例1:某年全國足球甲級A組聯(lián)賽共有14個隊參加，每隊要與其余各隊在主、客場分別比賽一次，共進行多少場比賽？解：14個隊中任意兩隊進行1次主場比賽與1次客場比賽，對應于從14個元素中任取2個元素的一個排列，因此，比賽的總場次是有約束條件的排列問題課本例題2第1頁/共63頁第一頁，共64頁。以人為標準進行分步，第一名同學有5種選擇，第二名同學有5種選擇，第三名同學也有5種選擇，因此有例2：(1)有5本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？

(2)有5種不同的書，買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？有約束條件的排列問題課本例題3第2頁/共63頁第二頁，共64頁。例3、用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？解法一：對排列方法分步思考。從位置出發(fā)百位十位個位或有約束條件的排列問題課本例題4第3頁/共63頁第三頁，共64頁。解法二：對排列方法分類思考。符合條件的三位數(shù)可分為兩類：百位十位個位0百位十位個位0百位十位個位根據(jù)加法原理從元素出發(fā)分析例3、用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？有約束條件的排列問題課本例題4第4頁/共63頁第四頁，共64頁。解法三：間接法.從0到9這十個數(shù)字中任取三個數(shù)字的排列數(shù)為，∴所求的三位數(shù)的個數(shù)是其中以0為排頭的排列數(shù)為.逆向思維法例3、用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？有約束條件的排列問題課本例題4第5頁/共63頁第五頁，共64頁。百位十位個位千位萬位例4、由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有多少個？有約束條件的排列問題2或41，3或2、4之一第6頁/共63頁第六頁，共64頁。百位十位個位千位萬位例4、由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有多少個？有約束條件的排列問題1或3或5百位十位個位千位萬位2或45第7頁/共63頁第七頁，共64頁。百位十位個位千位萬位例4、由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有多少個？有約束條件的排列問題第8頁/共63頁第八頁，共64頁。例5、6個人站成前后兩排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（）A.30種B.360種C.720種D.1440種C分排問題直排處理有約束條件的排列問題第9頁/共63頁第九頁，共64頁。例6、有4個男生和3個女生排成一排，按下列要求各有多少種不同排法：（1）男甲排在正中間；特殊元素（位置）優(yōu)先法有約束條件的排列問題第10頁/共63頁第十頁，共64頁。例6、有4個男生和3個女生排成一排，按下列要求各有多少種不同排法：（2）男甲不在排頭，女乙不在排尾；女乙在排頭時：女乙不在排頭時：所以共有：720+3000=3720種。有約束條件的排列問題女乙不甲乙55第11頁/共63頁第十一頁，共64頁。例6、有4個男生和3個女生排成一排，按下列要求各有多少種不同排法：（2）男甲不在排頭，女乙不在排尾；有約束條件的排列問題間接法：第12頁/共63頁第十二頁，共64頁。例6、有4個男生和3個女生排成一排，按下列要求各有多少種不同排法：（3）三個女生排在一起；相鄰問題“捆綁法”有約束條件的排列問題第13頁/共63頁第十三頁，共64頁。例6、有4個男生和3個女生排成一排，按下列要求各有多少種不同排法：（4）三個女生兩兩都不相鄰；不相鄰問題“插空法”有約束條件的排列問題第14頁/共63頁第十四頁，共64頁。例6、有4個男生和3個女生排成一排，按下列要求各有多少種不同排法：（5）全體站成一排，甲、乙、丙三人自左向右順序不變；定序問題“消序法”有約束條件的排列問題定序問題“插空法”第15頁/共63頁第十五頁，共64頁。例6、有4個男生和3個女生排成一排，按下列要求各有多少種不同排法：（6）若甲必須在乙的右邊（可以相鄰，也可以不相鄰），有多少種站法？有約束條件的排列問題定序問題“消序法”定序問題“插空法”第16頁/共63頁第十六頁，共64頁。例7、⑴7位同學站成一排，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：7個元素的全排列A77＝5040⑵7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列A66=720有約束條件的排列問題第17頁/共63頁第十七頁，共64頁。⑶7位同學站成一排，其中甲不站在首位，共有多少種不同的排法？解一：甲站其余六個位置之一有A61種，其余6人全排列有A66

種，共有A61A66=4320。解二：從其他6人中先選出一人站首位，有A61，剩下6人（含甲）全排列，有A66

，共有A61A66=4320。解三：7人全排列有A77，甲在首位的有A66，所以共有A77-A66=7A66-A66=4320。有約束條件的排列問題第18頁/共63頁第十八頁，共64頁。（4）7位同學站成一排．甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有A22種；第二步余下的5名同學進行全排列有A55種則共有A22A55=240種排列方法.①②③④⑤⑥⑦①②③④⑤⑥⑦甲乙乙甲

abcde

ebdcaA55A55A22A22有約束條件的排列問題第19頁/共63頁第十九頁，共64頁。（5）7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學中選2位同學站在排頭和排尾有A52種方法；第二步從余下的5位同學中選5位進行排列（全排列）有A55種方法，所以一共有A52A55

