版權所有翻印必究版權所有翻印必究電話400-666-0985PAGE電話400-666-0985PAGE148/148《華中科技大學量子力學歷年考研真題及答案解析》目錄Ⅰ歷年考研真題試卷 4華中科技大學2001年碩士學位研究生入學考試試卷 4華中科技大學2002年碩士學位研究生入學考試試卷 5華中科技大學2003年碩士學位研究生入學考試試卷 7華中科技大學2004年碩士學位研究生入學考試試卷 9華中科技大學2005年碩士學位研究生入學考試試卷 11華中科技大學2006年碩士學位研究生入學考試試卷（卷一） 13華中科技大學2006年碩士學位研究生入學考試試卷（卷二） 16華中科技大學2007年碩士學位研究生入學考試試卷 19華中科技大學2009年碩士學位研究生入學考試試卷 21華中科技大學2010年碩士學位研究生入學考試試卷 23華中科技大學2011年碩士學位研究生入學考試試卷 25華中科技大學2012年碩士學位研究生入學考試試卷 27華中科技大學2013年碩士學位研究生入學考試試卷 29Ⅱ歷年考研真題試卷答案解析 31華中科技大學2001年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析 31華中科技大學2002年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析 38華中科技大學2003年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析 46華中科技大學2004年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析 55華中科技大學2005年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析 64華中科技大學2006年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析（卷一） 74華中科技大學2006年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析（卷二） 84華中科技大學2007年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析 90華中科技大學2009年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析 98華中科技大學2010年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析 107華中科技大學2011年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析 116華中科技大學2012年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析 126華中科技大學2013年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析 136Ⅲ專業課教輔 145反饋及獎勵糾錯郵箱：jiucuofankui@163.com客服咨詢電話：400-666-0985掃碼加研途售后老師，立即享受研途福利（糾錯郵箱：jiucuofankui@163.com客服咨詢電話：400-666-0985掃碼加研途售后老師，立即享受研途福利我們將高度重視您的反饋，第一時間組織老師進行校對審核，并及時將結果反饋給您。您的反饋一經采納，我們將向您贈送價值10-500元不等的圖書或輔導班抵用券。版權說明影響。為維護本書之著作權，切實保障考生利益，研途寶現鄭重聲明：1、由研途寶出版發行的《復習精編容進行非法復制、篡改、抄錄、傳播、銷售，或與其它產品捆綁使用、銷售；34QQ、地址、姓名、網站等線索的，經研途寶法務部核實后，舉報人即可獲得研途寶獎勵的20-100元不等的抵用券一張。研途寶2019年1月附：法律條文一、相關民事、行政法律規定及民事責任：《中華人民共和國著作權法》規定：有下列侵權行為的，應當根據情況，承擔停止侵害、消除影響、賠禮道歉、賠償損要用于制作侵權復制品的材料、工具、設備等；構成犯罪的，依法追究刑事責任：（一）作品的，本法另有規定的除外；（二）出版他人享有專有出版權的圖書的；……（八）制作、出售假冒他人署名的作品的。得、侵權復制品以及進行違法活動的財物。《中華人民共和國民法通則》規定：第一百一十八條“公民、法人的著作權（版權）、專利權、商標專用權、發現權、發明權和其他科技成果權受到剽竊、篡改、假冒等侵害的，有權要求停止侵害，消除影響，賠償損失。”《著作權行政處罰實施辦法》規定：第五條本辦法列舉的違法行為，由侵權行為實施地、侵權結果發生地、侵權制品儲藏地或者依法查封扣押地的著作權行政管理部門負責查處。法律、行政法規另有規定的除外。當事人提供的涉及著作權的底稿、原件、合法出版物、作品登記證書、著作權合同登易等方式購買侵權復制品而取得的實物、發票等，可以作為證據。二、相關刑事法律規定及刑事責任：《中華人民共和國刑法》第二百一十七條、第二百一十八條之規定：第二百一十七條別嚴重情節的，處三年以上七年以下有期徒刑，并處罰金：（一）其他作品的；（二）出版他人享有專有出版權的圖書的；（三）未經錄音錄像制作者許可，復制發行其制作的錄音錄像的；（四）制作、出售假冒他人署名的美術作品的。第二百一十八條以營利為目的，銷售明知是本法第二百一十七條規定的侵權復制品，違法所得數額巨大的，處三年以下有期徒刑或者拘役，并處或者單處罰金。三、相關司法解釋1解釋》2解釋（二》3干問題的意見》Ⅰ歷年考研真題試卷華中科技大學2001年碩士學位研究生入學考試試卷考試科目：量子力學（試題隨答題紙交回）說明：每題20分，共100分一、質量為的粒子被限制在一維區域0xa，t=0時其波函數為85a(x,t0) cos x)sin x85aa a求t=t0時的波函數。體系在t=0t=t0時的平均能量是多少？t=0

時，于0xa內發現粒子的幾率是多少？21二、系統的哈密頓量?=2I1

(2x

2) 1y 2I2

L?2。z求能量本征值和能量本征函數。系統處于能量本征態，求(Lz

)2(Ly

)2?01 02 三設體系未受微擾作用時只有三個能級和E 01 02 微擾矩陣之為HHa,HH Hb,HHc,HHd，12 21

11 22

23

13 31a，b，c，d都是實數。假設滿足非簡并條件，求能量及二級修正值。XEx=0x0時該勢為30，x>0時為4

E，問在x=0處被反射的粒子比率有多大？五、兩個質量為，自旋為1的全同粒子處于一維無限深勢阱（0<x<a）中，忽2略自旋相關力，求：1、粒子間無相互作用，用單粒子態和自旋態給出三個最低能態。2、粒子間有相互作用勢能V（x1

x，這可看成微擾，以一階微擾理論計算第二、2第三個最低能態的能量，將你的結果保留在積分式。華中科技大學2002年碩士學位研究生入學考試試卷考試科目：量子力學（試題隨答題紙交回）一、基本概念題（25分）1困難，原因何在？德布羅意又是如何解決這些問題的？2、簡要說明波函數和它所描述的粒子之間的關系。3、以能量這個力學量為例，簡要說明能量算符和能量之間的關系。4、試問“電子”是什么？5、非相對論量子力學的理論體系建立在一些基本假設上，試舉出二個以上這樣的基本假設，并簡述之。二、（20分）試設計一實驗，從實驗角度證明電子具有自旋，并對可能觀察到的現象作進一步討論。三、（15分）設質量為的粒子在如圖所示的一維無限深勢阱中運動，求定態薛定諤方程的解。四、（15分）轉動慣量為D的空間轉子處在均勻很弱電場E態能量的二級修正。五、（25分）通過解本征值方程試證明自旋在任何方向的投影只能有向上和向下兩個可能的取向。 (cos,cos,cos)提示：自旋角動量S在任意方向n

