專(zhuān)題13相似三角形

選擇題

1.（2022?黑龍江哈爾濱）如圖，48〃8.4。,3。相交于點(diǎn)區(qū)=1,EC=2,OE=3,則8。的長(zhǎng)為（）

39

A.—B.4C.—D.6

22

2.（2022?廣西賀州）如圖，在△45C中，DE//BCfDE=2,BC=5,則S聞小山內(nèi)的值是（）

A

A

BL-----

3423

A.—B.—C.-D.-

252555

r）A1

3.（2022?廣西梧州）如圖，以點(diǎn)O為位似中心,作四邊形ABC。的位似圖形AFC'。’，已知會(huì)二:，若四

OA3

邊形ABCD的面積是2,則四邊形ARC力的面積是（）

Dr

C

A.4B.6C.16D.18

O￡0BC,若胎=,，那么祭=

4.（2022?四川雅安）如圖，在SABC中，D,E分別是AB和AC上的點(diǎn),

()

A

2

cD.

-I3

5.（2022?內(nèi)蒙古包頭）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A,B,C,。四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AC

與50相交于點(diǎn)E,連接則八45七與△（?￡>￡的周長(zhǎng)比為（）

B.4：1C.1：2D.2：1

6.（2022?黑龍江綏化）如圖，在矩形A3CD中，P是邊4。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP,CP,過(guò)點(diǎn)8作射線,

交線段CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交邊A0于點(diǎn)M,且使得NABE=NCBP,如果AB=2,8C=5,AP=xfPM=y,

其中2〈兀,5.則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）

43

(1)y與x的關(guān)系式為y=x--；(2)當(dāng)AP=4時(shí)，^ABP^DPC；(3)當(dāng)AP=4時(shí)，tanZEBP=~.

x5

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

7.（2022?湖北鄂州）如圖，定直線〃20,點(diǎn)8、C分別為MN、PQ上的動(dòng)點(diǎn)，且BC=12,8C在兩直

線間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有勖CQ=60。.點(diǎn)4是MN上方一定點(diǎn)，點(diǎn)。是PQ下方一定點(diǎn)，且AE//BC//DF,AE=4,

DF=8,AD=24+,當(dāng)線段BC在平移過(guò)程中，A8+CD的最小值為（)

D

A.24713B.24s/15C.12713D.12715

8.（2022?廣西貴港）如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABC。中，ZAfiC=60°,動(dòng)點(diǎn)E在A8邊上（與點(diǎn)A、B均

不重合），點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，CE與BF相交于點(diǎn)G,連接AGOF,若AF=BE，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

（）

A.DF=CEB.ZBGC=120°C.AF2=EGECD.AG的最小值為逑

3

9.（2022?貴州貴陽(yáng)）如圖，在△43c中，D是A3邊上的點(diǎn)，NB=NACD,AC:45=1:2,貝UAAOC與AACB

的周長(zhǎng)比是（）

A.1:72B.1:2C.1:3D.1:4

10.（2022?廣西）已知S4BC與0A/B/G是位似圖形，位似比是1：3,則財(cái)BC與回A/B/G的面積比（）

A.1：3B.1：6C.1：9D.3：1

An2

11.（2022?山東臨沂）如圖，在AABC中，DE//BC,—=-,若AC=6,則EC=（）

DB3

12.（2022?山東威海）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)。的直角三角形拼成如圖所示的圖形，NAOB=NBOC=NCOD

="=/LOM=30°.若SZ\AOB=1,則圖中與△AOB位似的三角形的面積為（）

二.填空題

13.（2022?貴州黔東南）如圖，折疊邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ABC。，折痕是D0,點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，分

別延長(zhǎng)ME、交A8于點(diǎn)尸、G,若點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，則FG=cm.

爺=囂，則非

14.（2022?上海）如圖，在（MBC中，0A=30。，囪B=90。，。為AB中點(diǎn)，E在線段AC上,

Ap1

15.（2022?北京）如圖，在矩形A3CO中，^AB=3,AC=5,—=-,則AE的長(zhǎng)為_(kāi)______

FC4

16.（2022?江蘇常州）如圖，在RtZSARC中，ZC=90°,AC=9,ZF=90°,DF=3,

EF=4.用一條始終繃直的彈性染色線連接CF,8△￡）所從起始位置（點(diǎn)。與點(diǎn)8重合）平移至終止位置

（點(diǎn)E與點(diǎn)A重合），且斜邊￡>￡始終在線段A3上，則RtAABC的外那被染色的區(qū)域面積是.

