件極值

條件極值

無條件極值

拉格朗日乘數法

變量替代法

我們舉一例說明變量替代法例現需用鋼板制造容積為2m3的有蓋的長方體水箱,問當長、寬、高各為多少時用料最省？解設長方體的長、寬、高分別為則問題歸結為下列有條件極值問題：由約束條件得代入目標函數中,使問題轉化為下列無條件極值問題：令唯一的駐點故當水箱的長、寬、高均為時,用料最省.就是已經講過的方法.上例采用的即是代入法，下面以一元函數為例，說明其具體做法：方法1變量替換法.求一元函數的無條件極值問題轉化方法2拉格朗日乘數法如方法1所述,則問題等價于一元函數可確定隱函數的極值問題,故極值點必滿足設記故有引入輔助函數

輔助函數F稱為拉格朗日(Lagrange)函數.

稱為拉格朗日乘數。極值點必滿足則極值點滿足:

利用拉格朗日函數求極值的方法稱為拉格朗日乘數法.推廣拉格朗日乘數法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.設解方程組可得到條件極值的可疑點.例如,

求函數下的極值.在條件例

解另解解令解：設(x,y,z)為橢圓上一點,則x,y,z滿足及距離解得:最長距離最短距離例.拋物面被平面截成一個橢圓,

求原點到橢圓的最長和最短距離。例求內接于橢球的最大長方體的體積,長方體的各面平行于坐標面。解設內接于橢球且各面平行于坐標面的長方體在第一卦