學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGEPAGE7學必求其心得，業必貴于專精第一講集合【考點梳理】1．元素與集合(1）集合中元素的三個特性:確定性、互異性、無序性．（2）元素與集合的關系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?。(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法．2．集合間的基本關系（1)子集：若對?x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A.(2）真子集：若A?B，但?x∈B，且x?A,則AB或BA。（3)相等：若A?B，且B?A,則A＝B。（4）空集的性質：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運算并集交集補集圖形表示符號表示A∪BA∩B?UA意義｛x｜x∈A或x∈B｝｛x|x∈A且x∈B｝｛x｜x∈U且x?A｝4。集合關系與運算的常用結論(1）若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個．(2)子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.(3）A?B?A∩B＝A?A∪B＝B。(4）?U（A∩B）＝（?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝（?UA)∩(?UB）．【教材改編】1．（必修1P8例5改編）設集合A＝｛x|（x＋1）(x－2）＜0｝，B＝｛x｜0≤x≤3｝,則A∪B＝（）A．{x｜－2＜x≤3} B．｛x｜－1＜x≤3}C．{x|0≤x＜2｝ D．｛x|－1＜x＜2｝【答案】B【解析】∵A＝{x|－1＜x＜2}，B＝｛x|0≤x≤3｝,∴A∪B＝{x|－1＜x≤3}．2．(必修1P12A組T6改編)設集合A＝｛x|2≤x＜5｝，B＝｛x∈Z|3x－7≥8－2x},則A∩BA．｛x｜3≤x＜5} B．｛x｜2≤x≤3｝C．｛3，4} D．｛3,4,5｝【答案】C【解析】∵A＝｛x|2≤x＜5},B＝｛x∈Z｜3x－7≥8－2x}＝{x∈Z｜x≥3}，∴A∩B＝{3,4}．3．(必修1P44A組T5改編)已知集合M＝｛x｜y＝lg(2x－x2)｝，N＝{x｜x2＋y2＝1}，則M∩NA．［－1,2） B．（0,1)C．(0,1］ D．?【答案】C4．(必修1P11例8改編)設U＝{x∈N*|x＜9｝，A＝{1,2,3}，B＝｛3,4，5,6｝，則(?UA）∩B＝________。【答案】｛4，5，6}【解析】∵U＝｛1,2,3,4，5，6，7，8},∴?UA＝{4,5,6,7,8｝，∴（?UA)∩B＝｛4，5，6，7,8}∩｛3,4，5,6｝＝｛4，5，6}．5．（必修1P44A組T4改編）已知集合A＝｛x|－2≤x≤7},B＝{x｜m＋1＜x＜2m－1｝，若B?A，則實數【答案】(－∞,4]【解析】當B＝?時，有m＋1≥2m－1，則m當B≠?時,若B?A,如圖．則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m＋1≥－2，，2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，)）解得2＜m≤4。綜上，實數m的取值范圍是（－∞，4］．【考點突破】考點一、集合的基本概念【例1】（1）已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A｝中元素的個數是（)A．1B．3（2）若集合A＝｛x∈R|ax2－3x＋2＝0｝中只有一個元素,則a＝（）A．eq\f（9，2）B．eq\f（9,8)C．0D．0或eq\f（9,8)【答案】（1）C（2）D根據集合中元素的互異性可知，B的元素為－2,－1,0,1,2，共5個．(2）若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根．當a＝0時,x＝eq\f（2,3），符合題意；當a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝eq\f(9，8），所以a的取值為0或eq\f（9,8）.