9.3向量基本定理及坐標表示9.3.1平面向量基本定理學習任務核心素養1．理解平面向量基本定理的內容，了解向量的一組基底的含義．(重點)2．在平面內，當一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量．(重點)3．會應用平面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題．(難點)通過平面向量基本定理的推導與應用，培養邏輯推理與數學運算素養．火箭在升空的某一時刻，速度可以分解成豎直向上和水平向前的兩個分速度，在力的分解的平行四邊形法則中，我們看到一個力可以分解為兩個不共線方向的力的和．問題：平面內任一向量是否可以用兩個不共線的向量來表示呢？知識點1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．(2)基底：兩個不共線的向量e1，e2叫作這個平面的一組基底．如果e1，e2是兩個不共線的確定向量，那么與e1，e2在同一平面內的任一向量a能否用e1，e2表示？依據是什么？[提示]能．依據是數乘向量和平行四邊形法則．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)同一平面內只有不共線的兩個向量可以作為基底． ()(2)0能與另外一個向量a構成基底． ()(3)平面向量的基底不是唯一的． ()[提示]平面內任意一對不共線的向量都可以作為基底，故(2)是錯誤的．(1)，(3)正確．[答案](1)√(2)×(3)√2．已知向量a與b是一組基底，實數x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y＝________．3[由原式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，))所以x－y＝3．]知識點2平面向量的正交分解由平面向量基本定理知，平面內任一向量a可以用一組基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式．我們稱λ1e1＋λ2e2為向量a的分解．當e1，e2所在直線互相垂直時，這種分解也稱為向量a的正交分解．3．如圖，若|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝0則a＝_______，b＝______．(用向量e1，e2表示)[答案]e1＋eq\f(1,2)e2e1＋3e2類型1對向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面α內所有向量的一組基底，則下列說法正確的是()A．若實數λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0B．空間任一向量a可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，這里λ1，λ2為實數C．對實數λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在該平面內D．對平面內任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數λ1，λ2有無數對A[平面α內任一向量都可寫成e1與e2的線性組合形式，而不是空間內任一向量，故B不正確；對任意實數λ1，λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α內，故C不正確；而對平面α內的任一向量a，實數λ1，λ2是唯一的，故D不正確．]考查兩個向量是否能構成基底，主要看兩向量是否非零且不共線．此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出來．[跟進訓練]1．若向量a，b不共線，且c＝2a－b，d＝3a－2b，試判斷c，d能否作為基底．[解]設存在實數λ使得c＝λd，則2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0．由于a，b不共線，從而2－3λ＝2λ－1＝0，這樣的λ是不存在的，從而c，d不共線，故c，d能作為基底．類型2用基底表示向量【例2】如圖所示，在△ABC中，點M是AB的中點，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，BN與CM相交于點E，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用基底a，b表示向量eq\o(AE,\s\up6(→))．[解]法一：由已知，在△ABC中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，已知BN與CM交于點E，過N作AB的平行線，交CM于D，如圖所示．在△ACM中，eq\f(CN,CA)＝eq\f(ND,AM)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(ND,MB)＝eq\f(NE,EB)＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(2,3)，所以eq\o(NE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)(eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b．法二：易得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)b，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，由N，E，B三點共線知存在實數m，滿足eq\o(AE,\s\up6(→))＝meq\o(AN,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)mb＋(1－m)a．由C，E，M三點共線知存在實數n，滿足eq\o(AE,\s\up6(→))＝neq\o(AM,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b．所以eq\f(1,3)mb＋(1－m)a＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b．因為a，b為基底，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)，))所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b．將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉化，直到用基底表示為止；另一種是通過列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.[跟進訓練]2．如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD上的中點分別為K，L，且eq\o(AK,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AL,\s\up6(→))＝e2，試用e1，e2表示eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))．[解]設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AL,\s\up6(→))＝\o(AD,\s\up6(→))＋\o(DL,\s\up6(→))，,\o(AK,\s\up6(→))＝\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BK,\s\up6(→))，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e2＝b＋\f(1,2)a，,e1＝a＋\f(1,2)b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)2e1－e2，,b＝\f(2,3)2e2－e1，))∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2e1－e2)，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)e2－eq\f(4,3)e1；eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)e2－eq\f(2,3)e1．類型3平面向量基本定理與向量共線定理的應用【例3】如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，N在AC上且AN＝2NC，AM與BN交于點P，求AP∶PM的值．[解]設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(2,3)b．∵A，P，M共線，∴設eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)(a＋b)．同理設eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＝－μa＋eq\f(2,3)μb．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴a＝eq\f(λ,2)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－μa＋\f(2,3)μb))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(λ,2)－μ))a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)－\f(2,3)μ))b．∵a與b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋μ＝1，,\f(λ,2)＝\f(2,3)μ，))∴λ＝eq\f(4,5)，μ＝eq\f(3,5)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BN,\s\up6(→))，∴AP∶PM＝4∶1．1．充分挖掘題目中的有利條件，本題中兩次使用三點共線，注意方程思想的應用．2．用基底表示向量也是用向量解決問題的基礎，應根據條件靈活應用，熟練掌握．[跟進訓練]3．如圖，平行四邊形ABCD中，H為CD的中點，且AH與BD交于I，求AI∶IH的值．[解]設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b．設eq\o(AI,\s\up6(→))＝λeq\o(AH,\s\up6(→))，eq\o(DI,\s\up6(→))＝μeq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(AI,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))＝eq\f(λ,2)a＋λb，又eq\o(AI,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DI,\s\up6(→))＝b＋μ(a－b)＝μa＋(1－μ)b，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＝μ，,λ＝1－μ，))∴eq\f(3,2)λ＝1，∴λ＝eq\f(2,3)．∴AI∶IH＝2∶1．1．下列關于基底的說法正確的是()①平面內不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的．A．①③B．②C．①D．②③A[零向量與任意向量共線，故零向量不能作為基底中的向量，故②錯，①③正確．]2．(多選題)設e1，e2是平面內所有向量的一組基底，則下列四組向量中，能作為基底的是()A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2ACD[B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作為基底．故選ACD．]3．如圖，在矩形ABCD中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)(5e1＋3e2) B．eq\f(1,2)(5e1－3e2)C．eq\f(1,2)(3e2－5e1) D．eq\f(1,2)(5e2－3e1)A[法一：∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋5e1＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋3e2∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)，故選A．法二：∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝5e1＋3e2，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)，故選A．]4．設一直線上三點A，B，P滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(PB,\s\up6(→))(m≠－1)，O是直線所在平面內一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示為________．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,m＋1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(m,1＋m)eq\o(OB,\s\up6(→))[由eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(PB,\s\up6(→))，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝m(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＋meq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))＋m\o(OB,\s\up6(→)),1＋m)＝eq\f(1,m＋1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(m,1＋m)eq\o(OB,\s\up6(→))．]5．在△AOB中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，D為OB的中點，若eq\o(DC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，則λμ的值為________．－eq\f(6,25)[因為eq\