2022年度安徽省合肥市世界外國語學校高三數學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設函數f（x）=x|x|+bx+c，給出下列四個命題：①c=0時，f（x）是奇函數；②b=0，c＞0時，方程f（x）=0只有一個實根；③f（x）的圖象關于（0，c）對稱；④方程f（x）=0至多兩個實根．其中正確的命題是（）A．①④ B．①③ C．①②③ D．①②④參考答案：C考點： 根的存在性及根的個數判斷；函數奇偶性的判斷；奇偶函數圖象的對稱性．專題： 計算題；綜合題．分析： ①c=0時，可由奇函數的定義判斷正確．③由①可知c=0時，f（x）圖象關于原點對稱，故f（x）=x|x|+bx+c的圖象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|個單位，故關于（0，c）對稱正確；②④中取b=﹣3，c=2即可判斷錯誤．解答： 解：①c=0時，f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx=﹣f（x），故f（x）是奇函數，故①正確；③由①可知c=0時，f（x）圖象關于原點對稱，f（x）=x|x|+bx+c的圖象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|個單位，故關于（0，c）對稱正確；取b=﹣1，c=0，則f（x）=x|x|﹣x=x（|x|﹣1）=0，x=0或x=±1，故④錯誤；b=0，c＞0時，f（x）=x|x|+c=，函數f（x）是一個增函數，故只有一個零點，故②正確故選C點評： 本題考查含有絕對值的函數的奇偶性、對稱性和零點問題，綜合性強，難度較大．2.在集合M={x|0＜x≤5}中隨機取一個元素，恰使函數大于1的概率為（）A． B．C． D．參考答案：D【考點】幾何概型．【分析】解不等式≥1，可得0＜x≤，以長度為測度，即可求在集合M={x|0＜x≤5}中隨機取一個元素，恰使函數大于1的概率．【解答】解：解不等式≥1，可得0＜x≤，∴在集合M={x|0＜x≤5}中隨機取一個元素，恰使函數大于1的概率為=．故選D．3.若點M是△ABC所在平面內的一點,且滿足則△ABM與△ABC的面積比為參考答案：C4.函數的定義域為()A．(－4，－1)

B．(－4,1)C．(－1,1)

D．(－1,1]參考答案：C5.過曲線，點P的坐標為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：A6.設全集為實數集，，，則圖1中陰影部分所表示的集合是A．

B．C．

D．參考答案：D7.已知是上的偶函數，若將的圖象向右平移一個單位后，則得到一個奇函數的圖象，若

，則的值為

A．－1

B．

C．1

D．不能確定高考資源網參考答案：A略8.已知全集U={﹣2，0，1，2}，集合A={x|x2﹣2x=0}，則?UA=（）A．{﹣2，1} B．{﹣2，0，2} C．{0，2} D．{0，1}參考答案：A【考點】補集及其運算．【分析】根據題意，解x2﹣2x=0可得集合A，進而由補集的意義，計算可得答案．【解答】解：根據題意，A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，又由全集U={﹣2，0，1，2}，則?UA={﹣2，1}；故選：A．9.設函數的定義域為，如果存在正實數，對于任意，都有，且恒成立，則稱函數為上的“型增函數”，已知函數是定義在上的奇函數，且當時，，若為上的“2014型增函數”，則實數的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C略10.設f（x）=|lg（x﹣1）|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），則ab的取值范圍是（）A．[1，2]B．（1，2）C．（4，+∞）D．（2，+∞）參考答案：C考點：基本不等式在最值問題中的應用；對數函數的圖像與性質．專題：函數的性質及應用．分析：f（x）是含有絕對值的函數，結合函數的圖象或通過去絕對值考查f（x）的單調性，找出a和b的關系，結合基本不等式求范圍即可．解答：解：先畫出函數f（x）=|lg（x﹣1）|的圖象，如圖：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴1＜a＜2，b＞2，∴﹣lg（a﹣1）=lg（b﹣1），∴=b﹣1，∴a=1+，∴ab=b+=b+=b﹣1++2＞2=4，∴ab的取值范圍是（4，+∞），故選：C點評：本題考查函數的性質、基本不等式等，去絕對值是解決本題的關鍵，綜合性強．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列四個命題：①命題“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R，x2≤0”；②函數y=f（x）的定義域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其圖象上任一點P（x，y）滿足x2﹣y2=1，則函數y=f（x）可能是奇函數；③若a，b∈[0，1]，則不等式a2+b2＜成立的概率是④函數y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）恒為正，則實數a的取值范圍是（﹣∞，）．其中真命題的序號是．（請填上所有真命題的序號）參考答案：①②④【考點】2K：命題的真假判斷與應用．【分析】①根據含有量詞的命題的否定進行判斷．②根據函數奇偶性的定義和性質結合雙曲線的圖象進行判斷．③根據幾何概型的概率公式進行判斷．④利用不等式恒成立，利用參數分離法進行求解判斷即可．【解答】解：①命題“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R，x2≤0”；故①正確，②函數y=f（x）的定義域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其圖象上任一點P（x，y）滿足x2﹣y2=1，則函數y=f（x）可能是奇函數；正確，當點P的坐標滿足y=時，函數f（x）為奇函數．故②正確，③若a，b∈[0，1]，則不等式成立的概率是．如圖．所以③錯誤④因為函數y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）上恒為正，所以在[2，+∞）上x2﹣ax+2＞1恒成立，即：在[2，+∞）上恒成立，令，因為x≥2，所以，所以g（x）在[2，+∞）上為增函數，所以：當x=2時，g（x）的最小值為g（2）=，所以．則實數a的取值范圍是（﹣∞，）．故④正確，故答案為：①②④12.一個五面體的三視圖如下，正視圖與側視圖是等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，部分邊長如圖所示，則此五面體的體積為

