第2課時柱、錐、臺和球的體積[學習目標]1．了解柱、錐、臺和球的體積計算公式．2．能夠運用柱、錐、臺、球的體積公式求簡單幾何體的體積．3．會解決球的組合體及三視圖中球的有關問題．[知識鏈接]1．長、寬、高分別為a，b，c的長方體的表面積S＝2(ab＋bc＋ac)，體積V＝abc．2．棱長為a的正方體的表面積S＝6a2，體積V＝a3．3．底面半徑為r，高為h，母線長為l的圓柱側面積S側＝2πrh，表面積S＝2πrh＋2πr2．4．底面半徑為r，高為h，母線長為l的圓錐側面積S側＝πrl，表面積S＝πr2＋πrl．[預習導引]柱、錐、臺、球的體積其中S′，S分別表示上、下底面的面積，h表示高，r′和r分別表示上、下底面圓的半徑，R表示球的半徑.名稱體積(V)柱體棱柱Sh圓柱πr2h錐體棱錐eq\f(1,3)Sh圓錐eq\f(1,3)πr2h臺體棱臺eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)圓臺eq\f(1,3)πh(r2＋rr′＋r′2)球eq\f(4,3)πR3要點一柱體的體積例1某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于________．答案56解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱(如圖所示)．∴其體積為eq\f(1,2)×(2＋5)×4×4＝56.規律方法1．解答此類問題的關鍵是先由三視圖還原作出直觀圖，然后根據三視圖中的數據在直觀圖中求出計算體積所需要的數據．2．若由三視圖還原的幾何體的直觀圖由幾部分組成，求幾何體的體積時，依據需要先將幾何體分割分別求解，最后求和．跟蹤演練1一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.答案4解析此幾何體是兩個長方體的組合，故V＝2×1×1＋1×1×2＝4.要點二錐體的體積例2如圖三棱臺ABCA1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1ABC，三棱錐BA1B1C，三棱錐CA1B1C1的體積之比．解設棱臺的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B1C1＝4S.∴VA1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC－A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V臺＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB－A1B1C＝V臺－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴體積比為1∶2∶4.規律方法三棱柱、三棱臺可以分割成三個三棱錐，分割后可求錐體的體積和柱體或臺體的體積關系，割補法在立體幾何中是一種重要的方法．跟蹤演練2一個邊長為2的正三角形，繞它的對稱軸旋轉180°，如圖所示，求所得幾何體的體積．解正三角形SAB繞對稱軸SO旋轉180°得到一個圓錐．∵圓錐的底面半徑r＝eq\f(AB,2)＝1，圓錐的高SO＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.∴所得幾何體的體積為eq\f(\r(3),3)π.要點三臺體的體積例3已知正四棱臺兩底面邊長分別為20cm和10cm，側面積是780cm2.求正四棱臺的體積．解如圖所示，正四棱臺ABCDA1B1C1D1中，A1B1＝10cm，ABA1B1的中點E1，AB的中點E，連結E1E，則E1E是側面ABB1A1的高．設O1，O分別是上、下底面的中心，連結O1O，O1E，OE，則四邊形EOO1E1是直角梯形．由S側＝4×eq\f(1,2)(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5，OE＝eq\f(1,2)AB＝10，∴O1O＝eq\r(E1E2－（OE－O1E1）2)＝12，V正四棱臺＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．故正四棱臺的體積為2800cm3.規律方法求臺體的體積關鍵是求出上、下底面的面積和臺體的高．要注意充分運用棱臺內的直角梯形或圓臺的軸截面尋求相關量之間的關系．跟蹤演練3本例若改為“正四棱臺的上、下兩底的底面邊長分別為2cm和4cm，側棱長為2cm，求該棱臺的體積．”解如圖，正四棱臺ABCDA1B1C1D1中，上、下底面邊長分別為2cm和4cm，則O1B1＝eq\r(2)cm，OB＝2eq\r(2)cm，過點B1作B1M⊥OB于點M，那么B1M為正四棱臺的高．在Rt△BMB1中，BB1＝2cm，MB＝2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2)(cm)．根據勾股定理MB1＝eq\r(BBeq\o\al(2,1)－MB2)＝eq\r(22－（\r(2)）2)＝eq\r(2)(cm)．S上＝22＝4(cm2)，S下＝42＝16(cm2)，∴V正四棱臺＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×(4＋eq\r(4×16)＋16)＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×28＝eq\f(28,3)eq\r(2)(cm3)．