廈門大學《高等數學（AC》課程試 A一、選擇題（4共20分1x0f(x)

1sin1是 x B、無窮 2x0sin(sin2xln(1x2xsinxnxsinxn比ex21高階的無窮小，整數n（ A、 B、 C、 D、3f(x)

cosxex1

，則 AxBx

x1f(xx1f(xCx0f(xDx0f(x

x1f(xx1f(xx4f(x)xx2sin

xx

，則f(x)在x0處 D、可5、若f(x)在[1,1]上連續，在(1,1)內可導，且f(x)M，f(0)0，則必有 A、f(x)

B、f(x

Cf(x)

Df(x)二、填空（每小題4分，共20分k1f(x)k

x

x0在x0處連續，則k的取值范圍 x2、limnarctann1

n n

n1 3f(xx0處可導，且limcosx11yf(xx0ef(x)切線方程 4、設函數

xlnn

d2， 2|1 y

2 t25、設生產函數為QALK，其中QLKA,

均為正數，則Q1時，K關于L的彈性 三、計算（每題7分，共42分 cos2x1、 x0

axax2、lim

axn,n)axn,n)x0

f(sin2xcos3f(xf(1

f(12，求

xtanx14、設y xsinx，求x15、求函數f(x)x2ln(1x)在x0處的n階導數f(n) (n3)6、設方程ln(2xy)x2y1yf(x)，求四、證明與應用（每題6分，共18分1f(x在[1,1xf(xx2f(0

dyx1x2f(x在[02上連續，在(02)f(0)0f(1f(2)0，證明：至少存在一點(02，使得f(f(。3QPQQ(P 192

（1）設RPQdRQ1

Qp)（2）p6時，總收益對價格的彈性Rp（10n證明方程exx2n+10n

(n0,1,)n證明limx存在并求其值)n證明當n

A1是同階無窮小n 3、 4、D5、1二、填空（每小題5分，共20分）1、k0。2、1。3、y0。4、n2 2

。5、 cos2x

x2cos2xsin2

xcosxsinxxcosxsin431、 43

x0sin

12limxcosxsinx2lim1

x

x2lim1cos2x2lim

ax) ax) lim1 axlnaaxlna axlnaxax an

4、因為lim 1lna

axax

1a11 n所以lim n

a x0

15、

f(sin2xcosx)xtanx

f(sin2xcosx)(sin2xsinx)1limf(sin2xcosx)1226、因為ln

x11lnx1ln(1x)x1112x112x1

1

2 yxsinxcosxlnxsinx 2(1x)

x 7、求函數f(x)x2ln(1x)在x0處的n階導數f(n) (n3)nf(n)(x)x2ln(1x)n2xln(n1)(1x)2C2ln(n2)(1n又ln(n21x)(

(n3)!(1

(0)

(1)n1n

(2y)12y,y

2xy2,dy2xy22x

14x2

14x2所以dy

1f(0)0,當x0

xx2

f(x)f(0)x 定理有f(0)x0

xf(x)f(0)xx2, 定理有f(0) 所以f(0存在且等于2、因為f(x在[02上連

mf(1)M，mf(2)Mmf(1)f(2)2f(1f(2)0，,至少存在一點(02使得f()

f(1)f(2)2f(1f(2)0，由連續零值定理有至少存在一點(02使得f()又在[0,

上作輔助函數F(x)

f(x)ex滿 至少存在一點(0,02,F(0f(f(3 （1）因為RPQ，所以dRQpdQQ1pdQQ(1

Qdp （2）因為

pdRpRdp

Q1

Qp1

2p2192p2

1923192所以

Rp

70.54經濟意義：當p6時，價格上漲1%，則總收益增加

(x)exx2n+1，

fn(0)10

(1)110e由連續函數的零點定理知，對任意給定的自然數nxn(10，使得fn(xn)=0

dfn(x)=ex(2n1)x2n

x(10)

關于xnf(x)=exx2n+1有唯n

，即對任意給定的自然數n方程exx2n+1=0有唯一的實根 nexx2n1

|x| 由

n

，即xn=e2n1，因

,且li