上的投影算符為coscoscosn x y z?z有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現？?n的平均值是多少？華中科技大學2003年碩士學位研究生入學考試試卷考試科目：量子力學（試題隨答題紙交回）一、基本概念題（35分）1、玻爾的原子理論實際上是一個半經典理論，簡述這里所說的“半經典”的含義。220世紀的一些著名實驗觸發了從經典物理向量子物理的躍變并為這種躍變提供了最3、“物體以h為能量單位不連續地發射或吸收頻率為的電磁波，但輻射本身作為廣布于空間的電磁波其能量是連續分布的”，試問這一說法是否正確？4、簡述波函數和它所描寫的粒子之間的關系。5、（1）表示力學量時，問該力學量是否有確定的值？（2）如果一組算符有共同的本征函數，且這些共同的本征函數組成完全系，問這組算符中的任何一個是否和其余的算符對易？ (, (? (,S,t) t) t)6、在Sz

表象中，電子波函數可表示為 r z 1

r1 2

1，簡要說2 2明其物理意義。7、試判斷下列函數中的哪些所描述的狀態是定態？(x,t)u(x)eixiEt/v(x)eixiEt/1(x,t)u(x)eixiEt/1

u(x)eixiEt/2（3）(x,t)u(x)eiEt/u(x)eiEt/2（20分）1?(x)x(x),?(x)xd(x)[?,?]?dx2、設粒子在寬為a的一維無限深勢阱中運動，求基態動量的平均值和。基態動量平方的平均值。（15分）考慮在三維各向同性勢V(r)

1m2r2下運動的帶電荷+e的粒子，受沿正x方向的電2場E的作用，求粒子的定態能量和波函數。m提示：已知一維線性諧振子對應于量子數m(xn

)( 1

1)2

22

H n

，其中 ）22nn!四、（25分）由角動量算符?和?可定義出兩個新算符?和?，即???和???。x y

x y x y1、分別求下列算符間的對易關系：[2,?]，[2,?]，[?,?]，[?,?]； z z2、已知Ylm

,)為2和?的共同本征態，相應的本征值分別為l(l)2和，試z通過計算，證明?Y ,)和?Y ,)均為2和?的本征態。lm lm z相應的本征值為多少？簡要說明結果的物理意義。五、（25分）1、考慮在寬度為a的一維無限深勢阱中運動的粒子Ha(xa的作用，0 20為常數，試計算近似到一級時的能量修正。2、在某一選定的一組正交基下哈密頓算符由下列矩陣給出E 0 0 0 a 0 10

H0 E 0a 0 00 20

300 E 0 0 a30其中a為常數且為小量，試用微擾法求能量至二級修正值。六、（30分）子又有了新的認識，問最為典型的兩種新認識是什么？試設計兩個實驗以支持這兩種新認識。華中科技大學2004年碩士學位研究生入學考試試卷考試科目：量子力學（試題隨答題紙交回）說明：共6道題，每題25分，總計150分。一、計算下列對易關系：（1）[?,ex]（0且為實數）x（2）

??，2是軌道角動量平方，計算[2,?]和[?,?]。x y z a a 二、粒子在寬為的一維無限深勢阱u(x)

0xa 中運動，求：x0,xa粒子的能級和歸一化波函數；粒子的動量和坐標的分布幾率；粒子的坐標和動量的平均值和他們的漲落。三、厄米算符?與?滿足關系式：?2?21，????0，求：在A表象中?與?的矩陣表示，并求?的本征函數表達式；在B表象中?與?的矩陣表示，并求?的本征函數表達式；?表象到?表象的幺正變換矩陣的表達式。四、利用測不準關系x2px

，估計諧振子的基態能量。242五、設一微觀體系的哈密頓?? ?，其中?為微擾。在一個由正交歸一函01 0 0 0 c 0數作為基的表象中，

0 3

，?c 0 0，其中c為常數。0 0 0

0 0 c 求?的精確本征值；求?的準確到二級修正的本征值；比較和的結果，指出其間關系。1和yz軸上的分量算符，求：2 y zy

z

（A、B均為實數）的本征值和歸一化波函數；假設體系處在向上的本征態中，測得?y得到2的幾率是多少？華中科技大學2005年碩士學位研究生入學考試試卷考試科目：量子力學（試題隨答題紙交回）說明：共6道題，每題25分，總計150分。一、對易關系運算：若算符?,?滿足條件[?,?]1，求：[?,?n]？（其中n為正整數）算符?

i

1，計算對易關系

[r,

]=？r r r r1 i 1 i

2(?

?)；?

2(?

)，求：[?,?]？2

2

x二、粒子在寬為a的一維無限深勢阱u(x)

0xa中運動，求：xxa粒子的能級和歸一化波函數；a(x)a

4sinxcos2x

描述，求該粒子能量可能測量值及相應的幾率。

a a m2Hm2

2 2x22y2

2z2)（1）求其能級與波函數；

2m 2 1 2 3（2）若1 2

，試求能級的簡并度。3四、設體系處于cY c

，求：111 220?z的可能測量值及平均值；2的可能測量值及相應的幾率；?x及?y的可能測量值及相應的幾率。五、設在H表象中，體系的哈密頓算符可表示為矩陣的形式0? Ea b H 1 b

E2

a，（a，b為實數）用微擾理論求能級至二級修正，并與嚴格解比較。

nn

的顯式表達形式，并求z在sz2

狀態中的平均值s ，和在上述狀態中的s測量值的幾率。n n華中科技大學2006年碩士學位研究生入學考試試卷（卷一）考試科目：量子力學適用專業：理論物理、凝聚態物理、光學、材料物理與化學（試題隨答題紙交回）一、選擇題（共5題，每題6分）11501其德布羅意波長為（）（A）23A；（B）2.3A；（C）0.23A；（D）0.023A。02(r)/a，則電子幾率分布的最可幾半徑為（）0（A）a0

