學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精考點規范練40直線、平面垂直的判定與性質考點規范練B冊第27頁

一、基礎鞏固1。若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直線l,則（）A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直線l的直線一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直線lD。垂直于直線l的平面一定與平面α，β都垂直答案D解析對于A，垂直于平面β的平面與平面α平行或相交，故A錯；對于B，垂直于直線l的直線與平面α垂直、斜交、平行或在平面α內，故B錯；對于C，垂直于平面β的平面與直線l平行或相交，故C錯;易知D正確。2.設α為平面,a，b為兩條不同的直線,則下列敘述正確的是（)A.若a∥α,b∥α，則a∥b B.若a⊥α，a∥b,則b⊥αC。若a⊥α,a⊥b,則b∥α D.若a∥α,a⊥b，則b⊥α答案B解析如圖（1）β∥α，知A錯;如圖（2)知C錯;如圖（3),a∥a’，a'?α，b⊥a’，知D錯;由線面垂直的性質定理知B正確.3。如圖,在四面體D-ABC中，若AB=CB，AD=CD,E是AC的中點，則下列結論正確的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC。平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED。平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE答案C解析因為AB=CB,且E是AC的中點,所以BE⊥AC。同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE。因為AC在平面ABC內，所以平面ABC⊥平面BDE.又因為AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE,故選C.4.已知l,m，n是三條不同的直線，α，β是不同的平面,則α⊥β的一個充分條件是（)A。l?α,m?β,且l⊥mB。l?α,m?β，n?β,且l⊥m,l⊥nC.m?α，n?β,m∥n,且l⊥mD。l?α,l∥m,且m⊥β答案D解析對于A，l?α,m?β，且l⊥m,如圖（1)，α，β不垂直;對于B，l?α，m?β，n?β，且l⊥m，l⊥n,如圖（2),α，β不垂直；圖（1）圖（2)對于C,m?α,n?β，m∥n，且l⊥m,直線l沒有確定,則α，β的關系也不能確定;對于D，l?α，l∥m,且m⊥β，則必有l⊥β,根據面面垂直的判定定理知,α⊥β。5.在空間四邊形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD，且△BCD是銳角三角形，則必有（)A.平面ABD⊥平面ADC B。平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面BDC答案C解析∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B，∴AD⊥平面BDC。又AD?平面ADC,∴平面ADC⊥平面BDC。故選C.6.如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB=90°，M為AB的中點，PM垂直于△ABC所在的平面,則()A.PA=PB>PCB。PA=PB<PCC。PA=PB=PCD。PA≠PB≠PC答案C解析∵M為AB的中點，△ACB為直角三角形,∴BM=AM=CM。又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA=PB=PC。7。如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一個動點，當點M滿足時，平面MBD⊥平面PCD.（只要填寫一個你認為正確的條件即可)

答案DM⊥PC(或BM⊥PC)解析∵PC在底面ABCD上的射影為AC,且AC⊥BD，∴BD⊥PC。∴當DM⊥PC（或BM⊥PC）時，即有PC⊥平面MBD,而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.8。在四面體ABCD中，DA⊥平面ABC,AB⊥AC，AB=4，AC=3，AD=1，E為棱BC上一點，且平面ADE⊥平面BCD,則DE=.

