(4.6.1)-4.3.2矩陣相似于對角矩陣的條件學(xué)習(xí)資料_第1頁
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文檔簡介

第四章矩陣的相似對角化4.3

相似矩陣與矩陣的對角化4.3.2

矩陣相似于對角矩陣的條件第四章矩陣的相似對角化4.3.2

矩陣相似于對角矩陣的條件01矩陣相似對角化的定義

設(shè)A為一個n階方陣，如果A與一個對角矩陣相似,即

則存在可逆矩陣P，使得

則稱矩陣A可相似對角化，簡稱A可對角化.

定義4.3.2

矩陣相似于對角矩陣的條件02矩陣相似對角化的條件

如果矩陣A與一個對角矩陣相似,

則存在可逆矩陣P，使得

因此

4.3.2

矩陣相似于對角矩陣的條件

的特征向量.可逆矩陣P的n個線性無關(guān)的列向量是矩陣A的分別屬于特征值

如果矩陣A與一個對角矩陣相似,

則存在可逆矩陣P，使得

02矩陣相似對角化的條件

推論1如果n

階矩陣A有n個互不相同的特征值，則A必可對角化.因為屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.

注意：推論1中的條件是A可對角化的充分條件而不是必要的.

n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是

A有n個線性無關(guān)的特征向量.

定理4.4

A的不同特征值特征向量線性無關(guān)證4.3.2

矩陣相似于對角矩陣的條件02矩陣相似對角化的條件

如果A的特征方程有重根，A可對角化，需滿足以下推論2中的條件.4.3.2

矩陣相似于對角矩陣的條件02矩陣相似對角化的條件1°寫出A的特征多項式，求出矩陣A的全部特征值

2°對A每一個特征值，求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系（此即的屬于的全部線性無關(guān)的特征向量）.

3°若每一個特征值，它對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)等于的重數(shù)，則

且為對角形矩陣.4°以這些基礎(chǔ)解系為列,得n

階方陣P，則P可逆4.3.2

矩陣相似于對角矩陣的條件03矩陣A對角化的步驟矩陣A可對角化.解A的特征值為解齊次線性方程組,由例14.3.2

矩陣相似于對角矩陣的條件03矩陣A對角化的步驟得1個特征向量所以，A有3個線性無關(guān)的特征向量，所以可對角化.得2個線性無關(guān)的特征向量解齊次線性方程組,由對2重特征值對單特征值4.3.2

矩陣相似于對角矩陣的條件03矩陣A對角化的步驟令

相似對角化的應(yīng)用——求矩陣的高次冪則于是即求A的冪轉(zhuǎn)化為對角矩陣求冪，而對角陣求冪是容易的.4.3.2

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