17.（2022?廣西）數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)測(cè)量旗桿的影長(zhǎng)來(lái)求旗桿的高度，他們?cè)谀骋粫r(shí)刻測(cè)得高為2米的標(biāo)桿

18.（2022?廣東深圳）已知AABC是直角三角形，NB=90。,AB=3,BC=5,AE=2?,連接CE以CE為底作

直角三角形COE且8=。鼠產(chǎn)是AE邊上的一點(diǎn)，連接2。和8尸，3。且/尸8。=45°,則河長(zhǎng)為.

19.（2022?廣西河池）如圖，把邊長(zhǎng)為1：2的矩形A8C。沿長(zhǎng)邊BC,AO的中點(diǎn)E,F對(duì)折，得到四邊形

2

ABEF,點(diǎn)G,”分別在BE,"上，且BG=EH=三BE=2,4G與8〃交于點(diǎn)O,N為A尸的中點(diǎn)，連接

ON,作OM0ON交A8于點(diǎn)M,連接則tanEL4MN=.

20.（2022?內(nèi)蒙古赤峰）如圖，為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿AB的高度，九年級(jí)數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組，根據(jù)光的反射

定律，利用鏡子、皮尺和測(cè)角儀等工具，按以下方式進(jìn)行測(cè)量：把鏡子放在點(diǎn)。處，然后觀測(cè)者沿著水平

直線2。后退到點(diǎn)。，這時(shí)恰好能在鏡子里看到旗桿頂點(diǎn)A,此時(shí)測(cè)得觀測(cè)者觀看鏡子的俯角a=60。，觀測(cè)

者眼睛與地面距離C￡>=1.7m,BD=llm,則旗桿AB的高度約為m.（結(jié)果取整數(shù)，下,=1.7）

21.（2022?湖北鄂州）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊中，D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，與BE相交

于點(diǎn)P,若BO=CE=2,則S4BP的周長(zhǎng)為.

22.（2022?山東濰坊）《墨子,天文志》記載："執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓."度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美.如圖,

正方形A3CD的面積為4,以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形A'B'C'D,若A'Q:A8=2:1,

則四邊形A'8'C'D的外接圓的周長(zhǎng)為.

。‘(DB>￡?-

23.（2022?內(nèi)蒙古包頭）如圖，在RhABC中，ZACfi=90°,AC=BC=3,。為A8邊上一點(diǎn)，且8￡>=3C,

連接CD,以點(diǎn)。為圓心，DC的長(zhǎng)為半徑作弧,交BC于點(diǎn)E（異于點(diǎn)C）,連接DE，則BE的長(zhǎng)為

24.（2022?江蘇泰州）如圖上，A4BC中,NC=90,4C=8,BC=6,O為內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)O的直線分別與AC、AB

相交于。、E,若DE=CD+BE,則線段CO的長(zhǎng)為.

25.（2022?黑龍江綏化）如圖，ZAO3=60。，點(diǎn)<在射線04上，且。［=1,過(guò)點(diǎn)<作104交射線0B

于降,在射線0A上截取PyP2，使《2=R&；過(guò)點(diǎn)P2作鳥(niǎo)K?J.OA交射線0B于旭,在射線OA上截取利，

使P2P,=P2K2.按照此規(guī)律，線段/23K2023的長(zhǎng)為.

26.（2022?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，4,4，4……在X軸上且。4=1,04=20A，

。4=2。4,。4=204......按此規(guī)律，過(guò)點(diǎn)4,4,4,4......作x軸的垂線分別與直線y=交于點(diǎn)⑸，

B1,B3,B*......記AOA心，△。4鄉(xiāng)，^OA,B,,4。4用......的面積分別為5,邑，邑，S?.......則S2O22=.

