2023屆江蘇省南通市高三上學期12月調研測試數學試題一、單選題1．設全集，集合M滿足，則（

）A．2M B．C． D．6M【答案】C【分析】由條件求出集合，然后逐項驗證即可【詳解】因為，，所以，所以元素2與集合的關系為，A錯誤，元素3與集合的關系為，B錯誤，元素4與集合的關系為，C正確，元素6與集合的關系為，D錯誤故選：C.2．已知復數z滿足（i為虛數單位），則復數z的虛部為（

）A．i B．1 C．－i D．－1【答案】D【分析】由復數的除法先求出復數z，進而可得出復數z的虛部.【詳解】，，復數z的虛部為.故選：D3．在中，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的減法可得出關于、的表達式.【詳解】因為，則，因此，.故選：A.4．將一個圓形紙片剪成兩個扇形（沒有多余角料），將它們分別卷曲粘貼成圓錐形狀（重疊部分忽略不計），若兩個扇形的面積比為1∶2，則兩圓錐的高之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由扇形面積求出圓錐的底面半徑，應用勾股定理然后可得高的比值．【詳解】設圓的半徑為,則兩個圓錐的母線長為．因為,又因兩個扇形的面積比為1∶2,則兩個扇形的弧長比也為1∶2.設卷成的兩個圓錐小圓錐底面半徑為，高為，大圓錐底面半徑為，高為，則，，，，則,,所以兩個圓錐的高分別為,,因此兩圓錐的高之比為．故選．5．已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點，，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】利用點三點共線，得到，然后利用任意角的三角函數求出，再利用二倍角的余弦公式即可求解.【詳解】由題意可知：點三點共線，所以，即，因為，所以，，由二倍角公式可得：，故選：.6．設k為實數，若雙曲線的一個焦點坐標為，則k的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將雙曲線方程化為標準方程，再根據焦點坐標即可得解.【詳解】解：將雙曲線化為標準方程，得，因為雙曲線的一個焦點坐標為，在軸上，所以，且，解得.故選：C.7．某同學研究如下數表時，發現其特點是每行每列都成等差數列，在表中，數41出現的次數為（

）23456…357911…47101316…59131721…A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【分析】記第行第列的數為，根據第一行組成的數可得，再由第列數組成的數列可得，令，解出對應的的值即可得答案.【詳解】解：記第行第列的數為，由題意可知第一行組成的數列是以2為首項，1為公差的數列，所以，所以第列數組成的數列是以為首項，公差為的等差數列，所以，令，所以，解得，共8組解，所以數41出現共出現8次.故選：A.8．已知函數存在極大值點和極小值點，則實數的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知條件得有兩個根,再求的導函數,結合根的情況得極值,再根據范圍計算即可.【詳解】由已知存在極大值點和極小值點可得有兩個根,可得當時,單調遞增,至多一個根,不合題意因為的定義域為,所以,所以同號單調遞增,因為有兩個根,則存在,在上是單調遞減的,在上是單調遞增的,有兩個根又因則,,又因所以,即得因為單調遞增,,所以滿足,則令,則,是單調遞增的,所以,所以所以,選項滿足要求.故選:.二、多選題9．已知數列的前n項和滿足（），則下列說法正確的是（

）A．為等差數列 B．C．中，、最大 D．為遞增數列【答案】BC【分析】利用數列與關系：，對各個選項分別求解即可.【詳解】對A，，當時，，當時，不滿足上式，，從而知不是等差數列，故A選項錯誤；對B，，當時，，故B選項正確；對C，，當時，有最大值，而又，當或時，有最大值，即在中，、最大，故C選項正確；對D，由知，根據數列的通項公式知此數列為遞減數列，故D選項錯誤.故選：BC10．已知函數（）的最大值為2，，則下列結論正確的是（

