2022-2023學年江西省宜春市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.A.A.

B.e

C.e2

D.1

3.在下列函數中，在指定區間為有界的是()。

A.f(x)=22z∈(一∞，0)

B.f(x)=lnxz∈(0，1)

C.

D.f(x)=x2x∈(0，+∞)

4.

()A.x2

B.2x2

C.xD.2x

5.微分方程y"-y=ex的一個特解應具有的形式為(下列各式中α、b為常數)。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

6.

7.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

8.

9.由曲線，直線y=x，x=2所圍面積為

A.

B.

C.

D.

10.設()．A.A.必定收斂B.必定發散C.收斂性與a有關D.上述三個結論都不正確11.A.0B.2C.2f(-1)D.2f(1)

12.

13.

14.設函數f(x)在區間(0，1)內可導f(x)>0，則在(0，1)內f(x)（）．

A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量

15.

16.A.A.4πB.3πC.2πD.π17.下列關系式正確的是()A.A.

B.

C.

D.

18.設f(0)=0，且存在，則等于()．A.A.f'(x)B.f'(0)C.f(0)D.f(x)

19.設f(x)=sin2x，則f(0)=()

A.-2B.-1C.0D.2

20.已知作用在簡支梁上的力F與力偶矩M=Fl，不計桿件自重和接觸處摩擦，則以下關于固定鉸鏈支座A的約束反力表述正確的是()。

A.圖(a)與圖(b)相同B.圖(b)與圖(c)相同C.三者都相同D.三者都不相同二、填空題(20題)21.冪級數的收斂半徑為______．22.

23.

24.

25.

26.方程y'-ex-y=0的通解為_____.

27.設f(x，y)=x+(y-1)arcsinx，則f'x(x，1)=__________。

28.

29.

30.設f(x，y)=sin(xy2)，則df(x，y)=______.

31.

32.通解為C1e-x＋C2e-2x的二階常系數線性齊次微分方程是____.

33.設z=x2y+siny，=________。

34.

35.36.二元函數z=x2+3xy+y2+2x，則=________。

37.

38.39.微分方程y"=y的通解為______．40.設y=3x，則y"=_________。三、計算題(20題)41.

42.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

43.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

44.

45.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．46.證明：47.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

48.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

49.50.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．51.求微分方程的通解．52.求曲線在點(1，3)處的切線方程．53.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．54.

55.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．56.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.

59.60.四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.(本題滿分10分)

66.

67.

確定a，b使得f(x)在x=0可導。

68.

69.70.的面積A。五、高等數學(0題)71.已知同上題若產品以每件500元出售，問：要使利潤最大，應生產多少件?

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C

2.C本題考查的知識點為重要極限公式．

3.A∵0<2x<1x∈(一∞，0)∴f(x)=2x在區間(一∞，0)內為有界函數。

4.A

5.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根為r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由項f1(x)=ex，α=1是特征單根，故應設定y*=αxex，因此選B。

6.D

7.B本題考查了一階線性齊次方程的知識點。

因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y,此為常系數一階線性齊次方程,其特征根為r=2,所以其通解為y=Ce2x,又當x=0時，f(0)=ln2,所以C=In2,故f(x)=e2xln2.

注:方程y'=2y求解時也可用變量分離.

8.C

9.B

10.D

11.C本題考查了定積分的性質的知識點。

12.A解析：

13.A

14.A本題考查的知識點為利用導數符號判定函數的單調性．

由于f(x)在(0，1)內有f(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

15.C解析：

16.A

17.C

18.B本題考查的知識點為導數的定義．

由于存在，因此

可知應選B．

19.D由f(c)=sin2x可得f"(x)=cos2x(2x)"=2cos2x，f"(0)=2cos0=2，故選D。

20.D21.0本題考查的知識點為冪級數的收斂半徑．

所給冪級數為不缺項情形

因此收斂半徑為0．22.

23.

24.

解析：

25.12x12x解析：26.ey=ex+Cy'-ex-y=0，可改寫為eydy=exdx，兩邊積分得ey=ex+C.

27.1

28.0

29.

30.y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dydf(x，y)=cos(xy2)d(xy2)=cos(xy2)(y2dx+2xydy)=y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy也可先求出，而得出df(x，y).31.0．

本題考查的知識點為冪級數的收斂半徑．

所給冪級數為不缺項情形

因此收斂半徑為0．

32.33.由于z=x2y+siny，可知。

34.

35.36.因為z=x2+3xy+y2+2x，

37.（-35）（-3，5）解析：

38.39.y'=C1e-x+C2ex

；本題考查的知識點為二階常系數線性齊次微分方程的求解．

將方程變形，化為y"-y=0，

特征方程為r2-1=0；

特征根為r1=-1，r2=1．

因此方程的通解為y=C1e-x+C2ex．40.3e3x

41.

42.

43.函數的定義域為

注意

44.

45.

列表：

說明

46.

47.

48.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

49.50.由二重積分物理意義知

51.52.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

53.

54.由一階線性微分方程通解公式有

55.56.由等價無窮小量的定義可知

57.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

58.

則

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.本題考查的知識點為計算二重積分，選擇積分次序．

積分區域D如圖1—3所示．

D可以表示為

【解題指導】

如果將二重積分化為先對x后對y的積分，將變得復雜，因此考生應該學會選擇合適的積分次序．

66.

67.

①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可導一定連續∴a+b=1②

∵可導f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=5①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可導一定連續∴a+b=1②∵可導f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=