27.（2022?廣西）如圖，在正方形A8C￡＞中，AB=4亞,對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)。.點(diǎn)E是對(duì)角線AC上

一點(diǎn)，連接BE,過(guò)點(diǎn)E作EFLBE,分別交C2B。于點(diǎn)F、G,連接8尸，交AC于點(diǎn)H,將Z\EFH沿EF

翻折，點(diǎn)”的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，恰好落在8。上，得到若點(diǎn)尸為C。的中點(diǎn)，則△氐?”，的周長(zhǎng)是

28.（2022?遼寧）如圖，在正方形45c。中，E為AD的中點(diǎn),連接8E交AC于點(diǎn)?若AB=6,貝lj

的面積為_(kāi)__________

29.（2022?貴州貴陽(yáng)）如圖，在四邊形A8CO中，對(duì)角線4C,80相交于點(diǎn)E,AC=BC=6cm,

ZACB=ZADB=9G°.若BE=2AD,則△A5E的面積是cm2,ZAEB=度.

三.解答題

30.（2022?河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O,其中水面截線MN〃A8.嘉琪在A處

測(cè)得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14。，點(diǎn)M的俯角為7。.己知爸爸的身高為1.7〃?.

⑴求13c的大小及A8的長(zhǎng)；⑵請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線段用其長(zhǎng)度表示最大水深（不說(shuō)理由），并求最大水深

約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.（參考數(shù)據(jù)：tan76。取4,后取4.1）

31.（2022?吉林）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整.

【作業(yè)】如圖①，直線AABC與△O8C的面積相等嗎？為什么？

圖①

解：相等.理由如下：設(shè)4與4之間的距離為人，則Sv.c=；BC?,S^DBC=^BC-h.05AflC=SiO8C.

【探究】⑴如圖②，當(dāng)點(diǎn)￡＞在4,4之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)A,。到直線4的距離分別為力，h',則2

'△DBC拉

圖②

證明：回S“BC_________________

S八A”AM

⑵如圖③，當(dāng)點(diǎn)。在4,4之間時(shí)，連接力。并延長(zhǎng)交4于點(diǎn)M，則=

^△DBCDW

圖③

證明：過(guò)點(diǎn)A作AEL8W,垂足為E,過(guò)點(diǎn)。作D垂足為尸，則NA￡M=N0RW=90。,

^AE//__________

團(tuán)△A￡Afs______________

AEAM

團(tuán)----=------?

DFDM

由【探究】（1）可知自四團(tuán)SAABC_AM

°ADWCS^DBCDM

⑶如圖④，當(dāng)點(diǎn)。在4下方時(shí)，連接A￡>交4于點(diǎn)E.若點(diǎn)A,E,。所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5,1.5,0,

*皿的值為_(kāi)_________.

圖④

32.（2022?山東青島）如圖，在RtZSABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,將AABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)90。得到AADE,連接CO.點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，沿84方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s；同時(shí)，點(diǎn)。從

點(diǎn)4出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s.PQ交AC于點(diǎn)F,連接CP,EQ.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r（s）（O<r<5）.解

答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)EQLA。時(shí)，求r的值；（2）設(shè)四邊形PCDQ的面積為S（cn?）,求S與f之間的函數(shù)關(guān)系

式；⑶是否存在某一時(shí)刻。使22〃8?若存在，求出f的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

33.（2022?江蘇泰州）己知：S48C中，D為BC邊上的一點(diǎn).

AAA

E

BDCBDC

①③

⑴如圖①，過(guò)點(diǎn)。作。￡S4B交AC邊于點(diǎn)E,若AB=5,BD=9,DC=6,求。E的長(zhǎng)；

（2）在圖②，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上做點(diǎn)F,使團(tuán)。演=財(cái)；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）⑶如

圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF,若配歷4=EL4,M8C的面積等于,以尸。為半徑作M,

試判斷直線BC與回廠的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

34.（2022?山東威海）回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考

⑴如圖1,在EL4BC中，AB=AC.?BD,CE是EL48C的角平分線.求證：BD=CE.

