命題角度3.1離散型隨機變量的分布列與期望、方差1．某印刷廠的打印機每5年需淘汰一批舊打印機并購置新機，買新機時，同時購置墨盒，每臺新機隨機購置第一盒墨150元，優惠0元；再每多買一盒墨都要在原優惠根底上多優惠一元，即第一盒墨沒有優惠，第二盒墨優惠一元，第三盒墨優惠2元，……，依此類推，每臺新機最多可隨新機購置25盒墨．平時購置墨盒按零售每盒200元．公司根據以往的記錄，十臺打印機正常工作五年消耗墨盒數如下表：消耗墨盒數22232425打印機臺數1441以這十臺打印機消耗墨盒數的頻率代替一臺打印機消耗墨盒數發生的概率，記ξ表示兩臺打印機5年消耗的墨盒數．(1)求ξ的分布列；(2)假設在購置兩臺新機時，每臺機隨機購置23盒墨，求這兩臺打印機正常使用五年在消耗墨盒上所需費用的期望．【答案】(1)ξ的分布列為ξ44454647484950P(2)這兩臺打印機正常使用五年所需購置墨盒的費用的期望為6614元.故ξ的分布列為ξ44454647484950P(2)記表示在題設條件下，購置2臺新機使用五年在消耗墨盒上所需的費用〔單位：元〕假設在購置兩臺新機時，每臺機隨機購置23盒墨，那么需付款那么答：這兩臺打印機正常使用五年所需購置墨盒的費用的期望為6614元．2.隨著人們對環境關注度的提高，綠色低碳出行越來越受到市民重視.為此貴陽市建立了公共自行車效勞系統，市民憑本人二代身份證到自行車效勞中心辦理誠信借車卡借車，初次辦卡時卡內預先贈送20積分，當積分為0時，借車卡將自動鎖定，限制借車，用戶應持卡到公共自行車效勞中心以1元購1個積分的形式再次激活該卡，為了鼓勵市民租用公共自行車出行，同時催促市民盡快還車，方便更多的市民使用，公共自行車按每車每次的租用時間進行扣分收費，具體扣分標準如下：①租用時間不超過1小時，免費；②租用時間為1小時以上且不超過2小時，扣1分；③租用時間為2小時以上且不超過3小時，扣2分；④租用時間超過3小時，按每小時扣2分收費〔缺乏1小時的局部按1小時計算〕.甲、乙兩人獨立出行，各租用公共自行車一次，兩人租車時間都不會超過3小時，設甲、乙租用時間不超過1小時的概率分別是0.4和0.5；租用時間為1小時以上且不超過2小時的概率分別是0.4和0.3.〔1〕求甲、乙兩人所扣積分相同的概率；〔2〕設甲、乙兩人所扣積分之和為隨機變量，求的分布列和數學期望.【答案】〔1〕甲、乙兩人所扣積分相同的概率為0.36，〔2〕的數學期望．【解析】試題分析：〔1〕先確定甲、乙兩人所扣積分相同事件取法:扣0分、扣1分及扣2分，再根據相互獨立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式得所求概率，〔2〕先確定隨機變量取法，再分別求對應概率，列表可得分布列，最后根據數學期望公式求期望.〔Ⅱ〕的可能取值為：，，，，，所以的分布列為：01234P0.20.320.30.140.04的數學期望．答：甲、乙兩人所扣積分相同的概率為0.36，的數學期望．3.6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通過對其化驗病毒來確定是否感染.下面是兩種化驗方案：方案甲：逐個化驗，直到能確定感染為止.方案乙：將6只分為兩組，每組三個，并將它們混合在一起化驗，假設存在病毒，那么說明感染在這三只當中，然后逐個化驗，直到確定感染為止；假設結果不含病毒，那么在另外一組中逐個進行化驗.〔1〕求依據方案乙所需化驗恰好為2次的概率.〔2〕首次化驗化驗費為10元，第二次化驗化驗費為8元，第三次及其以后每次化驗費都是6元，列出方案甲所需化驗費用的分布列，并估計用方案甲平均需要體驗費多少元？【答案】〔1〕；〔2〕分布列見解析，.試題解析：〔2〕設方案甲化驗的次數為，那么可能的取值為1,2,3,4,5,對應的化驗費用為元,那么，，，，那么其化驗費用的分布列為所以〔元〕.所以甲方案平均需要化驗費元4.某保險公司針對一個擁有20000人的企業推出一款意外險產品，每年每位職工只要交少量保費，發生意外后可一次性獲得假設干賠償金.