＝2400種排列方法．有約束條件的排列問題間接法第20頁/共63頁第二十頁，共64頁。（6）若甲不在排頭、乙不在排尾,有多少種不同的排法？解法一（直接法）：以甲作為分類標準,分為兩類：第一類：先安排甲在中間,再安排乙,有第二類：先安排甲在排尾,再安排其他人,有共有：3720種方法有約束條件的排列問題直接法第21頁/共63頁第二十一頁，共64頁。解法二（間接法）：所有排法中除去不符合的.共有：3720種方法所有排法：甲在排頭：乙在排尾：甲在排頭、乙在排尾：有約束條件的排列問題間接法第22頁/共63頁第二十二頁，共64頁。例8、四位男生、三位女生排隊照相，根據(jù)下列要求，各有多少不同的排法（1）七個人排一列，四個男生必須連排在一起有約束條件的排列問題（1）捆綁法：四個男生看作一個元素和三個女生共四個元素有A44種排法,四個男生全排列有A44種排法由乘法原理共有第23頁/共63頁第二十三頁，共64頁。例8、四位男生、三位女生排隊照相，根據(jù)下列要求，各有多少不同的排法（2）男女生相間排列有約束條件的排列問題

③男女男女男女男共有A44A33=144第24頁/共63頁第二十四頁，共64頁。例9、將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有（）（A）120種（B）96種（C）78種（D）72種特殊元素（或位置）優(yōu)先安排B第25頁/共63頁第二十五頁，共64頁。先算出5列火車排5條鐵軌的排法，然后扣除掉A列車停在第一軌道上的方法總數(shù)，再扣除掉B列車停在第二軌道上的方法總數(shù)，再加上前面重復扣除的既滿足A列車停在第一軌道上、又滿足B列車停在第二軌道上的方法總數(shù)，就是所求的不同的停放方法。例9、將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有（）（A）120種（B）96種（C）78種（D）72種特殊元素（或位置）優(yōu)先安排解法2：第26頁/共63頁第二十六頁，共64頁。第27頁/共63頁第二十七頁，共64頁。第28頁/共63頁第二十八頁，共64頁。不相鄰問題“插空法”第29頁/共63頁第二十九頁，共64頁。不相鄰問題“插空法”、捆綁法第30頁/共63頁第三十頁，共64頁。七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（）種(A)960種（B）840種C）720種（D）600種“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”第31頁/共63頁第三十一頁，共64頁。從7盆不同的盆花中選出5盆擺放在主席臺前，其中有兩盆花不宜擺放在正中間，則一共有_____種不同的擺放方法。第32頁/共63頁第三十二頁，共64頁。例5：一天要排語、數(shù)、英、體、班會六節(jié)課，要求上午的四節(jié)課中，第一節(jié)不排體育課，數(shù)學排在上午；下午兩節(jié)中有一節(jié)排班會課，問共有多少種不同的排法？特殊元素應該優(yōu)先考慮

1.數(shù)學排上午4種排法，班會排下午2種排法，其他四門課全排列24種排法，共4×2×24=192

2.體育排第一節(jié)，數(shù)學3種排法，班會2種排法，其他三門課全排列6種排法，共3×2×6=36

3.用第一種排法減去第二種192-36=156.有約束條件的排列問題第33頁/共63頁第三十三頁，共64頁。例8：一天要排語、數(shù)、英、體、班會六節(jié)課，要求上午的四節(jié)課中，第一節(jié)不排體育課，數(shù)學排在上午；下午兩節(jié)中有一節(jié)排班會課，問共有多少種不同的排法？分析：共是6節(jié)課

討論）上午第一節(jié)不能是體育、班會，則第一節(jié)就有4種可能第二節(jié)開始不能是班會，減去前面一節(jié)，還有4種第三節(jié)減去2節(jié)+班會,有3種可能第四節(jié)減去3節(jié)+班會,有2種可能第5節(jié)（早上排了4節(jié)了），下午：

剩下一節(jié)跟班會有2種可能，第6節(jié)全部排好了就一節(jié)課1種可能。共4×4×3×2×2×1=192；有約束條件的排列問題*?疑問：若剩下的一節(jié)是數(shù)學呢。數(shù)、班在下午全排體排在上午第一節(jié)外的某節(jié)剩下的全排第34頁/共63頁第三十四頁，共64頁。法一）1）當體育課被安排在下午，則在除班會以外的四節(jié)課在上午可以隨便安排，共有種可能，再有下午的體育和班會共有=2種排法，所以共有=48種方法。