/；（B）a0

； （C）a0

/2； （D）2a。01 3(x)AeikxBeikxA和B1 AB）則粒子的幾率流密度的大小和方向為（）k（A） 1A2B2，方向沿x軸正向；2k（B）（C）

1A2B2，方向沿x軸正向；k1AB)2，方向沿x軸正向；2k（）21(A2B2)，方向沿x軸負向。4、設氫原子處于狀態(r,,)量和角動量平方的取值為（）e4

R2

(r)Y10

,) R32 3

Y1,1

,)

s82e4

, 22； s42

,22；

e4s82

,22；沒有確定值。0 1

0 i

1 05、已知泡利矩陣為

x1 0，

0，z 0 1，則在自旋態 1

? 中，自旋角動量算符S

的均方偏差分別為（）21 0 x y22（A）

,

2 ；0, ；（C）

,

2；（D）

,0。8 8 4 4 4 4二、基本概念題（共4題，每題5分）1、什么是態疊加原理？用態疊加原理解釋電子在晶體表面的衍射現象。2、寫出量子力學的幾率守恒定律的微分形式和積分形式。幾率流密度與質量流密度有什么關系？和電荷流密度有什么關系？3、什么是算符的本征值和本征函數？當體系處于波函數所描寫的某一狀態時，測量某個力學量F的數值與算符F?的本征值有什么關系？4、什么是全同性原理？描寫全同粒子體系狀態的波函數的對稱性是否隨時間改變？為什么？0,xx三、計算與證明題（共50,xx1、一粒子在一維勢阱U(x)

0

a中運動，求束縛態（0E

）的能級所滿足的方程。

0, a 0與寬度a的平方成反比，即。與寬度a的平方成反比，即。3、薛定諤方程中，如果勢能函數由U(x)U(x)U0，是否會導致波函數發生變化？是否會導致能量的本征值發生變化？如果勢能函數由U(x)U(xa)，則是否會導致波函數發生變化？是否會導致能量的本征值發生變化？試加以分析說明。H4、體系未受微擾作用時只有兩個能級：E 和E ，現在受到微擾?H01 02陣元Ha,Hb,Hc,H d，a，b，c，d均為實數。假設滿足非簡并條件，求12 21 11 22能量至二級修正值。

?

25、證明在自旋態12關系。

z 中，算符SSx y

的均方偏差

x

y

滿足測不準華中科技大學2006年碩士學位研究生入學考試試卷（卷二）考試科目：量子力學適用專業：物理電子學、光學工程、光電信息工程（試題隨答題紙交回）一、填空題（25分，每空1分）1、按照Born的統計詮釋，描述單粒子量子體系的波函(r)常稱為概率波，(r)2表示概率密度，其意義是：(r)2表示在r處的體積元xyz中找到粒子的

(r)2dr1稱為波函數的 其物理意義是在全空間找到粒子的 。2、力學量A的本征態 ，相應的本征值為a ，n=1，2，。如果體系處于狀態n nc1 1

c2

，則測量A所得的結果為aa1 2

，其出現概率分別為 。3、若對應于力學量A的本征值An

有兩個本征函數則稱A對應本征值A是 。n4、設有一組彼此對易且函數獨立的厄米算符AA,A,，它們的共同本征函數記為1 2k 設給定k后就能夠確定體系的一個可能狀態則稱,A構成體系的一組 。1 25、不含時的薛定諤方程為HE，稱為體系的能量本征方程。其中E稱為體的 ，對應的波函數稱為體系的 。6、所有可觀測量對應的算符均為 算符。7、微粒的粒子性與波動性的關系（,或,k）為E= ，p= 。8、為力學量F的算符則在量子下力學量F的平均值的表達式為： 。9、?為宇稱算符，若?(x)(x)，則具有 宇稱。10、算符?與?的對易式[?,?]= 。11、算符?與?的不確定度關系的表達式為 。12、電子自旋角動量在空間任何方向的投影只能有 數值這是根據 定的。(,0)()13、若在初始時刻體系處于某一個能量本征態

r ，則形如E(r,t)E

(r)eiEt/的波函數所描述的態稱為 。14、?2,? 的共同本征函數是 。z15、氫原子的能級公式是 ，其簡并度為 。16、對一維諧振子初始時刻它處于基（n=受到電場的微擾作用后它只能躍遷到第一激發態n=，而不能躍遷到其他激發態n>。這樣，稱一維諧振子向n>1的激發態的躍遷為 躍遷換句話說只有1的躍遷能發生這稱為躍遷的 17、設某一原子體系具有n個定態，對應的能級為E，若電子處于態n的時間為t，n則能級E的寬度為 。n18、波粒二象性指的是粒子同時具有 。19、若? E且En n n n

可以構成正交歸一完備集。對任意量子態，nnn依據 原理， ann

，其中an

為常數。n二、簡答題（25分，每小題5分）1、什么是光吸收與受激輻射的半經典理論。23、簡述正常Zeeman效應。4、簡述關于電子自旋的Stern-Gerlach實驗及其物理意義。5、掃描隧穿顯微鏡的工作原理是隧穿效應，簡述什么是隧穿效應。 1方向單位矢量nnnnx y z

cossinsincos，求 cn c n的本征值和本征態n c21 1 12、二維諧振子勢V(x,y) m2x2

m2y2

x ，求能級的分布和簡并2 x 2 y 2y度。 3、設粒子（能量E>0）從左射入，碰到圖 提示：粒子流密度定義：ji 2m

。4、力學量A與BAAn和B一定有共同本征態。5 (x)23/2xe,x

0、一維運動粒子的狀態是的測不準關系x2p2。

0, x

，其中

，求粒子位置和動量提示：

x2

x2x2，

p2

p2p2

pi

，dx0

12。華中科技大學2007年碩士學位研究生入學考試試卷考試科目：量子力學適用專業：物理學、材料物理與化學、材料學、納米科學與技術、科學技術哲學（試題隨答題紙交回）一、問答題（共4題，每題10分）1、什么是波函數的統計解釋？量子力學的波函數與聲波和光波的主要區別是什么？2、試寫出量子力學中的測不準關系。如果兩個算符不對易，則這兩個算符表示的力學量能否同時取確定值？3、量子力學如何構造一個力學量的算符？當體系處于波函數(x)所描寫的狀態時，測量力學量得到的數值與該力學量的本征值有什么關系？4、什么是粒子的全同性原理？玻色子和費米子組成的全同粒子體系的波函數的主要不同是什么？二、計算題與證明題（共7題，110分）1、在一維無限深勢阱中運動的粒子，勢阱的寬度為a，如果粒子的狀態由波函數(x)Ax(ax)描寫，求：a粒子分布在(, )區間的幾率6分）4粒子在區間動量的平均值（6分）2、計算下列兩定態波函數對應的幾率流密度（12分）（1）

1eikr（ eikr。11 r2 2 r213I，它的能量的經典表達式是H兩種情況中求剛性轉子的能量本征值：轉子繞一固定軸轉動（10分）轉子繞一固定點轉動（10分）

