第二節函數的求導法則要發明，就要挑選恰當的符號，要做到這一點，就要用含義簡明的少量符號來表達和比較忠實地描繪事物的內在本質，從而最大限度地減少人的思維活動.-------F.萊布尼茨求函數的變化率——導數，是理論研究和實踐應用中經常遇到的一個普遍問題.但根據定義求導往往非常繁難，有時甚至是不可行的.能否找到求導的一般法則或常用函數的求導公式，使求導的運算變得更為簡單易行呢？從微積分誕生之日起，數學家們就在探求這一途徑.牛頓和萊布尼茨都做了大量的工作.特別是博學多才的數學符號大師萊布尼茨對此作出了不朽的貢獻.今天我們所學的微積分學中的法則、公式，特別是所采用的符號，大體上是由萊布尼茨完成的.分布圖示★引言 ★和、差、積、商的求導法則★例1-2 ★例3-4 ★例5★例6★應用舉例——作為變化率的導數★反函數的導數 ★例10 ★例11★復合函數的求導法則 ★初等函數的求導法則★例12 ★例13 ★例14★例15★例16 ★例17 ★例18★例19★例20★例21 ★例22 ★例23★例24－25 ★例26★雙曲函數與反雙曲函數的導數 ★例27★內容小結 ★課堂練習★習題2-2 內容要點一、導數的四則運算法則二、反函數的導數：反函數的導數等于直接函數導數的倒數.三、復合函數的求導法則定理3若函數在點x處可導,而在點處可導,則復合函數在點x處可導,且其導數為或注:復合函數的求導法則可敘述為：復合函數的導數，等于函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數.這一法則又稱為鏈式法則.復合函數求導既是重點又是難點.在求復合函數的導數時,首先要分清函數的復合層次，然后從外向里,逐層推進求導，不要遺漏,也不要重復.在求導的過程中，始終要明確所求的導數是哪個函數對哪個變量(不管是自變量還是中間變量)的導數.在開始時可以先設中間變量,一步一步去做.熟練之后，中間變量可以省略不寫，只把中間變量看在眼里，記在心上，直接把表示中間變量的部分寫出來，整個過程一氣呵成.四、初等函數的求導法則：函數的和、差、積、商的求導法則反函數的求導法則復合函數的求導法則五、雙曲函數與反雙曲函數的導數例題選講導數的四則運算法則的應用例1(E01)求的導數.解例2(E02)求的導數.解例3(E03)求的導數;解即同理可得例4(E04)求的導數;解同理可得例5求的導數.解因為所以注:此題如果利用后面講到的復合函數的求導法則則計算過程更為簡單.那時，不必按本題那樣拆開為兩項來計算.例6(E04)人體對一定劑量藥物的反應有時可用方程：來刻畫，其中，C為一正常數，M表示血液中吸收的藥物量。衡量反應R可以有不同的方式：若反應R是用血壓的變化來衡量，單位是毫米水銀柱；若反應R用溫度的變化衡量，則單位是攝氏度。解反函數的導數例7(E05)（瞬時變化率）圓面積A和其直徑D的關系方程為A=,當D=10m時，面積關于直徑的變化是多大？解面積關于直徑的變化率是，當D=10m時，面積的變化率是（）即當直徑由D由10米增加1米變為11米后圓面積約增加5平方米例8(E06)（質點的垂直運動模型）一質點以每秒50米的發射速度垂直射向空中，秒后達到的高度為（米）（見圖），假設在此運動過程中重力為唯一的作用力，試求(1)該質點能達到的最大高度？(2)該質點離地面120米時的速度是多少？(3)何時質點重新落回地面？解依題設及§1.1引例1的討論,易知時刻t的速度為(米/秒).當秒時，變為0，此時質點達到最大高度(米).令,解得或6，故(米/秒)或(米/秒).(3)令,解得(秒),即質點10秒后重新落回地面.例9(E07)(經濟學中的導數)某產品在生產8到20件的情況下，其生產件的成本與銷售件的收入分別為=(元)與=(元)，某工廠目前每天生產10件，試問每天多生產一件產品的成本為多少?每天多銷售一件產品面獲得的收入為多少?解在每天生產10件的基礎上再多生產一件的成本大約為:（）,(元),即多生產一件的附加成本為272元.邊際收入為（）=3，=250(元)，即多銷售一件產品而增加的收入為250元.例10(E08)求函數的導數.解在內單調、可導,且在對應區間內有同理可得例11(E09)求函數的導數.解在內單調、可導，且在對應區間內有特別地復合函數的求導法則例12(E10)求函數的導數.解設則例13(E11)求函數的導數.解設則注：復合函數求導既是重點又是難點.在求復合函數的導數時，要從外層,逐層推進.先求對大括號內的變量的導數再求對中括號內的變量的導數最后求對小括號內的變量的導數.在這里，首先要始終明確所求的導數是哪個函數對哪個變量(不管是自變量還是中間變量)的導數;其次,在逐層求導時,不要遺漏,也不要重復.熟練之后可以不設中間變量的字母,心中記住,一氣呵成.例14(E13)求函數的導數.解例15求函數的導數.解一設中間變量,令于是解二不設中間變量.例16(E12)求函數的導數.解例17求函數的導數.解例18求函數的導數.解例19求導數解在函數表達式中,考慮到對數的底是變量,可用對數換底公式,將其變形為這時例20求導數解例21求導數解例22設求解當時,當時,當時,即所以例23(E14)求函數的導數.解求分段函數的導數時，在每一段內的導數可按一般求導法則求之，但在分段點處的導數要用左右導數的定義求之.當時,當時,當時,由知,所以例24已知可導，求函數的導數.解注:求此類含抽象函數的導數時，應特別注意記號表示的真實含義，此例中,表示對求導，而表示對求導.例25求導數且可導.解例26求導數:且可導.解雙曲函數與反雙曲函數的導數例27(E15)求函數的導數.解課堂練習1.求下列函數的導數: