2022-2023學年海南省海口市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.交變應力的變化特點可用循環特征r來表示，其公式為()。

A.

B.

C.

D.

3.A.A.發散B.條件收斂C.絕對收斂D.無法判定斂散性4.方程2x2-y2=1表示的二次曲面是（）。A.球面B.柱面C.旋轉拋物面D.圓錐面5.設平面π1：2x+y+4z+4=0π1：2x-8y+Z+1=0則平面π1與π2的位置關系是A.A.相交且垂直B.相交但不垂直C.平行但不重合D.重合6.設二元函數z=xy，則點P0(0，0)A.為z的駐點，但不為極值點B.為z的駐點，且為極大值點C.為z的駐點，且為極小值點D.不為z的駐點，也不為極值點

7.

8.

9.

10.函數y=ex+arctanx在區間[-1，1]上（）

A.單調減少B.單調增加C.無最大值D.無最小值11.設y=exsinx，則y'''=A.cosx·ex

B.sinx·ex

C.2ex(cosx-sinx)

D.2ex(sinx-cosx)

12.A.dx+dy

B.

C.

D.2(dx+dy)

13.當x→0時，x2是2x的A.A.低階無窮小B.等價無窮小C.同階但不等價無窮小D.高階無窮小14.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數法求其特解y*時，下列特解設法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

15.設f(x)在點x0處取得極值，則()

A.f"(x0)不存在或f"(x0)=0

B.f"(x0)必定不存在

C.f"(x0)必定存在且f"(x0)=0

D.f"(x0)必定存在，不一定為零

16.

17.

18.

A.0

B.

C.1

D.

19.

20.

二、填空題(20題)21.22.微分方程exy'=1的通解為______．

23.

24.

25.微分方程y"-y'-2y=0的通解為______．

26.

27.28.設z=x3y2，則=________。

29.

30.設y=lnx，則y'=_________。

31.二元函數z=x2+3xy+y2+2x，則=________。

32.

33.34.35.冪級數的收斂半徑為______．

36.

37.設區域D由曲線y=x2，y=x圍成，則二重積分

38.

39.∫e-3xdx=__________。

40.

三、計算題(20題)41.

42.43.

44.45.求曲線在點(1，3)處的切線方程．46.證明：47.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則48.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

49.

50.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．51.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

52.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

53.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．54.求微分方程的通解．55.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．56.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

57.

58.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

59.60.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

四、解答題(10題)61.計算

62.63.64.65.求微分方程xy'-y=x2的通解．66.67.求y=xlnx的極值與極值點．

68.設y=e-3x+x3，求y'。

69.求fe-2xdx。

70.

五、高等數學(0題)71.已知同上題若產品以每件500元出售，問：要使利潤最大，應生產多少件?

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.A

2.A

3.C

4.B

5.A平面π1的法線向量n1=(2，1，4)，平面π2的法線向量n2=(2，-8，1)，n1*n1=0。可知兩平面垂直，因此選A。

6.A

7.C

8.B

9.B

10.B因處處成立，于是函數在（-∞，+∞)內都是單調增加的，故在[-1，1]上單調增加.

11.C由萊布尼茨公式，得（exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx).

12.C

13.D

14.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

15.A若點x0為f(x)的極值點，可能為兩種情形之一：(1)若f(x)在點x0處可導，由極值的必要條件可知f"(x0)=0；(2)如f(x)=|x|在點x=0處取得極小值，但f(x)=|x|在點x=0處不可導，這表明在極值點處，函數可能不可導。故選A。

16.D

17.C解析：

18.A

19.C解析：

20.C解析：

21.答案：122.y=-e-x+C本題考查的知識點為可分離變量方程的求解．

可分離變量方程求解的一般方法為：

(1)變量分離；

(2)兩端積分．

由于方程為exy'=1，先變形為

變量分離dy=e-xdx．

兩端積分

為所求通解．

23.eyey

解析：

24.

解析：25.y=C1e-x+C2e2x本題考查的知識點為二階線性常系數微分方程的求解．

特征方程為r2-r-2=0，

特征根為r1=-1，r2=2，

微分方程的通解為y=C1e-x+C2ex．

26.

27.

28.由z=x3y2，得=2x3y，故dz=3x2y2dx+2x3ydy，。

29.3yx3y-13yx3y-1

解析：

30.1/x31.因為z=x2+3xy+y2+2x，

32.y=1/2y=1/2解析：

33.

本題考查的知識點為可分離變量方程的求解．

可分離變量方程求解的一般方法為：

(1)變量分離；

(2)兩端積分．

34.

本題考查的知識點為定積分運算．

35.0本題考查的知識點為冪級數的收斂半徑．

所給冪級數為不缺項情形

因此收斂半徑為0．

36.6x26x2

解析：37.本題考查的知識點為計算二重積分．積分區域D可以表示為：0≤x≤1，x2≤y≤x，因此

38.2

39.-(1/3)e-3x+C

40.(1+x)ex(1+x)ex

解析：

41.

則

42.43.由一階線性微分方程通解公式有

44.

45.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

46.

47.由等價無窮小量的定義可知48.由二重積分物理意義知

49.

50.

51.

52.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

53.

列表：

說明

54.55.函數的定義域為

注意

56.

57.

58.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

59.

60.

61.本題考查的知識點為計算廣義積分．

計算廣義積分應依廣義積分收斂性定義，將其轉化為定積分與極限兩種運算．即

62.

63.本題考查的知識點為定積分的換元積分法．

64.65.將方程化為標準形式本題考查的知識點為求解一階線性微分方程．

求解一階