②點(diǎn)。，E分別是邊AC,A8的中點(diǎn)，連接8。，CE.求證：BD=CE.（從①②兩題中選擇一題加以證明）

⑵猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察

經(jīng)過(guò)做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在S48c中，AB=AC,。為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重合）.對(duì)于點(diǎn)。

在邊AC上的任意位置，在另一邊A8上總能找到一個(gè)與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E,使得BD=CE.進(jìn)而提出問(wèn)題：若

點(diǎn)、D,E分別運(yùn)動(dòng)到邊AC,AB的延長(zhǎng)線上，8。與CE還相等嗎？請(qǐng)解決下面的問(wèn)題:

如圖2,在AABC中，AB=AC,點(diǎn)￡>,E分別在邊AC,AB的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件（不再添加新的字

母），使得BD=CE,并證明.

⑶探究：用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)

如圖3,在AA3C中，AB=AC=2,0A=36。，E為邊AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B重合），F(xiàn)為邊AC延長(zhǎng)

線上一點(diǎn).判斷BF與CE能否相等.若能，求CF的取值范圍；若不能，說(shuō)明理由.

35.（2022?山東煙臺(tái)）

（1）【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1,0ABe和0AOE都是等邊三角形，連接BO,CE.求證：BD=CE.

（2）【類(lèi)比探究】如圖2,M8C和S4OE都是等腰直角三角形，0AfiC=fMDE=9O°.連接8。，CE.請(qǐng)直接

寫(xiě)出絲的值.⑶【拓展提升】如圖3,S48c和財(cái)。E都是直角三角形，姐BC=MOE=90。，且絲=空

CEBCDE

=1.連接B￡>,CE.①求箸的值；②延長(zhǎng)CE交于點(diǎn)色交A8于點(diǎn)G.求sin*"的值.

36.（2022?黑龍江綏化）我們可以通過(guò)面積運(yùn)算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之

和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個(gè)關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題.

（1）如圖一，在等腰AASC中，AB=AC,BC邊上有一點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作DE_LAB于E,。尸，AC于F,過(guò)點(diǎn)

C作CG_L43于G.利用面積證明：QE+￡?F=CG.⑵如圖二將矩形A3CO沿著所折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C

重合，點(diǎn)8落在?處，點(diǎn)G為折痕所上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作GM_LFC于M,GN1.BC于N.若BC=8,BE=3,

求GM+GN的長(zhǎng).⑶如圖三，在四邊形中，E為線段BC上的一點(diǎn)，EAVAB,EDA.CD,連接BO,

ABA.E

且K=BC=而,CD=3,BD=6,求EO+E4的長(zhǎng)?

37.（2022?黑龍江齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對(duì)象的科學(xué).數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)有利于我們?cè)趫D形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中

去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們?cè)趯W(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會(huì)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)帶給我們的

樂(lè)趣.如圖①，在矩形A8CO中，點(diǎn)E、F、G分別為邊8C、AB,A。的中點(diǎn)，連接E尺DF,H為。尸的

中點(diǎn)，連接GH.將回BEF繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，線段。尸、GH和CE的位置和長(zhǎng)度也隨之變化.當(dāng)回8E尸繞點(diǎn)B順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：

A

（1）圖②中，AB=BC,此時(shí)點(diǎn)E落在A8的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F落在線段BC上，連接AF,猜想GH與CE之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）圖③中，AB=2,BC=3,則不7=_________；⑶當(dāng)AB=〃7,BC=〃

CE

時(shí).—=_________.⑷在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對(duì)角線AC,并沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，得財(cái)BC

CE

（如圖④）.點(diǎn)M、N分別在AC、BCE連接MN,將回CMN沿MN翻折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在AB的

延長(zhǎng)線上，若平分0APN,則CM長(zhǎng)為

38.（2022?湖南郴州）如圖1,在矩形ABC。中，AB=4,BC=6.點(diǎn)E是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)

A,。重合），連接CE,過(guò)點(diǎn)E作EFLCE,交AB于點(diǎn)F.

⑴求證：AAEFSADCE；⑵如圖2,連接CF,過(guò)點(diǎn)B作5GJ_CF,垂足為G,連接AG.點(diǎn)M是線段BC

的中點(diǎn)，連接GM.①求AG+GM的最小值；②當(dāng)AG+GM取最小值時(shí)，求線段OE的長(zhǎng).

