三角函數(shù)的周期性第7章

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)學(xué)習(xí)目標1.理解周期函數(shù)，最小正周期的定義.2.會求正、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期.3.能夠判斷實際問題中的周期.導(dǎo)語生活中，大家知道月亮圓了又缺，缺了又圓，這一周而復(fù)始的自然現(xiàn)象，有詩為證：“昨夜圓非今日圓，卻疑圓處減嬋娟，一年十二度圓缺，能得幾多時少年”，從詩中，我們能領(lǐng)悟到光陰無情、歲月短暫的道理，告誡人們要珍惜時光，努力學(xué)習(xí).我們知道，從角到角的三角函數(shù)值都有周而復(fù)始的現(xiàn)象，你知道這一現(xiàn)象反映的是函數(shù)的什么性質(zhì)嗎？有了前面的三角函數(shù)的圖象，今天我們來一起探究三角函數(shù)的一些性質(zhì).課時對點練一、周期函數(shù)的概念二、求三角函數(shù)的周期三、周期函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用隨堂演練內(nèi)容索引周期函數(shù)的概念

一問題1單擺運動、時鐘的圓周運動、四季變化等，都具有周期性變化的規(guī)律，對于正弦、余弦函數(shù)是否也具有周期性？提示由單位圓中的三角函數(shù)線可知，正弦、余弦函數(shù)值的變化呈現(xiàn)出周期現(xiàn)象.每當角增加(或減少)2π，所得角的終邊與原來角的終邊相同，故兩角的正弦、余弦函數(shù)值也分別相同.即有sin(x＋2π)＝sinx，cos(x＋2π)＝cosx，故正弦函數(shù)、余弦函數(shù)也具有周期性.同樣，正切函數(shù)也具有類似性質(zhì)，即tan(x＋π)＝tanx.問題2把這個性質(zhì)推廣到函數(shù)的一般形式，應(yīng)如何描述呢？提示對于函數(shù)f(x)，若存在非零常數(shù)T，使得f(x＋T)＝f(x)對定義域內(nèi)的任意x都成立，那么f(x)為周期函數(shù).知識梳理1.函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，如果存在一個

，使得對于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且

，那么函數(shù)f(x)就叫作周期函數(shù).

叫作這個函數(shù)的周期.2.最小正周期對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么，這個最小的正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期.非零的常數(shù)Tf(x＋T)＝f(x)非零常數(shù)T3.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最小正周期為2π，正切函數(shù)的最小正周期為π.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω>0)的周期為

，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω>0)的周期為

.(1)關(guān)鍵詞“任意的x”體現(xiàn)了對定義域中每一個值都得成立；(2)周期函數(shù)的周期不唯一，任何T的非零整數(shù)倍都是函數(shù)的周期；(3)三角函數(shù)的周期是函數(shù)的整體性質(zhì)，我們在研究函數(shù)時，只需研究一個周期上的圖象和性質(zhì)即可；(4)若不加特殊說明，一般求三角函數(shù)的周期的問題，求的是函數(shù)的最小正周期.注意點：求三角函數(shù)的周期

二求下列函數(shù)的周期：例1方法一(定義法)即f(x＋π)＝f(x)，方法二(公式法)(2)f(x)＝|sinx|.利用周期函數(shù)的定義，∵f(x)＝|sinx|，∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，∴f(x)的最小正周期為π.求三角函數(shù)周期的方法(1)定義法：利用周期函數(shù)的定義求解.(2)公式法：對形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A≠0，ω>0)的函數(shù)，T＝

.反思感悟

(多選)下列函數(shù)中，周期為4π的是跟蹤訓(xùn)練1√√周期函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用

三若單擺中小球相對靜止位置的位移x(cm)隨時間t(s)的變化而周期性地變化，如圖所示，請回答下列問題：例2從圖象可以看出，單擺運動的周期是0.4s.(1)單擺運動的周期是多少？(2)從O點算起，到曲線上的哪一點表示完成了一次往復(fù)運動？如從A點算起呢？若從O點算起，到曲線上的D點表示完成了一次往復(fù)運動；若從A點算起，則到曲線上的E點表示完成了一次往復(fù)運動.(3)當t＝11s時，單擺小球相對于靜止位置的位移是多少？11＝＋×27，所以小球經(jīng)過11s相對于靜止位置的位移是0cm.根據(jù)函數(shù)關(guān)系對應(yīng)的圖象，首先確定函數(shù)的周期，然后再利用周期解決問題.反思感悟已知彈簧振子對平衡位置的位移x(單位：cm)與時間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.(1)求該函數(shù)的周期；跟蹤訓(xùn)練2由圖象可知，該函數(shù)的周期為4s.(2)求t＝10.5s時彈簧振子對平衡位置的位移.設(shè)位移與時間的函數(shù)關(guān)系為x＝f(t)，由T＝4，所以f(10.5)＝f＋2×4)＝f(2.5)＝－8(cm).故t＝10.5s時彈簧振子相對平衡位置的位移為－8cm.課堂小結(jié)1.知識清單：(1)周期函數(shù)的概念.(2)三角函數(shù)的周期.(3)周期函數(shù)的實際應(yīng)用.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū)：忽視定義域內(nèi)x的任意性.隨堂演練