）A．B．在上單調遞減C．直線是圖像的一條對稱軸D．把的圖像向左平移個單位長度，得到的圖像關于點對稱【答案】BCD【分析】由題知，再根據得，進而得，再結合三角函數性質依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：因為函數（）的最大值為2所以，，解得，因為，，所以，故A選項錯誤；所以，對于B選項，當時，，由于函數在上單調遞減，所以，函數在上單調遞減，故B選項正確；對于C選項，當時，，由于是函數的對稱軸，所以，直線是圖像的一條對稱軸，故C選項正確；對于D選項，把的圖像向左平移個單位長度得到，所以，令，解得，故當時，，所以，是的一個對稱中心，故D選項正確.故選：BCD11．已知，是圓O：上兩點，則下列結論正確的是（

）A．若點O到直線的距離為，則B．若的面積為，則C．若，則點O到直線的距離為D．的最大值為，最小值為【答案】AC【分析】利用弦長公式判定選項A正確；先利用三角形的面積公式求出，再結合角的范圍判定選項B錯誤；利用數量積的計算公式求出，進而判定三角形的形狀判定選項C正確；設，，且，利用輔助角公式和三角函數的性質判定選項D錯誤.【詳解】對于A：易知圓：的半徑，因為點O到直線的距離，所以，即選項A正確；對于B：因為的面積為，所以，即，解得，因為，所以或，即選項B錯誤；對于C：因為，所以，即，即，因為，所以，即是邊長為1的等邊三角形，所以點O到直線的距離為，即選項C正確；對于D：由題意設，，且，則因為，所以，則，，，所以，即，即選項D錯誤.故選：AC.12．已知函數及其導函數的定義域均為R，記，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】代入，找到含有的等式可判斷A正確，令，建立等式并求導，可得到關于對稱，利用，用換得到方程組解得，可知為偶函數，進而可判斷周期為2，容易判斷D正確，利用為周期為2的偶函數，結合選項變換函數值，可求得，判斷不一定相等.【詳解】令，得，所以A正確.令，則求導數得，，即所以關于對稱，又因為所以為偶函數.，的周期為2.因為為周期為2的偶函數，所以令時，令，得，所以B不正確，C正確.因為的周期為2，，所以D正確.故選：ACD.【點睛】解決函數性質綜合問題，要認真分析條件，聯系函數的性質，判斷函數是否具備奇偶性，周期性，對稱性等性質，然后再利用函數性質，結合選項，選擇特值尋找與選項有關的等式或不等式進行計算或者判斷.三、填空題13．函數，對任意實數都有，則實數的值為__________．【答案】【分析】根據條件對任意實數都成立，用特值法，代入，即可求得，從而解得答案.【詳解】因為對任意實數都有，所以時也成立.，經檢驗符合題意，故答案為：14．若關于x的不等式在區間上有解，則實數a的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據題中條件，由分離參數的方法得到，求出在給定區間的最大值，進而可求出結果.【詳解】因為，所以由得，因為關于的不等式在區間上有解，所以只需小于等于的最大值，當時，，當時，，當且僅當時等號成立，即當且僅當時取等號，故的最大值為，所以，即實數的取值范圍是.故答案為：.15．一個圓臺兩個底面的直徑分別為2、4，該圓臺存在內切球，則該圓臺的體積為__________．【答案】【分析】作出圓臺的軸截面，利用勾股定理和切線的性質分別求得圓臺的母線，從而可求出內切球的半徑和圓臺的高，再根據圓臺的體積公式即可得解.【詳解】如圖為圓臺的軸截面，設內切球得半徑為，則圓臺的高為，圓臺的母線長為，則，所以，解得，即圓臺的高為，所以圓臺的體積為.故答案為：.16．已知拋物線C：，點，O是坐標原點，A，B，M，N是拋物線C上的四個動點，，過點P分別作，的垂線，垂足分別為E，F，則點距離的最大值為__________．【答案】【分析】首先設直線為，與拋物線聯立得到，根據得到，即可得到直線恒過定點，同理直線恒過定點.再根據，，得到在以為直徑的圓上，即可得到的最大值為直徑.【詳解】設直線為，，，由題知：，則.，解得.所以直線為，恒過定點.同理直線恒過定點.因為，，則在以為直徑的圓上.所以的最大值為直徑.故答案為：2四、解答題17．為數列的前n項積，且．(1)證明：數列是等比數列；(2)求的通項公式．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由與的關系，把已知式中換成的關系式，然后可配出等比數列的比值；（2）由（1）求得后，代入已知可得或由與的關系求解．【詳解】（1）證明：由已知條件知