39.（2022?山東濰坊）【情境再現(xiàn)】

甲、乙兩個(gè)含45。角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上的高的垂足。處，將甲繞點(diǎn)。

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角到圖②位置.小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接AG,B〃，如圖

③所示，AB交H（）于E,AC交OG于F,通過(guò)證明△O3E絲，可得OE=OF.

圖②圖3

【遷移應(yīng)用】延長(zhǎng)G4分別交所在直線于點(diǎn)P,D,如圖④，猜想并證明OG與3”的位置關(guān)系.

圖4

【拓展延伸】小亮將圖②中的甲、乙換成含30。角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接HB,AG,

如圖⑥所示，其他條件不變，請(qǐng)你猜想并證明AG與8〃的數(shù)量關(guān)系.

40.（2022?廣西貴港）已知：點(diǎn)C,。均在直線/的上方，AC與80都是直線/的垂線段，且6。在AC的

右側(cè)，BD=2AC,與BC相交于點(diǎn)O.

圖1圖2圖3

An

(1)如圖1,若連接C。，則△3CO的形狀為_(kāi)_____,二式的值為_(kāi)_____；

AD

⑵若將50沿直線/平移，并以AD為一邊在直線/的上方作等邊“ADE.

①如圖2,當(dāng)AE與AC重合時(shí)，連接0E,若4c=],求0E的長(zhǎng)；

②如圖3,當(dāng)NAC3=6()。時(shí)，連接EC并延長(zhǎng)交直線/于點(diǎn)F,連接QF.求證：

41.(2022?遼寧)如圖，在A43c中，AB=AC=2右,BC=4,￡>,E,F分別為AC,AB,8c的中點(diǎn)，連接DE,。尸.

Si

⑴如圖】，求證：DF^DE；(2)如圖2,將皿尸繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到加。，當(dāng)射線在

交A8于點(diǎn)G,射線。。交BC于點(diǎn)N時(shí)，連接在并延長(zhǎng)交射線。尸于點(diǎn)M,判斷FN與的數(shù)量關(guān)系，

并說(shuō)明理由；(3汝口圖3,在(2)的條件下，當(dāng)DPLA3時(shí)，求￡W的長(zhǎng).

42.(2022?遼寧營(yíng)口)如圖1,在正方形ABCO中，點(diǎn)M為C。邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作用N，C。且。M,

連接DN,BM,CN,點(diǎn)P,。分別為BM,CN的中點(diǎn)，連接尸。.

⑴證明："=2PQ；⑵將圖1中的AOMN繞正方形A8C。的頂點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0°<1<360。).

①(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合圖2寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若

AB=\Q,DM=245,在AOWN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)B,M,N三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段PQ的長(zhǎng).

圖2

43.(2022?四川內(nèi)江)如圖，在矩形ABCD中，A8=6,BC=4,點(diǎn)M、N分別在48、4。上，且

點(diǎn)E為C。的中點(diǎn)，連接BE交MC于點(diǎn)F.⑴當(dāng)F為BE的中點(diǎn)時(shí)，求證：AM=CE；(2)若。=2,求)

BFND

44.（2022?貴州銅仁）如圖，在四邊形ABC。中，對(duì)角線AC與比＞相交于點(diǎn)O,記△C8的面積為，，JOB

_sOC?OD

的面積為邑.（1）問(wèn)題解決：如圖①，若AB〃CD,求證：寸=i

UA?UD

d2

（2）探索推廣：如圖②，若AB與C。不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)

說(shuō)明理由.（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在OA上取一點(diǎn)E,使OE=OC,過(guò)點(diǎn)E作所〃8交0。于點(diǎn)F,點(diǎn)

“為,勺中點(diǎn)，OH交EF于點(diǎn)G,且”=2G〃，若潺|,求迎

45.（2022?湖南）如圖，四邊形A8CZ）內(nèi)接于圓。，A8是直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AO交8c的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E.⑴求證：CE=CD；（2）若AB=3,BC=&求4。的長(zhǎng).

46.（2022?吉林長(zhǎng)春）如圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,其頂點(diǎn)

稱(chēng)為格點(diǎn)，AMC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕

跡.

圖②

⑴網(wǎng)格中AABC的形狀是.

