數(shù)學(xué)物理方程分離變量法介紹第一頁，共二十四頁，2022年，8月28日Clearly,x,t是相互獨(dú)立的變量，這個方程的兩邊互不統(tǒng)屬，而各自獨(dú)立變化。故比只能為一常數(shù)！由分離變量，波動方程（偏微分方程）變?yōu)槌Ｎ⒎址匠探M：和B.(1)的解：第二頁，共二十四頁，2022年，8月28日(2)(3)非零解：本征值：本征函數(shù)：本征值方程C2是積分常數(shù)。第三頁，共二十四頁，2022年，8月28日C.A、B是積分常數(shù)。D.由初始條件：第四頁，共二十四頁，2022年，8月28日小結(jié)分離變量：邊值確定本征值函數(shù)：初值確定疊加系數(shù)：注意：邊界值等于零（齊次邊界條件）是確定本征函數(shù)的根本。第五頁，共二十四頁，2022年，8月28日（二）例例1磁致伸縮換能器－兩端自由得均勻細(xì)桿。自由：振動傳遞給外界A.分離變量：和B.第六頁，共二十四頁，2022年，8月28日C.D.由初始條件：第七頁，共二十四頁，2022年，8月28日固定自由自由自由自由固定固定固定一、二類邊界條件決定的駐波第八頁，共二十四頁，2022年，8月28日例2:單簧管，均勻細(xì)管。研究管內(nèi)空氣柱的聲振動，縱振動。一端固定，另一端自由。求本征振動。不需要初始條件。A.分離變量：和和第九頁，共二十四頁，2022年，8月28日B.和和C.K=0：基頻。K>0：諧頻第十頁，共二十四頁，2022年，8月28日例3細(xì)桿熱傳導(dǎo)。初始均勻溫度為，保持一端溫度不變，另一端有恒定熱流流入。解：第一類邊界條件第二類邊界條件非齊次（不為零）邊界條件。無法直接根據(jù)邊界條件確定本征函數(shù)。解＝齊次邊界條件的通解＋非齊次邊界條件的特解A.非齊次邊界條件的特解：齊次邊界條件的通解:設(shè)解：則第十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日初始條件：B.分離變量和C.與上題同D.*第十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日E.“和”是迅速衰減的部分。近似：只保留k=0項。第十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日例4如圖，散熱片橫截面為矩形。溫度滿足。求穩(wěn)定溫度分布。解：穩(wěn)定分布溫度滿足拉氏方程：邊界條件：從數(shù)學(xué)上講，邊界條件與初始條件并無區(qū)別，都是確定積分常數(shù)的代數(shù)公式。盡管本題只涉及邊界條件，但可將其一視為初始條件。令：顯然，A.分離變量：第十四頁，共二十四頁，2022年，8月28日和B.C.第十五頁，共二十四頁，2022年，8月28日第十六頁，共二十四頁，2022年，8月28日例7:求電場強(qiáng)度解：建立如右圖坐標(biāo)系，Z-軸沿導(dǎo)線。導(dǎo)線無限長導(dǎo)線的情況，可將電場看作沿z方向不變。只需要研究x-y平面的狀態(tài)平面問題。導(dǎo)線的存在，如何改變電場？第十七頁，共二十四頁，2022年，8月28日真空靜電勢滿足拉普拉斯方程：或邊界條件方程云、地、導(dǎo)線。導(dǎo)線的表面是等勢面，取其為電勢零點：a為導(dǎo)線半徑云、地在無窮遠(yuǎn)處，由定義，可得，地：無窮遠(yuǎn)處電場強(qiáng)度。云：根據(jù)導(dǎo)線的邊界條件，本題應(yīng)取平面極座標(biāo)，座標(biāo)原點在導(dǎo)線中心。第十八頁，共二十四頁，2022年，8月28日分離變量自然周期邊界條件或第十九頁，共二十四頁，2022年，8月28日定解第二十頁，共二十四頁，2022年，8月28日電場強(qiáng)度第二十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日討論：電場中，第一項是無導(dǎo)線時的均勻電場。第二項為平面上圓型電荷的電場，即導(dǎo)線所帶電荷的影響。第三項為導(dǎo)線的影響。當(dāng)導(dǎo)線上無電荷時，A點