．參考答案：13.半徑為r的圓的面積S（r）＝r2,周長C（r）=2r，若將r看作（0，＋∞）上的變量，則（r2）`＝2r

1，1式可以用語言敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數。對于半徑為R的球，若將R看作（0，＋∞）上的變量，請你寫出類似于1的式子：

。式可以用語言敘述為：

。參考答案：（R3）`＝4R2，球的體積函數的導數等于球的表面積函數14.的展開式中，含的項的系數為______.（用數字填寫答案）.參考答案：70【分析】求得二項展開式的通項為，令，代入即可求解，得到答案．【詳解】由題意，二項式的展開式的通項為，令時，，即的項的系數為．

15.過點且與直線垂直的直線方程的一般式是___________

參考答案：x+2y-2=0略16.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinA，sinB，sinC依次成等比數列，c=2a且?=24，則△ABC的面積是．參考答案：4【考點】正弦定理．【分析】由已知及等比數列的性質可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得b2=ac，進而可求c=2a，b=a，由余弦定理可求cosB，利用同角三角函數基本關系式可得sinB的值，利用平面向量數量積的運算可求ac的值，利用三角形面積公式即可計算得解．【解答】解：∵sinA，sinB，sinC依次成等比數列，∴sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，∵c=2a，可得：b=a，∴cosB===，可得：sinB==，∵?=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，∴S△ABC=acsinB==4．故答案為：4．17.在極坐標系中，點到直線的距離為__________．參考答案：直角坐標系中，直線方程為，點坐標為，到直線距離．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分16分）已知拋物線：，直線交此拋物線于不同的兩個點、．（1）當直線過點時，證明為定值；（2）當時，直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；（3）記，如果直線過點，設線段的中點為，線段的中點為．問是否存在一條直線和一個定點，使得點到它們的距離相等？若存在，求出這條直線和這個定點；若不存在，請說明理由．參考答案：解：（1）過點與拋物線有兩個交點，可知其斜率一定存在，設，其中（若時不合題意），由得，．………………4分注：本題可設，以下同．（2）當直線的斜率存在時，設，其中（若時不合題意）．由得．，從而．………………6分假設直線過定點，則，從而，得，即，即過定點．………………8分當直線的斜率不存在，設，代入得，，，從而，即，也過．綜上所述，當時，直線過定點．………………10分（3）依題意直線的斜率存在且不為零，由（1）得點的縱坐標為，代入得，即．…………12分設，則消得…………14分由拋物線的定義知存在直線，點，點到它們的距離相等．…………16分略19.解的不等式參考答案：20.某小組共有A、B、C、D、E五位同學，他們的身高（單位：米）以及體重指標（單位：千克/米2）如下表所示：

ABCDE身高1.691.731.751.791.82體重指標19.225.118.523.320.9（Ⅰ）從該小組身高低于1.80的同學中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率（Ⅱ）從該小組同學中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5，23.9）中的概率．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】概率與統計．【分析】（Ⅰ）寫出從身高低于1.80的同學中任選2人，其一切可能的結果組成的基本事件，查出選到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率計算公式求解；．（Ⅱ）寫出從該小組同學中任選2人，其一切可能的結果組成的基本事件，查出選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率計算公式求解．【解答】（Ⅰ）從身高低于1.80的同學中任選2人，其一切可能的結果組成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6個．由于每個同學被選到的機會均等，因此這些基本事件的出現是等可能的．選到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3個．因此選到的2人身高都在1.78以下的概率為p=；（Ⅱ）從該小組同學中任選2人，其一切可能的結果組成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10個．由于每個同學被選到的機會均等，因此這些基本事件的出現是等可能的．選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5，23.9）中的事件有：（C，D）（C，E），（D，E）共3個．因此選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5，23.9）中的概率p=．【點評】本題考查了古典概型及其概率計算公式，解答的關鍵在于列舉基本事件時做到不重不漏，是基礎題．21.在△ABC中，交A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且c=acosB+bsinA（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面積的最值．參考答案：【考點】正弦定理．【分析】（Ⅰ）根據正弦定理、誘導公式、兩角和的正弦函數化簡已知的式子，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出A；（Ⅱ）由條件和余弦定理列出方程化簡后，由不等式求出bc的范圍，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，c=acosB+bsinA，由正弦定理得，sinC=sinAcosB+sinBsinA，∵sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，∴sin（A+B）=sinAcosB+sinBsinA，化簡得，sinBcosA=sinBsinA，∵sinB＞0，∴cosA=sinA，則tanA=1，由0＜A＜π得A=；（Ⅱ）∵a=2，A=，∴由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，則，即，解得bc≤，當且僅當b=c時取等號，∴△ABC的面積S=，∴△ABC的面積的最大值是．22.（本