L2，L為角動量，在以下2I4(r,)1R2 31

(r)Y11

,) R32 3

(r)Y1,1

(,)，求氫原子的能量及角動量分量Lz8分）氫原子的能量及角動量分量Lz（8分）5、粒子在寬度為a的一維無限深勢阱中運動，（1）x2p22(26)10分）4 3（2）上述結果是否滿足測不準關系，為什么？（6分） 6、轉動慣量為I，電偶極矩為D的空間轉子處在均勻弱電場E中，基態未受到微擾影響的波函數為Y00

，證明空間轉子的計算轉子基態能量的一級修正為零（16分）14220 1 11 1114227、證明算符S

的本征值為

，所屬的本征函數為

（18分）

x 21 2 1 1華中科技大學2009年碩士學位研究生入學考試試卷考試科目：量子力學（試題隨答題紙交回）一、基本概念（1-6571040分）1、光照射強度在什么情況下，能夠使金屬表面的自由電子逸出？2、寫出德布羅意關系。3在其本征態下，是否有確定值？4、薛定諤方程為什么是線性的？為什么它所確定的狀態中，不能含有狀態參量？5、波函數和它描寫的粒子之間有什么關系？6、波的疊加原理。7、試判斷下列函數中的哪些所描述的狀態是定態？(r,t)u(x)eixiEt/v(x)eixiEt/1(r,t)u(x)eixiEt/1

u(x)eixiE2t/（3）(r,t)u(x)eiEt/u(x)eiEt/二、（20分）一維無限深勢阱1、寫出能級和本征函數。a2、已知粒子處于(x) a

sin

xcos2x

，求粒子能量平均值。a a三、判斷題（每題10分，共40分）1、[,?]x2、問

d id 是否為厄米算符？dx dx3、exx2

sinxcosx

d2dx2

本征函數，若是，本征值為何？4、若[q,P]i，那么[q,P2f(q)]?（25分）粒子能級為E 、E01 02

，處于微擾H

a

ba中，求：a1、能量至二級近似；2、精確解。（25分）1已知粒子s21、求S?S?S?的本征值、本征函數。x y2、若x為最大本征值的本征態，問在該態下，Sz的可能值及相應幾率。華中科技大學2010年碩士學位研究生入學考試試卷考試科目：量子力學（試題隨答題紙交回）一、填空題（共30分）具體題目略。答案解析部分列出填空題的重要考點，考生須背誦記憶。二、（20分）一維無限深勢阱，如圖所示1、求能量本征值、本征態。2、坐標幾率及最大幾率位置。3x。4、(x)2。5、P。三、計算題（共30分，每題10分）1、[?x,?y]，[?y,?z]，[?z,?x]2、[2,?]，[2,?z]，[?z,?]3、證明：?|lm是2的本征態，并求其本征值。?|lm是?z的本征態，并求其本征值。四、（20分）如圖，已知V(x)V0x，求一級近似下基態和第一激發態能量。a1五、（20分）1自旋為s 的電子時自旋沿正z方向，若將其置于沿x方向的均勻磁場中，求：21、t時刻，電子自旋波函數(t)；2、在(t)態下，S?,S?,S?的平均值；x y z3、在(t)態下，S

測得的值為z

2的幾率分別是多少？提示：電子自旋與外磁場的作用能

e B。2mc六、實驗（畫出實驗原理圖，寫出結果及實驗分析（共30分）1、電子波粒二象性2、設計實驗證明電子有自旋且有2個取向。華中科技大學2011年碩士學位研究生入學考試試卷考試科目：量子力學（試題隨答題紙交回）一、填空題（共20分）具體題目略。二、實驗題（共40分）1“的分析，說明如何獲得量子化信息（5分）光電效應。黑體輻射。Davisson——Germer實驗。Stern——Gerlach實驗。2、考慮一電子束通過含有雙縫（其中一縫為A，另一縫為B）的擋板到達接受屏，試對下列每種情況粗略畫出電子出現在接收屏上的幾率隨位置的變化，并加以簡單分析分）（1）A開B關。（2）A和B均開。若將設備連接到雙縫上，使得自旋向上的電子通過縫A子通過縫B。通過縫A和縫B的電子均為自旋向上的電子。三、（20分）在0<x<a的一維無限深勢阱求粒子的能量本征值和本征函數；求坐標幾率分布和幾率最大位置；假設在t=0xt0)

85a85a

x x)sina a所描述的態中，求：①t=t0時的波函數；②t=t0時系統的平均能量。at=t00x2區域找到粒子的幾率。四、簡答題（每題5分，共20分）d1、試判斷算符 和

d是否可能表為力學量算符?即是否為厄米算符？dx dx2x2exsinxcosx本征值是多少？

d2dx2

本征函數？若是，相應3、算符?,?滿足?(x)x(x)?(x)xd(x)(x)dx[?,?]?4、（1）x對易關系。z y z（2）試求當粒子處于Y ,)態時角動量x分量的平均值為多少？lm五、計算題（每題15分，共30分）1、一維無限深勢阱（0<x<a）中粒子受到微擾 x 2x(0xa x Hx) a 2 的作用，求基態能量一級修正。2(1 )( xa) a 2E(0)a b 2、設在H0表象中，哈密頓算符?的矩陣為H 1 b

E(0)2

a，其中a，b為實數，試用微擾論求能量修正量（到二級近似，嚴格求解與微擾論計算值比較。六、（20分）通過解本征值方程試證明自旋在任何方向的投影只能有向上和向下兩個可能的取向。 (cos,cos,cos)提示：自旋角動量S在任意方向n

上的投影算符為coscoscosn x y z1、在這些?n的本征態中，測量?z有哪些可能值？2、這些可能值各以多大的幾率出現？3、S?的平均值是多少？z華中科技大學2012年碩士學位研究生入學考試試卷考試科目：量子力學（試題隨答題紙交回）一、簡答題（每題5分，共30分）1、波爾在當初建立原子光譜理論時作了哪些基本假設？該理論在解決實際問題時遇到困難，原因何在？德布羅意又是如何解決這些問題的？2、什么是波函數的統計解釋？簡要說明波函數和它所描述的粒子之間的關系。3、用量子力學的角度說明電子的意義。4、以能量這個力學量為例，簡要說明能量算符和能量之間的關系5、非相對論量子力學建立在一些基本假設上，試說出其中兩個基本假定，并簡要說明之。6、何為定態？判斷下列哪些是定態：（1）(x,t)u(x)eixiEt/u(x)eixiEt/1 2（2）(x,t)u(x)eiEt/u(x)eiEt/11（3）(x,t)u(x)eixiEt/1

11v(x)eixiEt/1二、實驗題（20分）試設計一實驗，從實驗角度證明電子具有自旋，并對可能觀察到的現象作進一步討論。三、證明與計算題（每題20分，共100分）11）[?,?]?；x y z（2）Y

中，L

L 0lm x y2、已知L?