①,于是．

②,由①②得．

③

，又

④，由③④得，所以，令，由，得，，所以數列是以4為首項，2為公比的等比數列；（2）由（1）可得數列是以4為首項，2為公比的等比數列．，法1：時，，又符合上式，所以；法2：將代回得：．18．如圖，在中，，，，點M在線段上．(1)若，求的長；(2)點N是線段上一點，，且，求證：．【答案】(1)6(2)證明見解析【分析】（1）在中，利用正弦定理求解即可得到答案；（2）因為，且，由余弦定理得：化得：，然后根據條件分別求出和的值，即可得證：.【詳解】（1）在中，，由正弦定理：，得（2）在中，由余弦定理得:，19．在一個袋子里有大小一樣的6個小球，其中有4個紅球和2個白球．(1)現有放回地每次從中摸出1個球，連摸3次，設摸到紅球的次數為X，求隨機變量X的概率分布及期望；(2)現無放回地依次從中摸出1個球，連摸2次，求第二次摸出白球的概率；(3)若每次任意取出1個球，記錄顏色后放回袋中，直到取到兩次紅球就停止，設取球的次數為Y，求的概率．【答案】(1)分布列見解析，2(2)(3)【分析】（1）根據二項分布求解分布列和數學期望即可.（2）記“第一次摸出紅球”為事件，“第一次摸出白球”為事件，“第二次摸出白球”為事件，即第二次摸出白球的概率為：．（3）根據表示“前3次只有1次取到紅球，其余2次取到白球，第4次取到紅球”求解即可.【詳解】（1）由題意分析，的可能值為0，1，2，3所以，

，，

.

分布列為：X.（2）記“第一次摸出紅球”為事件，“第一次摸出白球”為事件，“第二次摸出白球”為事件，則，，即第二次摸出白球的概率為：．（3）依題意，每次取到紅球的概率為，取到白球的概率為.即是“前3次只有1次取到紅球，其余2次取到白球，第4次取到紅球”.20．三棱臺的底面是正三角形，平面，，，，E是的中點，平面交平面于直線l．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由三棱臺的性質得到//，再利用線面平行的判定定理和性質定理進行證明；（2）在平面內作，建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，再利用線面角的向量公式進行求解.【詳解】（1）在三棱臺中，//，又平面，平面，則//平面，又平面，平面平面，所以//.（2）因為平面，在平面內作，以為原點，分別為軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，令，則，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.21．設橢圓E：（）的左、右焦點分別為，，點在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程；(2)設點T在直線上，過T的兩條直線分別交E于A，B兩點和P，Q兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和．【答案】(1)(2)0【分析】（1）根據題意建立關于a，b，c的方程組，解出即可求得橢圓的方程；（2）設直線方程，將其與橢圓E的方程聯立，求出兩根之和及兩根之積，再表示出，同理表示出，根據，代入化簡后可得出結果．【詳解】（1）由已知橢圓的左、右焦點分別為，，∴，方法一：由題意得，解得，∴橢圓的方程為；方法二：由，則，又，得，∴橢圓的方程為；（2）設，，由，消去得：設，由題意，從而同理，又所以，即，又故，直線的斜率與直線的斜率之和為0．22．函數．(1)若曲線存在垂直于y軸的切線，求實數a的取值范圍；(2)設，試探究函數的零點個數．【答案】(1)(2)3個【分析】（1）利用導數幾何意義轉化為關于的方程在上有實根，進而求得a的取值范圍；（2）先利用導數求得函數的單調區間，再依據零點存在定理即可得到函數的零點個數．【詳解】（1），則由題意，存在，