答案13解析過A作AH⊥DE,∵平面ADE⊥平面BCD,且平面ADE∩平面BCD=DE，∴AH⊥平面BCD，∴AH⊥BC。又DA⊥平面ABC,BC?平面ABC，∴AD⊥BC，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE。∵AE=3×45，AD=1,∴9.設α，β是空間兩個不同的平面，m,n是平面α及β外的兩條不同直線。從“①m⊥n；②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中選取三個作為條件，余下一個作為結論,寫出你認為正確的一個命題:。(用序號表示）

答案①③④?②(或②③④?①)解析逐一判斷.若①②③成立，則m與α的位置關系不確定,故①②③?④錯誤；同理①②④?③也錯誤;①③④?②與②③④?①均正確。10。如圖,已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M,N分別是AB，PC的中點。（1）求證:MN⊥CD；（2)若∠PDA=45°,求證：MN⊥平面PCD。證明(1)連接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD,∴PA⊥AC。在Rt△PAC中,∵N為PC的中點，∴AN=12PC∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD,∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB。∵PB?平面PAB,∴BC⊥PB.在Rt△PBC中，∵BN為斜邊PC上的中線,∴BN=12PC。∴AN=BN∴△ABN為等腰三角形.又M為AB的中點，∴MN⊥AB。∵AB∥CD,∴MN⊥CD.（2）連接PM，MC，∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC，∴AP=BC.又M為AB的中點，∴AM=BM。∵∠PAM=∠CBM=90°，∴△PAM≌△CBM。∴PM=CM.又N為PC的中點，∴MN⊥PC。由（1)知,MN⊥CD，又PC∩CD=C，∴MN⊥平面PCD.11。如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4，D，E分別是邊AB，BC的中點，沿DE將△BDE折起至△FDE，且∠CEF=60°。(1）求四棱錐F—ADEC的體積；(2)求證:平面ADF⊥平面ACF。（1)解∵D，E分別是邊AB，BC的中點,∴DE12AC,DE⊥BC，DE=1依題意,DE⊥EF,BE=EF=2,∵EF∩EC=E,∴DE⊥平面CEF,∵DE?平面ACED,∴平面ACED⊥平面CEF.作FM⊥EC于M,則FM⊥平面ACED，∵∠CEF=60°,∴FM=3,梯形ACED的面積S=12（AC+ED）×EC=12（1+2）×2=四棱錐F—ADEC的體積V=13Sh=13×3×（2)證法一如圖,取線段AF,CF的中點N,Q，連接DN，NQ，EQ,則NQ12AC∴NQDE，四邊形DEQN是平行四邊形，DN∥EQ.∵EC=EF，∠CEF=60°，∴△CEF是等邊三角形，EQ⊥FC,又DE⊥平面CEF,∴DE⊥EQ，∴AC⊥EQ，∵FC∩AC=C，∴EQ⊥平面ACF，∴DN⊥平面ACF,又DN?平面ADF，∴平面ADF⊥平面ACF。證法二連接BF，∵EC=EF，∠CEF=60°，∴△CEF是邊長為2的等邊三角形。∵BE=EF，∴∠EBF=12∠CEF=30°∴∠BFC=90°,BF⊥FC。∵DE⊥平面BCF,DE∥AC,∴AC⊥平面BCF。∵BF?平面BCF，∴AC⊥BF，又FC∩AC=C，∴BF⊥平面ACF，又BF?平面ADF，∴平面ADF⊥平面ACF。12.如圖①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將△ABE沿BE折起到圖②中△A1BE的位置,得到四棱錐A1圖①圖②(1)證明：CD⊥平面A1OC;(2)當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1—BCDE的體積為362,求a的值.（1）證明在題圖①中,因為AD∥BC,AB=BC=12AD=a，E是AD的中點,∠BAD=π2,所以BE⊥AC,四邊形BCDE所以在題圖②中,BE⊥A1O，BE⊥OC，BE∥CD,從而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC。（2）解由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1）知,A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱錐A1—BCDE的高。由題圖①知,A1O=22AB=22a，平行四邊形BCDE的面積S=BC·AB=a從而四棱錐A1—BCDE的體積為V=13×S×A1O=13×a2×22a=26a3，由26a3=362二、能力提升13。已知兩條不重合的直線m,n和兩個不重合的平面α,β,有下列命題：①若m⊥n，m⊥α，則n∥α；②若m⊥α,n⊥β,m∥n,則α∥β；③若m,n是兩條異面直線,m?α，n?β，m∥β,n∥α,則α∥β；④若α⊥β，α∩β=m,n?β，n⊥m,則n⊥α.其中正確命題的個數是()A。1 B。2 C。3 D.4答案C解析①若m⊥n，m⊥α，則n可能在平面α內,故①錯誤;②∵m⊥α，m∥n,∴n⊥α.