(2)在圖①中確定一點(diǎn)￡>,連結(jié)D5、DC,使△O3C與AABC全等:

⑶在圖②中△A5C的邊BC上確定一點(diǎn)E,連結(jié)AE,使

⑷在圖③中A43c的邊48上確定一點(diǎn)尸,在邊8c上確定一點(diǎn)Q,連結(jié)PQ,使△PB0-N18C,且相似比

為1：2.

專(zhuān)題13相似三角形

選擇題

1.（2022?黑龍江哈爾濱）如圖，48〃8.4。,3。相交于點(diǎn)區(qū)=1,EC=2,OE=3,則8。的長(zhǎng)為（）

39

A.-B.4C.-D.6

22

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例可求得8E的長(zhǎng)，即可求得8。的長(zhǎng).

APBE

【詳解】AB//CD：.AABES^CDE：.——=—

ECDE

3

VAE=1,EC=2,DE=3,ABE=-

2

9

,:BD=BE+ED:.BD=a故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例，解題的關(guān)鍵在于找到對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng).

2.（2022?廣西賀州）如圖，在中，DE//BC,DE=2,BC=5,則S?,E：LHC的值是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算,

得到答案.

【詳解】解：DE//BC,DE=2,BC=5：.^ADE~^ABC,

【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

nA1

3.（2022?廣西梧州）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形A5CO的位似圖形AB‘。'。'，已知蕓二彳，若四

OA3

邊形ABCD的面積是2,則四邊形A8C力的面積是（）

A.4B.6C.16D.18

【答案】D

【分析】?jī)蓤D形位似必相似，再由相似的圖形面積比等于相似比的平方即可求解.

【詳解】解：由題意可知,四邊形ABC。與四邊形A'，四O相似,

由兩圖形相似面積比等于相似比的平方可知：23

°ABCD

又四邊形A38的面積是2,...四邊形AECD的面積為18,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考察相似多邊形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

An0DF

4.（2022?四川雅安）如圖，在△ABC中，D,E分別是AB和AC上的點(diǎn)，DE//BC,若黑=彳，那么考

BDI

=（）

【答案】D

AD9nrAH?

【分析】先求解黑二;再證明陀s”5c可得盥二禺=;

AD3BCAD3

AD2,AD_2

【詳解】解:而=7'益=3

???DE//BC,:.^ADE^ABC,\匹=四=2,故選D

BCAB3

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△ADEs^MC是解本題的關(guān)鍵.

5.（2022?內(nèi)蒙古包頭）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A,B,C,。四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AC

與8。相交于點(diǎn)E,連接A8,CD,則△ME與△CDE的周長(zhǎng)比為（）

B.4：1C.1：2D.2：1

【答案】D

【分析】運(yùn)用網(wǎng)格圖中隱藏的條件證明四邊形DC8M為平行四邊形，接著證明AABESACDE,最后利相似

三角形周長(zhǎng)的比等于相似比即可求出.

【詳解】如圖：由題意可知，DM=3,BC=3,:.DM=BC,

而。W〃3C,四邊形DCBM為平行四邊形，

AAB//DC,：.ZBAE=ZDCE,ZABE=ZCDE,

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)

并正確計(jì)算是解題關(guān)鍵.

6.（2022?黑龍江綏化）如圖，在矩形A8CO中，P是邊AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP,CP,過(guò)點(diǎn)B作射線，

交線段CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交邊AO于點(diǎn)M,且使得NABE=/C8P,如果A8=2,8C=5,AP=x,PM=y,

其中2<*,5.則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（)

43

(1)y與x的關(guān)系式為y=x--；(2)當(dāng)"=4時(shí)，△ABPsQPC；(3)當(dāng)AP=4時(shí),tanZEBP=-.

x5

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

4PAM

【分析】⑴證*ABMSR5,W-=—，將歸2,A-,PM=y代入，即可得gx的關(guān)

系式;

(2)利用兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等，判定A/MSJ5PC；

(3)過(guò)點(diǎn)M作MF18P乖足為F,在Rt^APB中，由勾股定理得BP的長(zhǎng)，證明A/T^SA釬B,求出“尸,

PF,8尸的長(zhǎng)，在Rf^BMF中,求Wtan/￡BP的值即可.