保險公司把企業的所有崗位共分為、、三類工種，從事三類工種的人數分布比例如圖，根據歷史數據統計出三類工種的賠付頻率如下表〔并以此估計賠付頻率〕.對于、、三類工種職工每人每年保費分別為元，元，元，出險后的賠償金額分別為100萬元，100萬元，50萬元，保險公司在開展此項業務過程中的固定支出為每年10萬元.〔Ⅰ〕假設保險公司要求利潤的期望不低于保費的20%，試確定保費、所要滿足的條件；〔Ⅱ〕現有如下兩個方案供企業選擇；方案1：企業不與保險公司合作，企業自行拿出與保險提供的等額的賠償金額賠付給出險職工；方案2：企業于保險公司合作，企業負責職工保費的60%，職工個人負責保費的40%，出險后賠償金由保險公司賠付.假設企業選擇翻翻2的支出〔不包括職工支出〕低于選擇方案1的支出期望，求保費、所要滿足的條件，并判斷企業是否可與保險公司合作.〔假設企業選擇方案2的支出低于選擇方案1的支出期望，且與〔Ⅰ〕中保險公司所提條件不矛盾，那么企業可與保險公司合作.〕【答案】〔Ⅰ〕元；〔Ⅱ〕企業有可能與保險公司合作.試題解析：〔Ⅰ〕設工種，，職工的每份保單保險公司的效益為隨機變量，，，那么，，的分布列為保險公司期望收益，，.根據要求.解得，所以每張保單的保費需要滿足元.結果與〔Ⅰ〕不沖突，所以企業有可能與保險公司合作.5.如圖，小華和小明兩個小伙伴在一起做游戲，他們通過劃拳〔剪刀、石頭、布〕比賽決勝誰首先登上第3個臺階，他們規定從平地開始，每次劃拳贏的一方登上一級臺階，輸的一方原地不動，平局時兩個人都上一級臺階，如果一方連續兩次贏，那么他將額外獲得一次上一級臺階的獎勵，除非已經登上第3個臺階，當有任何一方登上第3個臺階時，游戲結束，記此時兩個小伙伴劃拳的次數為．〔1〕求游戲結束時小華在第2個臺階的概率；〔2〕求的分布列和數學期望．【答案】〔1〕〔2〕試題解析：解：〔1〕易知對于每次劃拳比賽根本領件共有個，其中小華贏〔或輸〕包含三個根本領件上，他們平局也為三個根本領件，不妨設事件“第次劃拳小華贏〞為；事件“第次劃拳小華平〞為；事件“第次劃拳小華輸〞為，所以．因為游戲結束時小華在第2個臺階，所以這包含兩種可能的情況：第一種：小華在第1個臺階，并且小明在第2個臺階，最后一次劃拳小華平；其概率為，第二種：小華在第2個臺階，并且小明也在第2個臺階，最后一次劃拳小華輸，其概率為所以游戲結束時小華在第2個臺階的概率為．〔2〕依題可知的可能取值為2、3、4、5，，，，所以的分布列為：2345所以的數學期望為：．6.為吸引顧客，某公司在商場舉辦電子游戲活動.對于兩種游戲，每種游戲玩一次均會出現兩種結果，而且每次游戲的結果相互獨立，具體規那么如下：玩一次游戲，假設綠燈閃亮，獲得分，假設綠燈不閃亮，那么扣除分〔即獲得分〕，綠燈閃亮的概率為；玩一次游戲，假設出現音樂，獲得分，假設沒有出現音樂，那么扣除分〔即獲得分〕，出現音樂的概率為.玩屢次游戲后累計積分到達分可以兌換獎品.〔1〕記為玩游戲和各一次所得的總分，求隨機變量的分布列和數學期望；〔2〕記某人玩次游戲，求該人能兌換獎品的概率.【答案】〔1〕詳見解析；〔2〕.試題解析：〔1〕隨機變量的所有可能取值為，分別對應以下四種情況：①玩游戲，綠燈閃亮，且玩游戲，出現音樂；②玩游戲，綠燈不閃亮，且玩游戲，出現音樂；③玩游戲，綠燈閃亮，且玩游戲，沒有出現音樂；④玩游戲，綠燈不閃亮，且玩游戲，沒有出現音樂，所以，，，，即的分布列為.7.教育學家分析發現加強語文樂隊理解訓練與提高數學應用題得分率有關，某校興趣小組為了驗證這個結論，從該校選擇甲乙兩個同軌班級進行試驗，其中甲班加強閱讀理解訓練，乙班常規教學無額外訓練，一段時間后進行數學應用題測試，統計數據情況如下面的列聯表〔單位：人〕〔1〕能夠據此判斷有97.5%把握熱內加強語文閱讀訓練與提高數學應用題得分率有關？