又∵n⊥β，∴α∥β，故②正確;③過直線m作平面γ交平面β于直線c，∵m，n是兩條異面直線，∴設n∩c=O。∵m∥β,m?γ,γ∩β=c,∴m∥c。∵m?α,c?α，∴c∥α。∵n?β,c?β,n∩c=O,c∥α,n∥α，∴α∥β。故③正確；④∵α⊥β,α∩β=m，n?β,n⊥m，∴n⊥α。故④正確。故正確命題有3個，故選C。14.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°,BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A。直線AB上B.直線BC上C。直線AC上D.△ABC內部答案A解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，則AC⊥平面ABC1,因此平面ABC⊥平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在直線AB上。15。如圖，在四邊形ABCD中,AD∥BC，AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A—BCD,則在三棱錐A—BCD中，下列結論正確的是()A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDCC。平面ABC⊥平面BDC D。平面ADC⊥平面ABC答案D解析由題意知，在四邊形ABCD中,CD⊥BD.在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD，兩平面的交線為BD,所以CD⊥平面ABD,因此有AB⊥CD。又因為AB⊥AD，且CD∩AD=D,所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC，故選D.16。如圖,直線PA垂直于☉O所在的平面,△ABC內接于☉O,且AB為☉O的直徑，點M為線段PB的中點。下列結論:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長。其中正確的是()A.①② B.①②③C。① D。②③答案B解析對于①,∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC,∴PA⊥BC。∵AB為☉O的直徑，∴BC⊥AC。∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC,∴BC⊥PC；對于②，∵點M為線段PB的中點,AB為☉O的直徑，∴OM∥PA。∵PA?平面PAC,OM?平面PAC,∴OM∥平面PAC；對于③，由①知BC⊥平面PAC，∴線段BC的長即是點B到平面PAC的距離。故①②③都正確。17.(2018北京六區一模)如圖①，在△ABC中,D，E分別為AB，AC的中點，O為DE的中點，AB=AC=25，BC=4.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED,F為A1C的中點,如圖②.圖①圖②（1）求證：EF∥平面A1BD;（2）求證:平面A1OB⊥平面A1OC；（3）在線段OC上是否存在點G,使得OC⊥平面EFG？說明理由。（1）證明取線段A1B的中點H,連接HD,HF。因為在△ABC中,D，E分別為AB，AC的中點,所以DE∥BC,DE=12BC因為H，F分別為A1B,A1C的中點,所以HF∥BC，HF=12BC所以HF∥DE,HF=DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形，所以EF∥HD.因為EF?平面A1BD，HD?平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.(2)證明在△ABC中，因為D,E分別為AB,AC的中點,AB=AC，所以AD=AE.所以A1D=A1E。又O為DE的中點,所以A1O⊥DE。因為平面A1DE⊥平面BCED，且A1O?平面A1DE,平面A1DE∩平面BCED=DE，所以A1O⊥平面BCED.因為CO?平面BCED,所以CO⊥A1O.在△OBC中,BC=4，易知OB=OC=22,所以CO⊥BO。因為A1O∩BO=O，所以CO⊥平面A1OB。因為CO?平面A1OC,所以平面A1OB⊥平面A1OC.（3)解在線段OC上不存在點G，使得OC⊥平面EFG.假設在線段OC上存在點G,使得OC⊥平面EFG。連接GE，GF,則必有OC⊥GF,且OC⊥GE。在Rt△A1OC中，由F為A1C的中點,OC⊥GF，得G為OC的中點。在△EOC中，因為OC⊥GE,所以EO=EC，這顯然與EO=1，EC=5矛盾.所以在線段OC上不存在點G，使得OC⊥平面EFG.三、高考預測18。在四棱錐P—ABCD中,AB∥CD，AB=12DC=1,BP=BC=2,PC=2，AB⊥平面PBC，F為PC的中點（1）求證：BF∥平面PAD；（2)求證：平面ADP⊥平面PDC；(3）求四棱錐P-ABCD的體積.(1）證明取PD的中點E，連接EF，AE.因為F為PC的中點，所以EF為△PDC的中位線,即EF∥DC且EF=12DC又AB∥CD,AB=12CD所以AB∥EF且AB=EF。所以四邊形ABFE為平行四邊形,所以BF∥AE。又AE?平面PAD,BF?平面PAD，所以BF∥平面PAD.(2)證明因為BP=BC，F為PC的中點，所以BF⊥PC。又AB⊥平面PBC,AB∥CD，所以CD⊥平