??，2是軌道角動量平方，計算[2,?]和[?,?]。x y z 3、粒子在寬為a的一維無限深勢阱中運動，求：粒子的能級和歸一化波函數；粒子的動量和坐標的分布幾率。4、設一微觀體系的哈密頓?? ?，其中?為微擾。在一個由正交歸一函數作01 0 0 0 c 0為基的表象中，0 3 0，c 0 0，其中c為常數。0 000c002 00c002 求?的精確本征值；用微擾法求?二級修正的本征值；比較兩種結果。51是自旋在yz軸上的分量算符，求：2 y z?y ?zAB均為實數）的本征值和歸一化波函數；假設體系處在向上的本征態中，測得?y得到2的幾率是多少？華中科技大學2013年碩士學位研究生入學考試試卷考試科目：量子力學（試題隨答題紙交回）一、簡答題（30分）1、(x)|(x|2的含義。2、波函數的幾個條件。3、基態，束縛態，簡并態，偶宇稱態，散射態，態密度。4、算符，可測量量用什么算符表示，為什么用厄米算符表示力學量算符？5、定態，守恒量，好量子數。6、斯塔克效應，簡單塞曼效應，復雜塞曼效應，光譜精細結構。二、證明題（20分）1、束縛態能級非簡并，波函數為實函數。2、Y 中，L =L =0lm x y三、計算題（共100分，每題20分）1、?

1(22I 1

2 1y 2I2

2) 1z 2I2

2，用適當變換，求本征值和本征函。z2、一維線性諧振子n

，求①坐標和動量的漲落？②是否滿足測不準關系？3、在寬為a的一維無限深勢阱中，Ψ（x，0）=

（1cosπx

）sinπx

，求：85aa a85at=t時的波函數；0t=0t=t時的平均能量；0t=t0

a時，在0~2內發現粒子的概率；波函數在能量表象中的表示。1 c 0 4、H c00

3 0 （c<，0 c2求精確解；用微擾法求二級近似解；比較兩種結果。15、質量為u，自旋為2 的全同粒子，在寬為a的勢阱中：不計粒子的相互作用，用單粒子態和自旋態給出三個最低能態。有相互作用V（xx1 2

丨，用一階微擾求第二、三最低態能量（可以保留積分式）Ⅱ歷年考研真題試卷答案解析華中科技大學2001年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析考試科目：量子力學（試題隨答題紙交回）說明：每題20分，共100分0xa，t=0時其波函數為85a(x,t0) cos x)sin x85aa a0t=t時的波函數。00t=00

時的平均能量是多少？t=t

0x

a2內發現粒子的幾率是多少？0【考查重點】0該題考查第二章第六節一維無限深勢阱模型與利用第三章第六節中學的本征函數的完n全性將波函數展為 Cn

n的形式計算解題。對于第二章第五節定態薛定諤方程，應牢記方nf(t)eiEt。注意eicosisineicosisin。【答案解析】 令波函數為(,t) ()f(t)，其中r r2a sinnx0xa2a(x) ax0,xa 2由薛定諤方程i 2u(r)t 2m 2i(x)f(t) (x)f(t)（0<x<a）t 2m解得2a sinnxca2a

in2222ma2由(xt0)

(1cosx)sinx代入上式a85aaaa85aannxa2a85a2a85a

(1cos)sina2anxa2anxa85a

sin

sin2xa25aa2 25 aa1 25 aa sin a25aa2 25 aa1 25 aa得tt時的波函數0

22

2x

i422t85a(r,t)85a0

sin

a

2ma20

sin

e2ma20a5 25

2a2a

a

i22t 125a52ma2 25a5

sin

a

i222tma2 02a則2a(x,t0

i2t85a) sinae2ma2085a

i22t25asin a e ma2 025a2a體系在t=02a c

sin

nx

85a(185a

x x)sinn a5 2 5

a 2ax 2a5sin a 5

2a2a

2xa對應 n=1 n=222 22能量可能值：

2ma2 ma24相應幾率： 平均能量：

15E422

122

422t=t0時的平均能量：

5 2ma2

5 ma2

5ma2E4

22

1222

4225 2ma2

5 ma2

5ma2

時刻，在0xa區域找到粒子的幾率22a2

a 8 2dx2 sin

2 2 25a

dx1160 0 5a a a 2 15二、系統的哈密頓量?=12I1

(2x

2) 1y 2I2

L?2。z求能量本征值和能量本征函數。系統處于能量本征態，求(Lz【考查重點】算符間的關系及其計算。【答案解析】

)2(Ly

)2?? 1 (?2?2) 1 ?22I x y1

2I z2（1）

(?2?2)

L?22I z1

2I z2 1 ?21(11)?22I 2 I I z1 2 1具有共同本征函 (r,,)，其中nlmn1,2,,lm0,1,l又?2與?對應的本征值分別為zl(l2、m的本征值為1E l(l1)21

1 1 1( )m22n 2I1

2 I I2 1（2）因為系統處于能量本征態，那么L *z nlm

z

nlm

d*nlm

nlm

dmL2*

d*

m2

dm22z nlm

z

nlm

nlmL2z

L2Lz

20(Lz

)2(Ly

)2001 02 三設體系未受微擾作用時只有三個能級和E 01 02 微擾矩陣之為HHa,HH Hb,HHc,HHd，12 21

11 22

23

13 31其中a，b，c，d都是實數。假設滿足非簡并條件，求能量及二級修正值。【考查重點】考查第五章知識點非簡并微擾論，要求熟記能量修正公式至二級。【答案解析】微擾矩陣之

H dnm d

dcb受微擾前三能級E ,E ,E 非簡并，受微擾后修正至二級，得01 02 03H2H2nmE E(0)H 'n n nn

E(0)E(0)那么、2

EE1

b

mH21H21mEm 01

n mmE(0)m同理可得

E E1

b

a2E E01

d2E E ，01 03E E2 E E3

bb

a2E E02 d2E E03

c2E E02 03c2E E03 02XEx=0x0時該勢為340，x>0時為Ex=034【考查重點】考查第二章第八節勢壘貫穿相關知識點。【答案解析】寫出分區薛定諤方程為：d2

