學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE9-學必求其心得，業必貴于專精專題39空間點、直線、平面之間的位置關系1．給出下列說法：①梯形的四個頂點共面；②三條平行直線共面；③有三個公共點的兩個平面重合;④三條直線兩兩相交,可以確定3個平面。其中正確的序號是（）A．①B．①④C．②③D．③④A。答案：A2．若直線a平行于平面α，則下列結論錯誤的是（)A．a平行于α內的所有直線B．α內有無數條直線與a平行C．直線a上的點到平面α的距離相等D．α內存在無數條直線與a成90°角解析：選A.若直線a平行于平面α，則α內既存在無數條直線與a平行,也存在無數條直線與a異面且垂直，所以A不正確，B、D正確．又夾在相互平行的線與平面間的平行線段相等，所以C正確．3．已知a，b是兩條不重合的直線,α，β是兩個不重合的平面，則下列命題中正確的是()A．a∥b，b?α，則a∥αB．a，b?α，a∥β，b∥β，則α∥βC．a⊥α，b∥α，則a⊥bD．當a?α，且b?α時，若b∥α，則a∥b解析：選C.A選項是易錯項,由a∥b,b?α，也可能推出a?α；B中的直線a，b不一定相交，平面α，β也可能相交；C正確;D中的直線a，b也可能異面．4．已知直線a，b，平面α，則以下三個命題：①若a∥b，b?α，則a∥α;②若a∥b,a∥α，則b∥α；③若a∥α,b∥α，則a∥b.其中真命題的個數是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選A.對于①，若a∥b，b?α，則應有a∥α或a?α，所以①不正確;對于②，若a∥b，a∥α，則應有b∥α或b?α，因此②不正確；對于③,若a∥α，b∥α,則應有a∥b或a與b相交或a與b異面，因此③是假命題．綜上,在空間中，以上三個命題都是假命題．5．已知直線a與平面α、β,α∥β，a?α，點B∈β,則在β內過點B的所有直線中(）A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數條與a平行的直線D．存在唯一一條與a平行的直線解析：選D.設直線a和點B所確定的平面為γ，則α∩γ＝a,記β∩γ＝b,∵α∥β，∴a∥b，故存在唯一一條直線b與a平行．6．如圖,L，M，N分別為正方體對應棱的中點，則平面LMN與平面PQR的位置關系是（）A．垂直 B．相交不垂直C．平行D．重合7．正方體ABCD.A1B1C1D1中，E，F，G分別是A1B1，CD，B1C1的中點，則正確的命題是（A．AE⊥CGB．AE與CG是異面直線C．四邊形AEC1FD．AE∥平面BC1面BC1F8．設l，m，n表示不同的直線,α，β，γ表示不同的平面，給出下列四個命題：①若m∥l，且m⊥α，則l⊥α；②若m∥l，且m∥α，則l∥α；③若α∩β＝l,β∩γ＝m，γ∩α＝n，則l∥m∥n;④若α∩β＝m,β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，則l∥m。其中正確命題的個數是（）A．1 B．2C．3 D．4解析:選B。易知①正確；②錯誤,l與α的具體關系不能確定；③錯誤，以墻角為例即可說明，④正確，可以以三棱柱為例證明．9．如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP＝eq\f(a，3),過P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________.解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1∴MN∥PQ.∵M、N分別是A1B1、B1C1AP＝eq\f(a,3）,∴CQ＝eq\f(a，3)，從而DP＝DQ＝eq\f(2a，3），∴PQ＝eq\f(2\r(2），3）a.答案:eq\f(2\r（2），3)a10．已知平面α∥平面β，P是α、β外一點，過點P的直線m與α、β分別交于A、C，過點P的直線n與α、β分別交于B、D且PA＝6,AC＝9,PD＝8,則BD的長為________．解析：根據題意可得到以下如圖兩種情況：可求出BD的長分別為eq\f（24，5)或24.答案：24或eq\f(24，5)11．在正四棱柱ABCD。A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點,設Q是CC1上的點，則點Q滿足條件________時，有平面D1BQ∥平面PAO答案：Q為CC1的中點12．如圖E、F、G、H分別是正方體ABCD.A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1（1)EG∥平面BB1D1D；(2）平面BDF∥平面B1D1H。證明：(1）取B1D1的中點O，連接GO，OB，易證四邊形BEGO為平行四邊形,故OB∥GE，由線面平行的判定定理即可證EG∥平面BB1D1D.13．如圖,在三棱柱ABC。A1B1C1中，點E在線段B1C1上，B1E＝3EC1，試探究：在AC上是否存在點F，滿足EF∥平面A1ABB1?若存在，請指出點解：法一:當AF＝3FC時,FE∥平面A1ABB1。證明如下：在平面A1B1C1內過點E作EG∥A1C1交A1B1于點G,連接∵B1E＝3EC1,∴EG＝eq\f(3，4)A1C1，又AF∥A1C1且AF＝eq\f（3,4）A1C1，∴FG∥AB，又AB?平面A1ABB1，FG?平面A1ABB1，∴FG∥平面A1ABB1.又EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG＝G,∴平面EFG∥平面A1ABB1.∵EF?平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1。14．如圖，幾何體E-ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.（1）求證：BE＝DE;(2)若∠BCD＝120°，M為線段AE的中點．求證：DM∥平面BEC.(3）在（2）的條件下，在線段AD上是否存在一點N，使得BN∥面DEC,并說明理由．證明：（1)取BD的中點O，連接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD,又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO,EC?平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O為BD的中點，所以BE＝DE。又DN?平面BEC，BC?平面BEC，所以DN∥平面BEC。又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN,所以DM∥平面BEC.法二：延長AD,BC交于點F,連接EF。所以DM∥平面BEC.(3)存在點N為AD的中點取AD的中點N，連接BN，O為BD的中點由(2）可知