【類題通法】1。研究集合問題，首先要抓住元素，其次看元素應滿足的屬性；特別地，對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合的元素是否滿足互異性，如題（1）．2．由于方程的不定性導致求解過程用了分類討論思想，如題(2）．【對點訓練】1。已知集合A＝{x∈R｜ax2＋3x－2＝0}，若A＝?，則實數a的取值范圍為________。【答案】eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9，8）)）【解析】∵A＝?，∴方程ax2＋3x－2＝0無實根，當a＝0時，x＝eq\f(2，3)不合題意;當a≠0時,Δ＝9＋8a＜0，∴a＜－eq\f（9,8）.考點二、集合間的基本關系【例2】(1)已知集合A＝｛x|y＝eq\r（1－x2)，x∈R｝，B＝｛x|x＝m2，m∈A｝，則(）A．AB B．BAC．A?B D．B＝A（2）已知集合A＝{x｜x2－2x－3〈0｝,B＝｛x|－m<x〈m｝．若B?A，則m的范圍為________．【答案】（1）B(2)(－∞，1］∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－m≥－1,，m≤3,,－m＜m.）)∴0<m≤1。綜上所述m的范圍為m≤1.【類題通法】1.B?A，應分B＝?和B≠?兩種情況討論．2。已知兩集合間的關系求參數時,關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數滿足的關系，解決這類問題常常要合理利用數軸、Venn圖化抽象為直觀進行求解．【對點訓練】2．（1)若集合A＝｛x|x＞0｝，且B?A，則集合B可能是(）A．{1,2｝B．｛x｜x≤1}C．{－1，0，1}D．R(2)已知集合A＝｛x｜eq\r（x）＝eq\r（x2－2)，x∈R｝，B＝｛1,m｝，若A?B,則m的值為（)A．2B．－1C．－1或2D．2或eq\r（2）【答案】(1）A（2）A考點三、集合的基本運算【例3】(1）已知集合A＝｛x|x＝3n＋2,n∈N｝，B＝{6，8,10,12,14｝，則集合A∩B中元素的個數為（）A．5B．4C．3D．2（2）設集合M＝｛x｜x2＝x｝，N＝｛x｜lgx≤0},則M∪N＝()A．[0,1］ B．(0,1]C．[0，1) D．（－∞，1］(3)設集合U＝｛1，2，3，4,5,6｝,A＝｛1,3，5},B＝｛3,4，5｝,則?U(A∪B)＝（）A．｛2,6} B．｛3,6｝C．{1，3，4,5} D．{1,2,4,6}(4）已知全集U＝R，集合M＝{x|（x－1）(x＋3）＜0}，N＝｛x｜|x｜≤1｝,則陰影部分（如圖)表示的集合是()A．［－1，1） B．（－3,1］C．(－∞，－3）∪［－1，＋∞） D．（－3，－1)【答案】（1)D(2)A(3）A(4)D【解析】(1）集合A中元素滿足x＝3n＋2,n∈N,即被3除余2,而集合B中滿足這一要求的元素只有8和14.共2個元素．（2）M＝｛x｜x2＝x｝＝｛0，1｝，N＝｛x|lgx≤0}＝｛x｜0〈x≤1},M∪N＝［0,1］．(3）∵A＝｛1，3,5｝，B＝｛3,4,5｝，∴A∪B＝｛1,3,4，5}．又U＝{1,2,3,4,5，6}，∴?U（A∪B)＝｛2，6｝．（4)由題意可知,M＝(－3，1),N＝［－1,1］，∴陰影部分表示的集合為M∩(?UN）＝(－3，－1）．【類題通法】1。求集合的交集和并集時首先應明確集合中元素的屬性,然后利用交集和并集的定義求解．2．在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續時用數軸表示，用數軸表示時要注意端點值的取舍．【對點訓練】3．(1)設集合A＝{y｜y＝2x,x∈R}，B＝{x|x2－1<0｝,則A∪B＝（)A．(－1，1)B．（0,1）C．（－1，＋∞)D．（0，＋∞)(2）已知全集U＝｛1,2，3,4，5,6，7，8｝,集合A＝｛2,3,5,6},集合B＝｛1，3,4，6，7｝，則集合A∩?UB＝(）A．{2,5}B．｛3，6}C．｛2,5,6｝D．{2,3，5，6，8}(3)已知全集U＝R，A＝｛x|x≤0｝,B＝｛x｜x≥1},則集合?U（A∪B)＝(）A．{x|x≥0｝B．｛x｜x≤1}C．｛x｜0≤x≤1}