【詳解】解：(1)：在矩形A3。中，

AAD//BC,ZA=ZD=90°,BC=AD=5,AB=DC=2,

：.ZAPB=NCBP,

?：NABE=NCBP,

：.ZABE=ZAPB.

.ABAM

??而一方'

VAB=2,AP=x,PM=y,

?2x-y

**2，

4

解得：y=x—,

X

故(1)正確；

(2)當(dāng)AP=4時(shí)，DP=AD-AP=5-4=\,

.DCDP1

??==—，

APAB2

又＜ZA=ND=90。,

???AABPSADPC,

故(2)正確;

（3）過(guò)點(diǎn)M作叱_L8P垂足為F,

???ZA=/MFP=ZMFB=90。,

4

???當(dāng)AP=4時(shí)，此時(shí)x=4,y=x—=4-1=3,

x

：.PM=3,

在R^APB中,由勾股定理得：BP2=AP2+AB\

JBP=VAF+AF=A/42+22=2>/5，

■:/FPM=NAPB,

：?^FPMsgPB,

.MFPFPM

'~AB~~AP~~PB

MFPF3

：.MF到l,PF=迄,

55

/.BF=BP-PF=2亞-^~=,

55

3君

MF

tan/EBP=——

BF

5

故（3）不正確；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，正確找出相似三角形是

解答本題的關(guān)鍵.

7.（2022?湖北鄂州）如圖，定直線〃尸。，點(diǎn)2、C分別為MMPQ上的動(dòng)點(diǎn)，且BC=12,BC在兩直

線間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有/8CQ=60。.點(diǎn)A是MN上方一定點(diǎn)，點(diǎn)。是P。下方一定點(diǎn)，且AE〃BC〃/5F,

AE=4,DF=8,A￡>=24G，當(dāng)線段BC在平移過(guò)程中，AB+C。的最小值為（)

D

A.24713B.24715C.12>/13D.12>/15

【答案】C

【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸作戶(hù)H〃CD交BC于H,連接EH,可證明四邊形8/77是平行四邊形，得到

CH=DF=8,CAFH,則8H=4,從而可證四邊形是平行四邊形，得至ij即可推出當(dāng)E、F、H

三點(diǎn)共線時(shí)，EH+”「有最小值EF即A8+C7）有最小值EF,延長(zhǎng)AE交PQ于G,過(guò)點(diǎn)￡作ETLP。于7,

過(guò)點(diǎn)A作ALLP。于L,過(guò)點(diǎn)。作。KLPQ于K,證明四邊形BEGC是平行四邊形，NEGT=NBCQ=60°,

得到EG=BC=12,然后通過(guò)勾股定理和解直角三角形求出ET和TF的長(zhǎng)即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸作五”〃8交BC丁H,連接EH,

VBC//DF,FH//CD,

四邊形CCF”是平行四邊形，

：.CH=DF=8,CD=FH,

:.BH=4,

：.BH=AE=4,

又：AE//BC,

：.四邊形4BHE是平行四邊形，

：.AB=HE,

'：EH+FH>EF,

.?.當(dāng)E、尸、”三點(diǎn)共線時(shí)，EH+H尸有最小值EF即A8+CO有最小值EF,

延長(zhǎng)A￡交尸Q于G,過(guò)點(diǎn)E作ETJ_PQ于7,過(guò)點(diǎn)A作ALLPQ于L,過(guò)點(diǎn)。作QK1.PQ于K,

?；MN//PQ,BC//AE,

：.四邊形BEGC是平行四邊形，ZEGT=ZBCQ=60°,

：.EG=BC=12,

/.GT=GE-cosZEGT=6,ET=GE-sinZEGT=6>/3,

同理可求得GL=8,AL=80KF=4,DK=4x/3,

:.TL=2，

9

\AL_LPQfDKLPQ,

：.AL//DK.