2）當體育課被安排在上午，則在除班會以外的四節(jié)課中必須選出一門課與班會一起被安排在下午，共有種排法。在余下的三門課與體育課共四節(jié)被安排在上午：上午第一節(jié)有3種選法，第二節(jié)有3種選法，第三節(jié)有2種選法，第四節(jié)有1種選法。即=3×3×2×1種。共有（）.（）=144種。由1）2）

共48+144=192，而數(shù)在下午有36種；綜上：有48+144-36=156種。法二）數(shù)在上午其它三節(jié)中的一節(jié)第一節(jié)排（除數(shù)、體、班）其它三門課中的一門剩下三門課中選一門與班會放在下午兩節(jié)全排最后的兩門課無限制全排分析：共是6節(jié)課綜上：48+108=156.第35頁/共63頁第三十五頁，共64頁。3：三名女生和五名男生排成一排，⑴如果女生全排在一起，有多少種不同排法？⑵如果女生全分開，有多少種不同排法？⑶如果兩端都不能排女生，有多少種不同排法？⑷如果兩端不能都排女生，有多少種不同排法？A66

A33

=4320A55A63=14400A52A66=14400A52A66+2A31A51A66=36000或A88-A32

A66=36000第36頁/共63頁第三十六頁，共64頁。練習：某小組7人排隊照相，以下各有幾種不同的排法？1）若排成兩排，前排3人，后排4人；2）若排成兩排，前排3人，后排4人，甲必排在前排，乙必排在后排；3）甲不在左端，乙不在右端；4）甲乙不相鄰；5）甲、乙、丙均不相鄰；6）甲乙必須間隔2人；第37頁/共63頁第三十七頁，共64頁。小結：1．對有約束條件的排列問題，應注意如下類型：①某些元素不能在或必須排列在某一位置；②某些元素要求連排（即必須相鄰）；③某些元素要求分離（即不能相鄰）；④某些元素要求順序一定；2．基本的解題方法：（１）有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)先法）；特殊元素,特殊位置優(yōu)先安排策略第38頁/共63頁第三十八頁，共64頁。（２）某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些元素看作一個元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內部排列，這種方法稱為“捆綁法”；相鄰問題捆綁處理的策略（３）某些元素不相鄰排列時，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空法”；不相鄰問題插空處理的策略（4）某些元素順序一定時，可以用總排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)，這種方法稱為“倍除法”；定序問題倍除處理的策略第39頁/共63頁第三十九頁，共64頁。綜合應用：第40頁/共63頁第四十頁，共64頁。第41頁/共63頁第四十一頁，共64頁。練）課本P27頁4、5、6、7；第42頁/共63頁第四十二頁，共64頁。第43頁/共63頁第四十三頁，共64頁。簡答：第44頁/共63頁第四十四頁，共64頁。第45頁/共63頁第四十五頁，共64頁。思：某排共有10個座位,若4人就坐,每人左右兩邊都有空位,那么不同做法有多少種?分析：4人選位A（44）=24,然后4人旁邊插空需5個空位,

剩余的1個任意放在這5個空中的一個即5種，共24*5=120。另析：兩端的座位要空著，中間4個位包括兩端共有5個空，4人插入5空中，共A（54）=120。第46頁/共63頁第四十六頁，共64頁。1：有4個男生和3個女生排成一排，按下列要求各有多少種不同排法：（3）甲、乙兩同學必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾？

（4）若甲、乙兩名女生相鄰，且不與第三名女生相鄰？（1）7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端？（2）7位同學站成一排，甲、乙不能站在兩端？（5）甲、乙、丙3名同學必須相鄰，而且要求乙、丙分別站在甲的兩邊？討論：第47頁/共63頁第四十七頁，共64頁。3、1）因為a不等于0，先確定a，有A(4,1)=4；

然后從剩下4個數(shù)中選2個，有A(4,2)=4×3=12

，

故可以組成4×12=48個不同的一元二次方程。

2）

(1)c=0時，方程總有解，A(4,2)=4×3=12；

(2)c不等于0，b=0時，方程總無解；

(3)a，b，c均不為0時，滿足b^2-4*a*c大于等于0，才有解,

只有：5^2-4*1*3，5^2-4*3*1，7^2-4*1*3，~7^2-4*1*5，~

共6種可能，所以有實數(shù)解的方程有12+6=18個

變式：只有當直線是Y=-AX/B才有18條，分別是A=0,或B=0時2條，其余的即A、B取非0數(shù)時Y=-AX/B;共4*5=20種組合。由于1/2=3/6;1/3=2/6;2/1=6/3;3/1=6/2。減去重復的四種，答案：2+20-4=18。