要點四球的體積例4過球面上三點A，B，C的截面到球心O的距離等于球的半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的體積和表面積．解如圖，設過A，B，C三點的截面為圓O′，連結OO′，AO，AO′.∵AB＝BC＝CA＝3cm，∴O′為正三角形ABC的中心，∴AO′＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\r(3)(cm)．設AO＝R，則OO′＝eq\f(1,2)R.∵OO′⊥截面ABC，∴OO′⊥AO′，∴AO′＝eq\r(AO2－OO′2)＝eq\f(\r(3),2)R＝eq\r(3)(cm)，∴R＝2cm，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)，即球的體積為eq\f(32,3)πcm3，表面積為16πcm2.規律方法球的基本性質是解決與球有關的問題的依據，球半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離所構成的直角三角形是把空間問題轉化為平面問題的主要方法．跟蹤演練4如果三個球的半徑之比是1∶2∶3，那么最大球的體積是其余兩個球的體積之和的()A．1倍 B．2倍C．3倍 D．4倍答案C解析半徑大的球的體積也大，設三個球的半徑分別為x，2x，3x，則最大球的半徑為3x，其體積為eq\f(4,3)π×(3x)3，其余兩個球的體積之和為eq\f(4,3)πx3＋eq\f(4,3)π×(2x)3，∴eq\f(4,3)π×(3x)3÷[eq\f(4,3)πx3＋eq\f(4,3)π×(2x)3]＝3.1．已知長方體的過一個頂點的三條棱長的比是1∶2∶3，體對角線的長是2eq\r(14)，則這個長方體的體積是()A．6 B．12C．24 D．48答案D解析設長方體的過一個頂點的三條棱長分別為x，2x，3x，又體對角線長為2eq\r(14)，則x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2eq\r(14))2，解得x＝2.∴三條棱長分別為2，4，6.∴V長方體＝2×4×6＝48.2．一個球的表面積是16π，則它的體積是()A．64π B.eq\f(64π,3)C．32π D.eq\f(32,3)π答案D解析設球的半徑為R，則由題意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半徑為2，體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.3．如果軸截面為正方形的圓柱的側面積是4π，那么圓柱的體積等于()A．π B．2πC．4π D．8π答案B解析設圓柱的底面半徑為r，則圓柱的母線長為2r，由題意得S圓柱側＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圓柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.4．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1－ACD的體積是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1答案A解析三棱錐D1－ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________．答案16π－16解析由三視圖可知該幾何體是一個圓柱內部挖去一個正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2，高為4，故體積為16π；正四棱柱底面邊長為2，高為4，故體積為16，故題中幾何體的體積為16π－16.1．計算柱體、錐體和臺體的體積時，關鍵是根據條件找出相應的底面面積和高，要充分運用多面體的有關截面及旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題．旋轉體的軸截面是用過旋轉軸的平面去截旋轉體而得到的截面．例如，圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形，球的軸截面是過球心的平面截球所得的大圓面．2．在求不規則的幾何體的體積時，可利用分割幾何體或補全幾何體的方法轉化為柱、錐、臺、球的體積計算問題．一、基礎達標1．正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．96答案B解析設正方體的棱長為a，則6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.2．若將氣球的半徑擴大到原來的2倍，則它的體積增大到原來的()A．2倍 B．4倍C．8倍 D．16倍答案C解析設氣球原來的半徑為r，體積為V，則V＝eq\f(4,3)πr3，當氣球的半徑擴大到原來的2倍后，其體積變為原來的23＝8倍．3．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A.eq\f(9,2)π＋12 B.eq\f(9,2)π＋18C．9π＋42 D．36π＋18答案B解析由三視圖可得幾何體為長方體與球的組合體，故體積為V＝32×2＋eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(3)＝18＋eq\f(9,2)π.4．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(560,3) B.eq\f(580,3)C．