2

0,x0dx2 12d22

2 2(E

3E) 0,x0k2

2E2

dx2

2 4 2d21 k2 0,x0dx2 1 1d2 k其解為

dx22(2)2

0,x0ix

,x012kx,x022由x=0處的連續性條件，可得到：(0)1 2

(0)1RD(0)(0)ik(1R)ikD解得D=4/3，R=1/3從而幾率流密度 k

1 2k

2 k

8kJ ,J x R

|R|2

,J 2|D|2x x D x

x|J所以，反射幾率：R

|1D滿足R+D=1

|J |J|

|J| 98912，自旋為的全同粒子處于一維無限深勢阱（0<x<a）12略自旋相關力，求：1、粒子間無相互作用，用單粒子態和自旋態給出三個最低能態。2、粒子間有相互作用勢能x1

x，這可看成微擾，以一階微擾理論計算第二、2第三個最低能態的能量，將你的結果保留在積分式。【考查重點】考查第二章第六節一維無限深勢阱，第五章微擾理論，第七章自旋與全同粒子。【答案解析】1、求粒子體系的能量本征值和本征函數：忽略兩粒子間的相互作用時，體系總能量為二者各自能量的疊加：一維無限深勢阱：E n222n 2ma2

(n1,2)則EEE

22 (n2

n2)（n,

為正整數）1 2 2a2 1 2 1 2波函數

(x)

sinnx0xa2aa 。2ax0,xa考慮到是全同費米子體系，體系的總波函數(x,x1 2

)(s ,s1z

)必須是反對稱的，第一最低能態：n

=1，n=1，

222，則1 2 11

2a222 sin 1sin 2[11 a a a

(s )1z

(s )2z

(s )1z

(s )]2z2 2 2 2由于空間運動波函數是對稱的，故自旋運動的波函數必為反對稱的，且基態為非簡并態。第二最低能態：n

1，n2

12E12

5222a2

可組成如下四個態：三重態：(1,2,3)12

(x,xA 1

)(x,x)S 1 2(1,2)

2 x 2x [sin 1sin 2

2x

x1sin 2

(s

(s )12 a a a a

1 2

1 2z2(3)

x 2x2[sin 1sin 2

2x

x1sin 2][(s

(s )

(s )(s )]12 a a a a

1

1 2z

1

1 2z12

(4)

(x,x)S 1 2

(x,x1 2

2 2 2 2(4)

x 2x2 [sin 1sin 2

2x

x1sin 2][(s

(s )

(s )(s )]12 a a a a

1

1 2z

1

1 2z第三最低能態：n

1=n

2=2，E22

2a2

2 2 2 2可組成如下態：2 sin2

2x

1sin

2x

2[(s

(s )

(s )(s )]22 a a

1

1 2z

1

1 2z2 2 2 2由于空間運動波函數是對稱的，故自旋運動的波函數必為反對稱的，且為非簡并態。2、將粒子間相互作用勢能V（x-x1 2

丨）看作微擾：第二最低能態：為簡并態先計算子空間中的微擾矩陣元：*H a*

(k)V

(k)dx k=1，2，3，4k H H

12

12*(1)V*

(k)dx k=2，3，41k k1

0 12 12H a

(2)*V

(k)dx k=3，42k 0 12 12H a

(3)

(k)dx k=4*3k 0 12 12*一階微擾修正E12（1）滿足方程HE(1) H H H11 H21

12 13 140H E(1) H H022 12 23 24H H31 32

H E(1) H33 12 34H H41 42

H H43

E(1)12故能量E12

522E2ma2 12

(1)第三最低能態：為非簡并態一階微擾修正E22（1）滿足積分公式：即E 22E22 ma2

E 22

a0

*V dx22 22華中科技大學2002年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析考試科目：量子力學（試題隨答題紙交回）一、基本概念題（25分）1、波爾在當初建立原子光譜理論時作了哪些基本假設？該理論在解決實際問題時遇到困難，原因何在？德布羅意又是如何解決這些問題的？2、簡要說明波函數和它所描述的粒子之間的關系。3、以能量這個力學量為例，簡要說明能量算符和能量之間的關系。4、試問“電子”是什么？假設，并簡述之。【考查重點】案解析。【答案解析】1（1）（軌道）電子在原子中不可能沿著經典理論所允許的每一個軌道運動，而只能沿著其中一組特殊軌道運動；（2）（定態）沿這一組特殊軌道運動的電子處于穩定狀態，簡稱定態，當電子保持在這種狀態時，它們不吸收也不發出輻射；的吸收或發射現象電子由能量為E 的定態躍遷到能量為E的定態時所吸收或發射的輻射m nE E Enmh頻率滿足 ；（4）（量子化條件）為確定電子運動的可能軌道，玻爾提出量子化條件：在量子理論中，角動量必須是的整數倍。解決實際問題遇到困難的原因：玻爾理論的缺陷主要是由于把微觀粒子（電子、原子等）看作是經典力學中的質點，從而把經典力學的規律用在微觀粒子上。德布羅意對問題的解決方法：提出微觀粒子具有根本不同于宏觀質點的性質--波粒二象性，從而產生了較完整的描述微觀粒子運動規律的理論。2、由粒子衍射實驗知，粒子的波動性是許多電子在同一實驗中的統計結果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統計結果，波函數正是為描寫粒子這種行為引進的。玻恩在此基礎上提出了波函數的統計解釋，也是人們普遍接受的，即波函數在空間中某一點的強度（振幅絕對值的平方）描寫粒子的波是概率波。種性質，故我們說波函數描寫體系的量子狀態。由于粒子肯定要在空間中某一點出現，所以粒子在空間各點出現的概率總和等于而粒子在空間各點出現的概率只決定于波函數在空間各點的相對強度波函數一般應滿足連續性、單值性、有界性三個條件。3、即算符與力學量之間的關系。? 2 ?能量E所對應的能量算符為哈密頓算符，即H

- 2u（r，H是在哈密頓函2m（P2 （數E u 中將動量

得出的。2m r

P-i這反映了從力學量經典表示式得出量子力學中表示該力學量算符的規則：如果量子力學中的力學量F在經典力學中有相應的力學量，則表示這個力學量的 ? ? ? ?F由經典表示式F（，中將換為算符得出，即FP)

