2022-2023學年廣東省梅州市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.已知y=ksin2x的一個原函數為y=cos2x，則k等于（）．A.A.2B.1C.－lD.－2

2.

3.平面的位置關系為()。A.垂直B.斜交C.平行D.重合4.A.A.

B.

C.

D.

5.

6.當x→0時，x2是x-ln(1+x)的()．

A.較高階的無窮小B.等價無窮小C.同階但不等價無窮小D.較低階的無窮小

7.曲線Y=x-3在點(1，1)處的切線的斜率為()．

A.-1

B.-2

C.-3

D.-4

8.設y=sin2x，則y'等于()．A.A.-cos2xB.cos2xC.-2cos2xD.2cos2x9.A.1B.0C.2D.1/2

10.A.e-2

B.e-1

C.e

D.e2

11.

12.A.A.

B.

C.-3cotx+C

D.3cotx+C

13.A.－cosxB.－ycosxC.cosxD.ycosx14.設函數y=ex-2,則dy=()A.e^(x-3)dxB.e^(x-2)dxC.e^(x-1)dxD.e^xdx15.設等于()A.A.-1B.1C.-cos1D.1-cos1

16.設y=x2-e2，則y=

A.2x-2e

B.2x-e2

C.2x-e

D.2x

17.函數y=x2-x+1在區間[-1，3]上滿足拉格朗日中值定理的ξ=A.A.-3/4B.0C.3/4D.1

18.

19.微分方程y"+y'=0的通解為

A.y=Ce-x

B.y=e-x+C

C.y=C1e-x+C2

D.y=e-x

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

則b__________.

24.25.

26.曲線y=x/2x-1的水平漸近線方程為__________。

27.

28.

29.

30.

31.

32.設f(x)=sinx/2，則f'(0)=_________。

33.

sint2dt=________。

34.

35.過M0(1，-1，2)且垂直于平面2x-y+3z-1=0的直線方程為______．

36.

37.設區域D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，則x2dxdy化為極坐標系下的二重積分的表達式為________。38.39.

40.過點M1(1，2，-1)且與平面x-2y+4z=0垂直的直線方程為__________。

三、計算題(20題)41.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．42.

43.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．44.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

45.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．46.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

47.

48.

49.求微分方程的通解．50.

51.求曲線在點(1，3)處的切線方程．52.53.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．54.證明：55.

56.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

57.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

58.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

59.60.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則四、解答題(10題)61.求由曲線y=x，y=lnx及y=0，y=1圍成的平面圖形的面積S及此平面圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體體積．62.

63.

64.65.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。66.67.68.

69.

70.(本題滿分8分)

五、高等數學(0題)71.設函數f(x)=x.sinx，則

=()

A.0

B.-1

C.1

D.

六、解答題(0題)72.求曲線y=2-x2和直線y=2x＋2所圍成圖形面積．

參考答案

1.D本題考查的知識點為原函數的概念、復合函數求導．

2.A

3.A本題考查的知識點為兩平面的關系。兩平面的關系可由兩平面的法向量，n1，n2間的關系確定。若n1⊥n2，則兩平面必定垂直．若時，兩平面平行；

當時，兩平面重合。若n1與n2既不垂直，也不平行，則兩平面斜交。由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1·n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，應選A。

4.B本題考查的知識點為偏導數運算．

由于z＝tan(xy)，因此

可知應選B．

5.D解析：

6.C解析：本題考查的知識點為無窮小階的比較．

由于

可知當x→0時，x2與x-ln(1+x)為同階但不等價無窮小．故應選C．

7.C點(1，1)在曲線．由導數的幾何意義可知，所求切線的斜率為-3，因此選C．

8.D本題考查的知識點為復合函數求導數的鏈式法則．

Y=sin2x，

則y'=cos(2x)·(2x)'=2cos2x．

可知應選D．

9.C

10.D由重要極限公式及極限運算性質，可知故選D．

11.D

12.C

13.C本題考查的知識點為二階偏導數。由于z＝ysinx，因此可知應選C。

14.B

15.B本題考查的知識點為可變上限的積分．

由于，從而知

可知應選B．

16.D

17.D

18.C

19.C解析：y"+y'=0，特征方程為r2+r=0，特征根為r1=0，r2=-1；方程的通解為y=C1e-x+C1，可知選C。

20.D

21.

22.

23.所以b=2。所以b=2。24.本題考查的知識點為偏導數的運算。由于z=x2+3xy+2y2-y，可得

25.本題考查的知識點為：求解可分離變量的微分方程．

26.y=1/2

27.

28.

29.1

30.

31.

32.1/2

33.

34.1/21/2解析：

35.本題考查的知識點為直線方程的求解．

由于所求直線與平面垂直，因此直線的方向向量s可取為已知平面的法向量n=(2，-1，3)．由直線的點向式方程可知所求直線方程為

36.

解析：37.因為D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，所以令且0≤r≤a，0≤0≤π，則=∫0πdθ∫0acos2θ.rdr=∫0πdθ∫0ar3cos2θdr。

38.39.5．

本題考查的知識點為二元函數的偏導數．

解法1

解法2

40.41.函數的定義域為

注意

42.

則

43.

44.

45.46.由二重積分物理意義知

47.

48.

49.50.由一階線性微分方程通解公式有

51.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

52.

53.

列表：

說明

54.

55.

56.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

57.

58.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

59.

60.由等價無窮小量的定義可知61.所給曲線圍成的圖形如圖8-1所示．

62.

63.64.解法1原式(兩次利用洛必達法則)解法2原式(利用等價無窮小代換)本題考查的知識點為用洛必達法則求極限．

由于問題為“∞-∞”型極限問題，應先將求極限的函數通分，使所求極限化為“”型問題．

如果將上式右端直接利用洛必達法則求之，則運算復雜．注意到使用洛必達法則求極限時，如果能與等價無窮小代換相結合，則問題常能得到簡化，由于當x→0時，sinx～x，因