第二節(jié)排列與組合[考綱](教師用書獨具)1.理解排列與組合的概念.2.理解排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利用公式解決一些簡單的實際問題．(對應(yīng)學(xué)生用書第170頁)[根底知識填充]1．排列、組合的定義排列的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列組合的定義合成一組2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,(n－m)！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)性質(zhì)Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)[根本能力自測]1．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．()(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．()(3)假設(shè)組合式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，那么x＝m成立．()(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改編)某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了畢業(yè)留言()A．1560條B．780條C．1600條D．800條A[由題意，得畢業(yè)留言共Aeq\o\al(2,40)＝1560條．]3．(2023·全國卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，那么不同的安排方式共有()A．12種 B．18種C．24種 D．36種D[由題意可得其中1人必須完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得安排方式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36(種)，或列式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)＝3×eq\f(4×3,2)×2＝36(種)．應(yīng)選D．]4．某市委從組織機關(guān)10名科員中選3人擔(dān)任駐村第一書記，那么甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A．85 B．56C．49 D．28C[法一(直接法)：甲、乙兩人均入選，有Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(2,2)種方法，甲、乙兩人只有1人入選，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)種方法，由分類加法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＝49種選法．法二(間接法)：從9人中選3人有Ceq\o\al(3,9)種方法，其中甲、乙均不入選有Ceq\o\al(3,7)種方法，所以滿足條件的選排方法有Ceq\o\al(3,9)－Ceq\o\al(3,7)＝84－35＝49種．]5．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A，B可以不相鄰)，那么不同的排法共有________種．60[5人的全排列，B站在A的右邊與A站在B的右邊各占一半，所以滿足條件的不同排法共eq\f(1,2)Aeq\o\al(5,5)＝60種．](對應(yīng)學(xué)生用書第171頁)排列問題有3名男生、4名女生，在以下不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排成一排，女生必須站在一起；(5)全體排成一排，男生互不相鄰．[解](1)從7人中選5人排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(種)．(2)分兩步完成，先選3人站前排，有Aeq\o\al(3,7)種方法，余下4人站后排，有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040(種)．(3)法一：(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)種排列方法，共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600(種)．法二：(特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有Aeq\o\al(2,6)種排法，其他有Aeq\o\al(5,5)種排法，共有Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)＝3600(種)．(4)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再將女生全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576(種)．(5)(插空法)先排女生，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生，有Aeq\o\al(3,5)種方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)．[規(guī)律方法]求解排列應(yīng)用問題的六種常用方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法相隔問題把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難那么反、等價轉(zhuǎn)化的方法[跟蹤訓(xùn)練](1)在航天員進行的一項太空試驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，問試驗順序的編排方法共有()A．34種 B．48種C．96種 D．144種(2)(2023·北京西城區(qū)質(zhì)檢)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，假設(shè)產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，那么不同的擺法有________種．(1)C(2)36[(1)程序A的順序有Aeq\o\al(1,2)＝2種結(jié)果，將程序B和C看作一個元素與除A外的元素排列有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48種結(jié)果，由分步乘法計數(shù)原理，試驗編排共有2×48＝96種方法．(2)記其余兩種產(chǎn)品為D，E，A，B相鄰視為一個元素，先與D，E排列，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種方法．再將C插入，僅有3個空位可選，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)＝2×6×3＝36種不同的擺法．]組合問題某課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長．現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依以下條件各有多少種選法？(1)只有一名女生中選；(2)兩隊長中選；(3)至少有一名隊長中選；(4)至多有兩名女生中選．[解](1)只有一名女生中選等價于有一名女生和四名男生中選．故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＝350種．(2)兩隊長中選，共有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝165種．(3)至少有一名隊長中選含有兩類：只有一名隊長中選，有兩名隊長中選．故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝825種．(或采用排除法：Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(種))．(4)至多有兩名女生中選含有三類：有兩名女生中選，只有一名女生中選，沒有女生中選．應(yīng)選法共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966種．[規(guī)律方法]組合問題的常見類型與處理方法1“含有〞或“不含有〞某些元素的組合題型：“含〞，那么先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含〞，那么先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.2“至少〞或“至多〞含有幾個元素的題型：假設(shè)直接法分類復(fù)雜時，逆向思維，間接求解.[跟蹤訓(xùn)練](1)(2023·銀川質(zhì)檢)某地實行高考改革，考生除參加語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科，要求物理、化學(xué)、生物三科至少選一科，政治、歷史、地理三科至少選一科，那么考生選考方法種數(shù)共有()【導(dǎo)學(xué)號：79140342】A．6 B．12C．18 D．24(2)假設(shè)從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，那么不同的取法共有()A．60種 B．63種C．65種 D．66種(1)C(2)D[(1)法一：所有選考方法可分兩類：第一類可分兩步，第一步，考生從物理、化學(xué)、生物三科中任選一科有Ceq\o\al(1,3)種不同的選法，第二步，考生從政治、歷史、地理三科中任選二科有Ceq\o\al(2,3)種不同的選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)種不同的選法；第二類可分兩步，第一步，考生從物理、化學(xué)、生物三科中任選二科有Ceq\o\al(2,3)種不同的選法，第二步，從政治、歷史、地理三科中任選一科有Ceq\o\al(1,3)種不同的選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)種不同的選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，考生共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)＝18種不同的選考方法，應(yīng)選C．法二：依題意，考生共有Ceq\o\al(3,6)－2Ceq\o\al(3,3)＝18種不同的選考方法，應(yīng)選C．(2)共有4個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，那么4個數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，所以不同的取法共有Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4)＝66種．]排列與組合的綜合應(yīng)用(1)從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為()A．300 B．216C．180 D．162(2)(2023·江南名校聯(lián)考)將甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)，上海交通大學(xué)，浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀，那么每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法有()A．240種 B．180種C．150種 D．540種(1)C(2)C[(1)分兩類：第1類，不取0，即從1,2,3,4,5中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝72個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；第2類，取0，此時2和4只能取一個，再取兩個奇數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))＝108個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，滿足題意的四位數(shù)共有72＋108＝180(個)．(2)5名學(xué)生可分為2,2,1和3,1,1兩組方式．當(dāng)5名學(xué)生分成2,2,1時，共有eq\f(1,2)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝90種方法；當(dāng)5名學(xué)生分成3,1,1時，共有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝60種方法．由分類加法計數(shù)原理知共有90＋60＝150種保送方法．][規(guī)律方法]1.排列組合綜合題思路，先選后排，先組合后排列.當(dāng)有多個限制條件時，應(yīng)以其中一個限制條件為標(biāo)準(zhǔn)分類，限制條件多時，多考慮用間接法，但需確定一個總數(shù).2.1不同元素的分配問題，往往是先分組再分配.在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③局部均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法.2對于相同元素的“分配〞問題，常用的方法是采用“隔板法〞.[跟蹤訓(xùn)練](1)(東北三省四市模擬(一))哈市某公司有五個不同部門，現(xiàn)有4名在校大學(xué)生來該公司實習(xí)．要求安排到該公司的兩個部門，且每部門安排兩名，那么不同的安排方案種數(shù)為()【導(dǎo)學(xué)號：79140343】A．40 B．60C．120 D．240(2)(2023·浙江高考)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人效勞隊，要求效勞隊中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數(shù)字作答)(1)B(2)660[從五個不同部門選取兩個部門有Ceq\