)。r P P

F(r,-i當體系處于哈密頓算符??在態中的本征值。推廣到一般，即提出一個基本假定：如果算符表示力學量F體系處于時，力學量F在態中的本征值。（x所描寫的狀態時 c(x)n nn測量力學量F所得數值，必定是算符的本征值之一，測得 的概率是c 2。n n4（1）電子是實物粒子，具有質量、能量、動量；電子具有波動性，有頻率、波長；它又不是經典概念的波，也不是經典概念的粒子；

Eh,P

h

k，但電子具有自旋，是s1的費米子；2電子采取繞原子核運動的方式。5（1）質，波函數一般應滿足連續性、有限性和單值性三個條件；力學量用厄米算符表示，如果在經典力學中有相應的力學量，則在量子力學中表示這個力學量的算符，由經典表示式中將P換為算符

-i得出，表示力學量的算符有組成完全系的本征函數；將體系的狀態波函用算符?的本征函數展（? n n n

：cn nn

c

d態中測量力學量F得到結果為

的概率是cn

2，得到n結果在~d范圍內的概率是c 2d；n體系的狀態波函數滿足薛定諤方程：it

?，?是體系哈密頓算符；在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互調換不改變體系的狀態（理。（20分）試設計一實驗，從實驗角度證明電子具有自旋，并對可能觀察到的現象作進一步討論。【考查重點】考查第七章考點：電子自旋實驗。【答案解析】即施特恩-格拉赫實驗，實驗原理圖：實驗細節：由k射出處于s態氫原子束，通過狹縫B和不均勻磁場，最后射到照片上，實驗結果是照片上出現兩條分立的線。現象討論： ①設原子磁矩為MB，方向沿z方向，則磁矩在磁場中勢能為M

B

cosz

zF MBzcosz z zB由不均勻磁場，

zz0，由實驗觀察射線束發生偏轉，則M0。即氫原子具有磁矩。②由實驗結果只有兩條分立的線，對應于cos1和cos1向，即cos從。即氫原子磁矩只有兩個取向。③由實驗中用的射線是處于s態氫原子，角量子數 e l0，

l(l

0，ML

L所以原子沒有軌道角動量，也沒有軌道磁矩。所以原子所具有的磁矩是電子固有磁矩，即自旋磁矩。由此證明電子具有自旋。（15分）的粒子在如圖所示的一維無限深勢阱中運動，求定態薛定諤方程的解。【考查重點】求定態薛定諤方程的解指波函數和能級的表示（【答案解析】aux)

0xax0,xa由波函數應滿足的連續性和有限性條件，當xxa0。當0xa時，定態薛定諤方程

2 d22mdx

(x)E(x)，即d2dx2

(x)

22

(x)02mE2令 2mE2d2dx2

(x)k2(x)0x解為：Asin(kxx

A,為待定常數。由連續性0

a

0得①Asin0 ②Asin(ka)0x由①可知0，則Asinkxxn由②可知kankn

an（n=0得零解無意義）又sinkx為奇函數，n為負數時，解與n為正數時只差負號。歸一化

(x)Asinn a

(n1,2,)a a a(x)2dxA20 n

sin2

a dx2A212aA2a所以歸一化薛定諤方程解為2a n2a(x) sin x 0x

n1,2,30E

a2kn

x0,x2n22

n1,2,3n 2m 2ma2（15分）D的空間轉子處在均勻很弱電場E基態能量的二級修正。3434第五章微擾理論相關知識點。需要記憶Y 00

,Y 1414

cos。【答案解析】 由于電場E很弱，故可用微擾法。取E的正方向為z軸正向建立坐標系，則轉子哈密頓算符為

L?2

D

L?2

DEcos?

2I 2I

?取H0

2I

HDEcos

0的本征值為E0

l(l1)2l 2I本征函數

0Ylm

,) l1 ml基態（非簡并態l=，?0的能量E00。0根據非簡并定態微擾理論En

E0n

H' HH2E0E0nmm n m基態能量：

E E00 0

H00

'

HH0m2E0E0一級修正：

m 0 mH Y*d00 01

0 00 00(DEcos)dDE4

20

cossindd0二級修正： m

0HH0m2E0mH dY*(DEcosd0m 0 mY*(DEcos)lm

lm 0014dY*(143lm3

1Y d31033DE3

Y*

d

DE

(m1)lm10

l1H2EEH2EE0mE '0

3E3

3 2

D2E2I32m 0 m 1 I（25分）通過解本征值方程試證明自旋在任何方向的投影只能有向上和向下兩個可能的取向。 (cos,cos,cos)S在任意方向

上的投影算符為coscoscosn x y z有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現？z的平均值是多少？n【考查重點】象下求解。【答案解析】? ? 0 1 ? 0 i ? 1 0在S

，

，S

，所以z x 21 0

y 2i 0

z 20 1coscoscosn x y z cos cosicos2cosicos cos 2cos (cosicos)2久期方程：

2(cosicos

2cos22

0，得的本征值為，說明自旋在任何方向的投影只能有向上和向下兩個可能的取向。n 2?

a自旋向上的狀態即S ，設對應的本征函數矩陣表示為(s) ，則n 2 cos

1 2cosicosa a

b2cosicosb

coscosicos1cos

，得b b a a由歸一化條件

a* b* 1得1 1 b2 2cosicos2(1cosicos2(1cos)1cos21cos21cos22(1cos)(s

2(1cos))cosicos2(1cos)

1cos

cosicos1 n

2 1 12 2 2 所以的可能值為 n 2 2相應幾率平均值

1cos1cos2cos22?

2 1cos cosicoscosicos2(1cos)2 2 S cos2 sin2 cosn 2 2 2 2 2華中科技大學2003年碩士學位研究生入學考試試卷答案解析考試科目：量子力學（試題隨答題紙交回）（35分）1、玻爾的原子理論實際上是一個半經典理論，簡述這里所說的“半經典”的含義。220初的實驗事實，試將這些實驗進行分類并簡要說明由這些實驗事實所抽象出的一些基本概念。3、“物體以h為能量單位不連續地發射或吸收頻率為的電磁波，但輻射本身作為廣布于空間的電磁波其能量是連續分布的”，試問這一說法是否正確？4、簡述波函數和它所描寫的粒子之間的關系。5（）如果算符?表示力學量，那么當體系處于?的本征態有確定的值？（2）如果一組算符有共同的本征函數，且這些共同的本征函數組成完全系，問這組算符中的任何一個是否和其余的算符對易？6、在? 表象中，電子波函數可表示為