〔2〕經過屢次測試后，小明正確解答一道數學應用題所用的時間在5—7分鐘，小剛正確解得一道數學應用題所用的時間在6—8分鐘，現小明、小剛同時獨立解答同一道數學應用題，求小剛比小明現正確解答完的概率；〔3〕現從乙班成績優秀的8名同學中任意抽取兩人，并對他們點答題情況進行全程研究，記A、B兩人中被抽到的人數為X，求X的分布列及數學期望E〔X〕.【答案】〔1〕見解析；(2)；〔3〕見解析.試題解析：〔1〕由表中數據得的觀測值所以根據統計有的把握認為加強語文閱讀理解訓練與提高數學應用題得分率有關.(2)設小明和小剛解答這道數學應用題的時間分別為分鐘，那么根本領件滿足的區域為(如下圖)設事件為“小剛比小明先解答完此題〞那么滿足的區域為由幾何概型即小剛比小明先解答完此題的概率為.〔3〕可能取值為，，，的分布列為：1.8.某市衛生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號分別為的五批疫苗，供全市所轄的三個區市民注射，每個區均能從中任選其中一個批號的疫苗接種.〔1〕求三個區注射的疫苗批號中恰好有兩個區相同的概率；〔2〕記三個區選擇的疫苗批號的中位數為，求的分布列及期望.【答案】〔1〕；〔2〕詳見解析.試題解析：(1)(三個區注射的疫苗批號恰好兩個區相同)=.(2)設三個區選擇的疫苗批號的中位數為所有可能取值為.，，.所以的分布列：即的期望：.9.交強險是車主必須為機動車購置的險種，假設普通座以下私家車投保交強險第一年的費用〔基準保費〕統一為元，在下一年續保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發生道路交通事故的情況相聯系，發生交通事故的次數越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：某機構為了研究某一品牌普通座以下私家車的投保情況，隨機抽取了輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續保時的情況，統計得到了下面的表格：類型數量105520155以這輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成以下問題：〔Ⅰ〕按照我國?機動車交通事故責任強制保險條例?汽車交強險價格的規定，，記為某同學家里的一輛該品牌車在第四年續保時的費用，求的分布列與數學期望；〔數學期望值保存到個位數字〕〔Ⅱ〕某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于根本保費的車輛記為事故車，假設購進一輛事故車虧損元，一輛非事故車盈利元：①假設該銷售商購進三輛〔車齡已滿三年〕該品牌二手車，求這三輛車中至少有一輛事故車的概率；②假設該銷售商一次購進輛〔車齡已滿三年〕該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值.【答案】〔Ⅰ〕見解析;〔Ⅱ〕①,②見解析.試題解析：〔Ⅰ〕由題意可知的可能取值為由統計數據可知：所以的分布列為：所以〔Ⅱ〕①由統計數據可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為三輛車中至少有一輛事故車的概率為②為該銷售購進并銷售一輛二手車的利潤，的可能取值為所以的分布列為：-300010000所以所以該銷售商一次購進輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值為萬元.10.為了研究學生的數學核素養與抽象〔能力指標〕、推理〔能力指標〕、建模〔能力指標〕的相關性，并將它們各自量化為1、2、3三個等級，再用綜合指標的值評定學生的數學核心素養；假設，那么數學核心素養為一級；假設，那么數學核心素養為二級；假設，那么數學核心素養為三級，為了了解某校學生的數學核素養，調查人員隨機訪問了某校10名學生，得到如下結果：學生編號〔1〕在這10名學生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標相同的概率；〔2〕從數學