第48頁/共63頁第四十八頁，共64頁。一、無限制條件的排列問題1.從5種不同的蔬菜種子中選3種分別種在3塊不同土質的土地上，共有多少種不同的種法？分析：把5個種子分別標上1,2,3,4,5,用123表示種子1種在第1塊土地上，種子2種在第2塊土地上，種子3種在第3塊土地上，因此3個數(shù)的一個排列就是一種種植方法，從5個不同數(shù)中取出3個數(shù)的一個排列就是一種種植方法，多少個排列就有多少種種法。第49頁/共63頁第四十九頁，共64頁。2.公共汽車上有4位乘客，其中任何兩個人都不在同一車站下車，汽車沿途停靠6個站，那么這4位乘客不同的下車方法有多少種？分析：６個車站分別標上1,2,3,4,5,6,如1246表示第一位乘客在1號站下，第二位乘客在2號站下，第三位乘客在4號站下，第四位乘客在6號車站下，不同的排列表示不同的下法，有多少個不同的排列就有多少種不同的下法，共有A46=6·5·4·3=360第50頁/共63頁第五十頁，共64頁。

5.某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號,每次可以任掛1面,2面或3面,并且不同的順序表示不同的信號,一共可以表示多少種不同的信號？第51頁/共63頁第五十一頁，共64頁。例2.用0,1,2,3,4,5可組成多少個無重復數(shù)字的1)五位數(shù)2)六位偶數(shù)3)大于213045的自然數(shù)1)解1.位置分析法：首位是特殊位置，0不能排，有5種排法，，其余4個位置有A45種排法，由乘法原理知共有5·

A45=5·5·4·3·2=600第52頁/共63頁第五十二頁，共64頁。解2.（間接法）6個數(shù)中取5個數(shù)的排列中有不滿足要求的數(shù)如02134等，0這樣的數(shù)共有A56-A45=6002)可分為兩類，第一類是個位為0的有A55個，第二類個位不是0,個位有兩種排法，首位有4種排法，中間四位有A44種排法，第二類共有2·4·A44=192,由加法原理共有A55+192=312第53頁/共63頁第五十三頁，共64頁。形如2134,2135的數(shù)有A12·A22形如21054有一個因此滿足要求的數(shù)共有449個3)形如3,4,5,這樣的數(shù)都是滿足條件的數(shù)共有A13·A55

形如23，24，25這樣的數(shù)都是滿足條件的數(shù)共有A13·A44形如214,215這樣的數(shù)都是滿足條件的數(shù)共有A12·A33第54頁/共63頁第五十四頁，共64頁。解：連續(xù)命中的3槍和命中的另一槍被未命中的4槍所隔開，如圖表示沒有命中，_____命中的三槍看作一個元素和另外命中的一槍共兩個元素插到五個空檔中有A25=5·4=20種排法2.某人射擊8槍，命中4槍，4槍命種恰好3槍連在一起的不同種數(shù)有多少？第55頁/共63頁第五十五頁，共64頁。

3.一排8個座位，3人去坐，每人兩邊至少有一個空座的坐法有多少種？4、一排長椅上共有10個座位，現(xiàn)有4人就座，恰有五個連續(xù)空位的坐法種數(shù)為

。（用數(shù)字作答）480第56頁/共63頁第五十六頁，共64頁。解法二：可以畫一個樹狀圖，知滿足要求的拿法有9種（四)其他問題同室4名學生各寫一張賀卡，放在一起，然后各人從中各拿一張，但均不能拿自己寫的那張，共有多少種拿法？解法一：第一步第一個同學從中拿一張賀卡，滿足要求的拿法有3種，第二步考慮被第一個同學拿走賀卡的那個同學也有3種拿法，第三步、第四步各有一種拿法，由乘法原理共有3·3·1·1=9第57頁/共63頁第五十七頁，共64頁。1.四位男生、三位女生排隊照相，根據(jù)下列要求，各有多少不同的排法①七個人排一列，三個女生任何兩個都不能相鄰排在一起②七個人排一列，四個男生必須連排在一起③男女生相間排列鞏固練習第58頁/共63頁第五十八頁，共64頁。

③男女男女男女男共有A44A35=144①插空法：先排四個男生共有A44種排法_X_X_X_X_

在五個空擋中選出三個空檔插進去三個女生有A35種排法由乘法原理解共有A44A35=1440②捆綁法：四個男生看作一個元素和三個女生共四個元素有A44種排法,四個男生全排列有A44種排法由乘法原理共有A44A44=576第59頁/共63頁第五十九頁，共64頁。2.7人排成一排，