，簡要說(r,SZ

,t)(r,t)Z 1 1

(r,t)2 12 2明其物理意義。7、試判斷下列函數中的那些所描述的狀態是定態？(x,t)u(x)eixiEt/v(x)eixiEt/1(x,t)u(x)eixiEt/1

u(x)eixiEt/2（3）(x,t)u(x)eiEt/u(x)eiEt/2【考查重點】考查量子力學理論基礎，考生對基本概念的掌握。【答案解析】1、半經典是指理論中軌道半徑和能量是量子化的，但理論把微觀粒子看作經典力學中的質點，把經典力學的規律用于微觀粒子，這樣導致理論中存在難以解決的內在矛盾。或：玻爾為解釋原子的光譜線系提出了原子結構的量子論”含義：理論基礎是電子（經典質點）理論基礎是經典的。電子在原子中不是沿著經典理論允許的每一個軌道運動軌道運動是經典的。看作是經典力學中的質點，把經典力學的規律用在微觀粒子上。2、第一組實驗：光的粒子性實驗，如黑體輻射、光電效應，證實了光也具有粒子性，從而建立了光具有波粒二象性的概念。第二組實驗：粒子的波動性實驗，如電子、中子在晶體表面的衍射、電子Young微觀粒子具有波動性從而建立了物質波概念。第三組實驗：施特恩--格拉赫電子自旋實驗，證明了氫原子具有磁矩，原子所具有的磁矩是電子的固有磁矩，即自旋磁矩。3、不正確。輻射本身既有波動性（其能量是連續，又有粒子性（其能量量子化。的微粒形式出現，而且以這種形式以速度c用這個觀點，愛因斯坦成功解釋了光電效應。4、由粒子衍射實驗知，粒子的波動性是許多電子在同一實驗中的統計結果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統計結果，波函數正是為描寫粒子這種行為引進的。（1）玻恩在此基礎上提出了波函數的統計解釋，也是人們普遍接受的，即波函數在空間中某一點的強度（振幅絕對值的平方）粒子的波是概率波。種性質，故我們說波函數描寫體系的量子狀態。由于粒子肯定要在空間中某一點出現，所以粒子在空間各點出現的概率總和等于而粒子在空間各點出現的概率只決定于波函數在空間各點的相對強度（2）微觀體系狀態被一個波函數完全描述，從這個波函數可以得出體系的所有性質，波函數一般應滿足連續性、單值性、有界性三個條件。微觀粒子的狀態波函數的本征函數（n，c cd，n n n

,n n

：則在態中測量粒子的力學量F得到結果為n的幾率是|cn|2d范圍內的幾率是|c|2d。5（）是，其確定值就是?在本征態（2）是，設這組算符為?,?,?，完全系為

}，依題意?n

A，?n n

B，?n n

nC，………。n n則對任意波函數，[?,?](????)n

????)n

(A B BA ) 0n n n n nn n n任何一個和其余的算符對易。反之逆定理也成立。6、

代表S1 2

（自旋向上）的狀態波函數，2 代表S1 z2

（自旋向下）的狀態波函數。2r在任意態r

,t)中t時刻r處單位體積內測量自旋向上、向下的電子幾率分別為z(r,t)2，

(r,t)2。歸一化表示為(|1

1|2|2

2|2)dr1。7（1）(rt)u(x)eixiEt/v(x)eixiEt/u(x)eixv(x)eix]eiEt/(r,t)|2u(x)eixv(x)eix]|2與時間無關，所以該函數所描寫的狀態是定態。1（2）(r,t)u(x)eixiEt/u(x)eix1

t/2(r,t)

u(x)(eixiEt/eixiEt/)u(x)(eixiEt/eixiEt/)1 2 1 12u(x)2(2ei2xi(EE1 2 1 12

)t/ei2xi(EE

)t/)122u(x)2[1cos(2x(E121

E)t/)]2與時間t有關，不是定態。再者，能量EE1 2

不等，說明不是定態。（3）

(r,t)u(x)eiEt/u(x)eiEt/2u(x)cos(Et/)4|u(x)|2不是定態。

cos2(Et/)（20分）?(x)x(x),?(x)xd(x)[?,?]?dx2、設粒子在寬為a的一維無限深勢阱中運動，求基態動量的平均值和基態動量平方的平均值。【考查重點】第三章算符、力學量期望值的計算。【答案解析】[?,?](x)(????)(x)??(x)??(x)x4d(x)xd(x3(x))1、d(x) d(x)x4 3x3(x)x4 3x3(xdx dx

dx dx所以[?,?]3x32、在寬為a的一維無限深勢阱中xxxx運動粒子的波函數為：

2a2a (x)n

sin

nx,0xa.a基態a

0,x0,xa.2 a nx d nxp*?dx 0 a 0

sin (i )sin dxa dx ai

2na

nx

cos

nx

dx0a2動量平方的平均值a

o a a2 a nx

d2 nxp2*?2dx sin0 a 0

(

dx

)sin a2

2(n)2asinnxsinnxdx(n)2a3 o a a a2基態（n=1）有p2

22。a2（15分）考慮在三維各向同性勢V(r)

m2r2下運動的帶電荷+ex方向的電2場E的作用，求粒子的定態能量和波函數。m提示：已知一維線性諧振子對應于量子數m(xn

)( )121

22

H n

，其中【考查重點】

22nn!第二章第七節線性諧振子。注意三維的求解是分為三個一維求解，然后能量EE E E，波函數（）（）（z。x y z【答案解析】由題意知，三位諧振子哈密頓算符：?

?2

1m2r2eEx? ? ? ，其中2m 2

x y z? 2

2

1m2x

eExx 2mx2 2? 2 2

m2y21y 2my2 21? 2 2

m2z21z 2mz2 21（

,x

,y

）有共同本征函數，znnnxyz

(x,y,z)nx

(x)ny

(x)nz

(x)Nnx

2N N e2r2Hn n y z

(x)Hny

(y)Hnz

(z)其中歸一化因子：Nn

( 1/22n

)1/2，nx，ny，nz=0，1，2，3………相應的能量：E nnnxyz

n n 3)(N3),Nx y z 2 2

n nx y

0,1,2,3（25分）x y

x y

。x y1、分別求下列算符間的對易關系：[2,?]，[2,?]，[?,?]，[?,?]； z z2、已知Ylm

,)為2和?的共同本征態，相應的本征值分別為l(l)2和，試z通過計算證明?Y ,)和?Y ,)均為2和?的本征態。lm lm z相應的本征值為多少？簡要說明結果的物理意義。【考查重點】算符的運算、本征值與本征態。【答案解析】1、[?2,? ][?2,? x

i? ]0y[?,?]?z

[?,?]?- z -[? ,? ][? ,? ? ][? ,? ][? ,? ]? i(i? )z z x y z x z y y x