：.△ALOS/XOK。，

.ALA。c

??—―2f

DKDO

：.AO=-AD=\6^,DO=-AD=s4i,

33

?*-OL=AO'-AI：=24,OK=力DO?-DK2=12>

TF=TL+OL+OK+KF=42,

EF=NET2+TF?=12713>

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，

正確作出輔助線推出當(dāng)E、F、〃三點(diǎn)共線時(shí)，EH+”尸有最小值EF即AB+CO有最小值E尸是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?廣西貴港）如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCO中，ZABC=60°,動(dòng)點(diǎn)E在48邊上（與點(diǎn)A、8均

不重合），點(diǎn)尸在對(duì)角線AC上，CE與命相交于點(diǎn)G,連接AG,OF,若AF=BE,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

)

B.ZBGC=120°C.AF2=EGECD.AG的最小值為逑

A.DF=CE

3

【答案】D

【分析】先證明△BA尸絲△ABC是等邊三角形，得DF=CE,判斷A項(xiàng)答案正確，由NGC8+

BECE

ZGBC=60°,得/BGC=120°,判斷B項(xiàng)答案正確，證ABEGsACEB得二二二，即可判斷C項(xiàng)答案

正確，由N8GC=120。，BC=1,得點(diǎn)G在以線段BC為弦的弧BC匕易得當(dāng)點(diǎn)G在等邊△ABC的內(nèi)心處

時(shí)，4G取最小值，由勾股定理求得AG=3,即可判斷。項(xiàng)錯(cuò)誤.

3

【詳解】解：：四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,

：.AB=AD=BC=CD,NBAC=NDAC=gx(l800-ZABC)=6()°=ZABC,

：.^BAF^/^DAF^CBE,△ABC是等邊三角形，

：.DF=CE,故A項(xiàng)答案正確，

ZABF=ZBCE,

■:ZABC=NABF+ZCBF=60°,

二NGC8+NGBC=60°,

AZBGC=180°-60°=180(NGCB+NGBC)=120°,故B項(xiàng)答案正確，

,/ZABF=ZBCE,ZBEG=ZCEB,

:.叢BEGs^CEB,

.BECE

"'GE~~BE'

/.BE2=GE.CE,

AF=BE,

AF-=GE-CE,故C項(xiàng)答案正確，

VZBGC=120°,BC=1,點(diǎn)G在以線段BC為弦的弧BC上，

二當(dāng)點(diǎn)G在等邊△ABC的內(nèi)心處時(shí)，AG取最小值，如下圖，

T△ABC是等邊三角形，BC=1,

：.BF1AC,AF=^AC=^,NGA尸=30",

：.AG=2GF,AG2=GF2+AF2,

2

二-l,',解得AG=^,故D項(xiàng)錯(cuò)誤,

，AG2

故應(yīng)選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查r菱形的基本性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?貴州貴陽(yáng)）如圖，在AABC中，。是A3邊上的點(diǎn)，NB=ZACD,AC:=1:2,則AADC與△ACS

的周長(zhǎng)比是（）

A.1:72B.1:2C.1:3D.1:4

【答案】B

【分析】先證明△ACDS/XABC,即有繪=空=Z=（，則可得。+華+:？="問(wèn)題得解.

ABACBC2AB+AC+BC2

【詳解】VZB=ZACD,NA=NA,

/.△ACOs/XABC,

.ACADCD

??瓦―就一茄，

??￡1

?AB~2f

.ACADCD1

..-----=------=-----=-,

ABACBC2

.ACADCDACAD+CDI

??前一就一正-AB+AC+BC_5'

???△AOC與△AC3的周長(zhǎng)比1:2,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△AC0SA48C是解答本題的關(guān)鍵.

10.（2022?廣西）已知△ABC與向G是位似圖形，位似比是1：3,則△A3。與△?1向G的面積比（）

A.1：3B.1：6C.1：9D.3：1

【答案】C

【分析】根據(jù)位似圖形的面積比等于位似比的平方，即可得到答案.

【詳解】:△ABC與△48/C/是位似圖形，位似比是1：3,

.?.△ABC與的面積比為1：9,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的面積比等于位似比的平方是解題的關(guān)鍵.

A[)2

11.(2022?山東臨沂)如圖，在中，DE//BC,—若AC=6,則EC=()

DB3

【答案】C

4D9ADAF?

【分析】由小〃5C,黑=彳，可得黑=蕓=彳,再建立方程即可.

DB3DBEC3

An7

【詳解】解：：DE//BC,M=[，AD_AE_2

,

DB3DB-EC-3