200 D．240答案C解析先將三視圖還原為空間幾何體，再根據體積公式求解．由三視圖知該幾何體為直四棱柱，其底面為等腰梯形，上底長為2，下底長為8，高為4，故面積為S＝eq\f(（2＋8）×4,2)＝20.又棱柱的高為10，所以體積V＝Sh＝20×10＝200.5．設正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是()A.eq\f(4,3)π B.eq\f(8π,3)C．4eq\r(3)π D．32eq\r(3)π答案C解析由題意可知，6a2＝24，∴a＝2.設正方體外接球的半徑為R，則eq\r(3)a＝2R，∴R＝eq\r(3)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.6．半徑為2的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為________．答案eq\f(\r(3),3)π解析由題意可知該圓錐的側面展開圖為半圓，如圖所示，設圓錐底面半徑為r，高為h.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2πr＝2π，,h2＋r2＝4，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,h＝\r(3).))∴它的體積為eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.7．一個三棱柱的底面是邊長為3的正三角形，側棱垂直于底面，它的三視圖如圖所示，AA1＝3.(1)請畫出它的直觀圖；(2)求這個三棱柱的表面積和體積．解(1)直觀圖如圖所示．(2)由題意可知，S△ABC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),4)，S側＝3AC×AA1＝3×3×3＝27.故這個三棱柱的表面積為27＋2×eq\f(9\r(3),4)＝27＋eq\f(9\r(3),2).這個三棱柱的體積為eq\f(9\r(3),4)×3＝eq\f(27\r(3),4).二、能力提升8．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A.eq\r(6)π B．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)π D．6eq\r(3)π答案B解析如圖，設截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點，連結O′O，O′M，OM，則OO′＝eq\r(2)，O′M＝1.∴OM＝eq\r(（\r(2)）2＋1)＝eq\r(3).即球的半徑為eq\r(3).∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.9．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．1答案B解析由三視圖還原出直觀圖，根據“長對正，高平齊，寬相等”尋找出此三棱錐的相關數據，代入棱錐的體積公式進行計算．如圖，三棱錐的底面是一個直角邊長為1的等腰直角三角形，有一條側棱和底面垂直，且其長度為2，故三棱錐的高為2，故其體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3)，故選B.10.圓柱形容器內盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm.答案4解析設球的半徑為r，則放入球后，球和水的體積為πr2×6r＝6πr3，又高度為8cm的水的體積為8πr2，3個球的體積和為3×eq\f(4,3)πr3＝4πr3，則6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4(cm)．11．若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1側棱BB1和CC1上的點，且B1E＝CF，三棱柱的體積為m，求四棱錐A－BEFC的體積．解如圖所示， 連結AB1，AC1.∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積．又四棱錐A－BEFC的高與四棱錐A－B1EFC1的高相等，∴VA－BEFC＝VA－B1EFC1＝eq\f(1,2)VA－BB1C1C.又VA－A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h，VABC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，∴VA－A1B1C1＝eq\f(m,3)，∴VA－BB1C1C＝VABC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝eq\f(2,3)m，∴VA－BEFC＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)m＝eq\f(m,3)，即四棱錐A－BEFC的體積是eq\f(m,3).三、探究與創新12．已知過球面上A，B，C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面積和體積．解∵AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°.因球心O到截面△ABC的射影O′為截面圓的圓心，也即是Rt△A