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幾最值之馬知精皮耶·德·費馬,世法國數學家,有業數學家之王的美譽,之所以叫業余并非段位不夠,而是因為其主職是律師,兼職搞搞數.馬在解析幾何、微積分等領域都有卓越的貢獻,除此之外費馬廣為人知的是以其名字命名費馬小定、費大定理等今天所講的問題不是費馬提出來的,而是他解決的,因此又叫費馬點,問題如下:問題:如圖,在ABC內部找到一點P,得++的最.解答:若點滿∠APB=∠BPC∠=o則+PB+的最小P點為三角形的費馬.1.

如何作出費馬點第一步:分別以AB、為作等邊ABD與邊,如圖所示:第二步:連接、,可得eq\o\ac(△,到)≌ABE如圖所示:

第三步:此時、的點即為點P(費馬點第四步:以邊,作等邊△,接AF,必點,APB=∠BPC∠=o注:上述結論成立有個前提條件,,最大的角要小于120o,若最大的角大于或等于120o對應的圖如下所示:此時費馬點就是最大角的頂點,種情況不會考,了解可,接下來的研究,都是默認最大角小于120o.接下來就是要證明,證明分兩部分,一部分過三角形兩條邊向外作等邊三角形,連BE,兩條線的交點為什么就是費馬點?另一部分就是為什么費馬點到對應頂點的連線之和是最小.如下圖所示,在AEB與△中,∵,AC,∠BAE==∠+o,∴△ABE≌ACD∴ABE=,

在△BPM與△DAM中∵∠=DMA,∠=∠DAM60o,∴∠BPC=o;在上取=PB,接、,下圖所示:由題意可得BPG為邊三角形,則PB=,易證△≌△DBG,GD,APB=∠=o∴∠APC120,PB+PC=++=接下來只需證明CD最短的線段,那么以上的問題都可以得證了!如下圖所示,在ABC中任取一個異于點P的Q,接QBQCQD,ABQ繞點A順針方向旋轉o得到

,則ABQ與

重合,

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