1.函數(shù)f(x)＝

的最小正周期為A.6π√12341234A.周期為π的奇函數(shù)

B.周期為π的偶函數(shù)C.周期為2π的奇函數(shù)

D.周期為2π的偶函數(shù)√所以該函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù).1234y＝cos(－4x)＝cos4x.√12343課時對點練

12345678910111213141516基礎(chǔ)鞏固1.函數(shù)f(x)＝

，x∈R的最小正周期為√12345678910111213141516A.±1 B.1 C.±2 √所以ω＝±1.12345678910111213141516由f(－x)＝f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱.由f(x＋2)＝f(x)，則f(x)的周期為2.3.設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是√12345678910111213141516√12345678910111213141516T＝4，f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝3.5.函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，且f(－3)＝－3，則f(99)等于A.3B.－3C.0D.－1√123456789101112131415166.(多選)下列命題中不正確的有A.存在函數(shù)f(x)定義域中的某個自變量x0，使f(x0＋T)＝f(x0)，則f(x)為周期

函數(shù)B.存在實數(shù)T，使得對f(x)定義域內(nèi)任意x，都滿足f(x＋T)＝f(x)，則f(x)為

周期函數(shù)C.周期函數(shù)可能沒有最小正周期D.周期函數(shù)的周期是唯一的√√√12345678910111213141516由周期函數(shù)的定義，可知f(x＋T)＝f(x)對定義域內(nèi)的任意一個x都成立，且T≠0，故A，B不正確；如常數(shù)函數(shù)f(x)＝1，x∈R，顯然是周期函數(shù)，但它沒有最小正周期，故C正確；若T為函數(shù)的周期，則f(x＋2T)＝f((x＋T)＋T)＝f(x＋T)＝f(x)，所以2T也是周期，故D不正確.12345678910111213141516由題意知2π·A＝3π，7.已知函數(shù)

的最小正周期為3π，則函數(shù)y＝3cos[(2A－1)x－π]的最小正周期為_____.π∴y＝3cos[(2A－1)x－π]＝3cos(2x－π)的最小正周期為T＝π.12345678910111213141516∴正整數(shù)ω的最大值為6.8.若函數(shù)f(x)＝

的最小正周期為T，且T∈(1,4)，則正整數(shù)ω的最大值為______.6123456789101112131415169.求下列函數(shù)的周期：方法一設(shè)f(x)的周期為T，1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151610.若鐘擺的高度h(mm)與時間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.(1)求該函數(shù)的周期；由圖象可知，該函數(shù)的周期為1.5s.12345678910111213141516(2)求t＝10s時鐘擺的高度.設(shè)h＝f(t)，由函數(shù)f(t)的周期為1.5s，可知f(10)＝f(1＋6×1.5)＝f(1)＝20，∴t＝10s時鐘擺的高度為20mm.綜合運用√1234567891011121314151612345678910111213141516又k∈N*，所以正整數(shù)k的最小值為13.12.函數(shù)y＝

(k>0)的最小正周期不大于2，則正整數(shù)k的最小值應(yīng)是A.10B.11C.12

√1234567891011121314151613.設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當0<x<1時，f(x)＝sinx＋x，則當1<x<2時，f(x)等于A.sinx＋x B.sin(x－2)＋x－2C.sin(x＋2)＋x＋2 D.sin(x＋2)＋x－2√12345678910111213141516當1<x<2時，－2<－x<－1，則0<2－x<1，因為當0<x<1時，f(x)＝sinx＋x，所以f(2－x)＝sin(2－x)＋2－x.因為f(x)是周期為2的奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－f(2－x)＝－sin(2－x)＋x－2＝sin(x－2)＋x－2.1234567891011121314151614.若f(x)＝

，則f(－2)＝________；f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝______.12345678910111213141516∵f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)123456789101112131415