學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式cos（α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，（C(α－β））cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，(C(α＋β))sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ，(S(α－β））sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，(S(α＋β）)tan（α－β）＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)，（T（α－β))tan（α＋β)＝eq\f（tanα＋tanβ，1－tanαtanβ)。（T（α＋β））2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f（2tanα，1－tan2α）.【知識拓展】1．降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α，2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2）。2．升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α。3．輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin（x＋φ）,其中sinφ＝eq\f(b，\r(a2＋b2)），cosφ＝eq\f(a，\r(a2＋b2)）。【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊?）(1）存在實(shí)數(shù)α，β,使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．（√）(2）在銳角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不確定．（×）(3)若α＋β＝45°，則tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ。（√)(4）對任意角α都有1＋sinα＝(sineq\f(α,2)＋coseq\f（α，2)）2。（√)(5）y＝3sinx＋4cosx的最大值是7。（×）(6)在非直角三角形中，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC．（√)1．(教材改編)sin18°cos27°＋cos18°sin27°的值是（）A.eq\f（\r(2)，2） B。eq\f（1，2)C。eq\f(\r（3),2） D．－eq\f(\r(2），2）答案A解析sin18°cos27°＋cos18°sin27°＝sin(18°＋27°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).2．化簡eq\f（cos40°,cos25°\r（1－sin40°))等于（)A．1B.eq\r（3)C.eq\r(2)D．2答案C解析原式＝eq\f（cos40°,cos25°\r(1－cos50°)）＝eq\f(cos40°,cos25°·\r(2)sin25°)＝eq\f(cos40°,\f（\r(2)，2)sin50°）＝eq\r（2）.3．若eq\f(sinα＋cosα，sinα－cosα）＝eq\f（1，2），則tan2α等于（）A．－eq\f（3，4)B。eq\f（3，4)C．－eq\f(4，3)D.eq\f（4，3)答案B解析由eq\f（sinα＋cosα，sinα－cosα）＝eq\f(1,2），等式左邊分子、分母同除cosα，得eq\f(tanα＋1，tanα－1)＝eq\f（1，2)，解得tanα＝－3，則tan2α＝eq\f（2tanα,1－tan2α）＝eq\f(3,4)。4．tan20°＋tan40°＋eq\r（3)tan20°tan40°＝.答案eq\r（3)解析∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝eq\f(tan20°＋tan40°,1－tan20°tan40°)，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°）＝eq\r（3）－eq\r（3)tan20°tan40°，∴原式＝eq\r(3）－eq\r(3)tan20°tan40°＋eq\r（3）tan20°tan40°＝eq\r(3）.5．(2016·浙江）已知2cos2x＋sin2x＝Asin（ωx＋φ)＋b（A＞0)，則A＝,b＝。答案eq\r(2)1解析∵2cos2x＋sin2x＝cos2x＋1＋sin2x＝eq\r（2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（2)，2)cos2x＋\f(\r(2),2)sin2x)）＋1＝eq\r(2）sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，4)))＋1＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0)，∴A＝eq\r（2），b＝1.第1課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式題型一和差公式的直接應(yīng)用例1(1)(2016·廣州模擬)已知sinα＝eq\f(3，5），α∈（eq\f(π,2)，π）,則eq\f(cos2α，\r（2）sinα＋\f(π，4）)＝。(2）在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，則cosC的值為()A．－eq\f（\r(2），2) B。eq\f（\r（2）,2）C.eq\f（1，2) D．－eq\f(1,2)答案（1)－eq\f(7,5）（2）B解析(1）eq\f（cos2α，\r(2）sinα＋\f（π，4)）＝eq\f(cos2α－sin2α,\r(2)\f(\r(2），2）sinα＋\f（\r（2),2）cosα)＝cosα－sinα,∵sinα＝eq\f（3，5）,α∈(eq\f（π,2），π），∴cosα＝－eq\f(4，5），∴原式＝－eq\f（7，5）。(2）由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得eq\f（tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－1，即tan（A＋B)＝－1,又A＋B∈（0，π)，所以A＋B＝eq\f（3π，4)，則C＝eq\f（π,4），cosC＝eq\f(\r(2)，2)。思維升華（1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式,首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征．（2）使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值．（1）（2016·全國丙卷)若tanα＝eq\f（3，4)，則cos2α＋2sin2α等于()A。eq\f（64，25）B.eq\f(48，25）C．1D。eq\f(16，25)（2）計(jì)算eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值為（)A．－eq\f（1,2） B。eq\f(1,2）C。eq\f(\r（3）,2) D．－eq\f(\r(3），2)答案(1）A(2)B解析（1）tanα＝eq\f（3，4)，則cos2α＋2sin2α＝eq\f(cos2α＋2sin2α，cos2α＋sin2α)＝eq\f(1＋4tanα,1＋tan2α)＝eq\f（64,25）.(2)eq\f(sin110°sin20°，cos2155°－sin2155°)＝eq\f（sin70°sin20°,cos310°)＝eq\f(cos20°sin20°，cos50°）＝eq\f（\f(1，2）sin40°，sin40°)＝eq\f(1，2)。題型二和差公式的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1角的變換例2(1)設(shè)α、β都是銳角，且cosα＝eq\f（\r（5),5），sin（α＋β）＝eq\f（3,5)，則cosβ等于（）A。eq\f（2\r（5）,25) B.eq\f(2\r(5）,5）C.eq\f（2\r（5），25）或eq\f(2\r（5)，5) D.eq\f(\r（5)，5)或eq\f（\r(5）,25)（2)已知cos（α－eq\f（π，6）)＋sinα＝eq\f(4，5）eq\r(3）,則sin(α＋eq\f（7π,6)）的值是．答案(1)A(2）－eq\f(4,5)解析（1)依題意得sinα＝eq\r（1－cos2α)＝eq\f（2\r(5)，5）,cos(α＋β）＝±eq\r(1－sin2α＋β)＝±eq\f（4,5）。又α，β均為銳角,所以0<α<α＋β〈π，cosα〉cos(α＋β)．因?yàn)閑q\f(4,5）〉eq\f（\r（5），5）〉－eq\f（4,5)，所以cos（α＋β）＝－eq\f（4，5）.于是cosβ＝cos［（α＋β)－α］＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝－eq\f(4，5）×eq\f(\r（5），5)＋eq\f（3,5)×eq\f(2\r（5)，5）＝eq\f(2\r(5），25）。(2)∵cos（α－eq\f(π，6）)＋sinα＝eq\f(4,5）eq\r（3)，∴eq\f（\r(3),2)cosα＋eq\f（3，2)sinα＝eq\f(4，5）eq\r(3)，eq\r(3）（eq\f（1，2)cosα＋eq\f（\r(3）,2)sinα）＝eq\f(4,5）eq\r(3)，eq\r(3）sin（eq\f(π,6)＋α）＝eq\f（4,5）eq\r(3），∴sin（eq\f(π,6）＋α）＝eq\f(4,5），∴sin(α＋eq\f（7π,6))＝－sin（eq\f（π,6）＋α)＝－eq\f（4，5）.思維升華(1)解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．①當(dāng)“已知角”有兩個時(shí),“所求角"一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；②當(dāng)“已知角"有一個時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角"的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．（2）常見的配角技巧：2α＝(α＋β）＋（α－β)，α＝(α＋β）－β，β＝eq\f(α＋β，2)－eq\f(α－β，2），α＝eq\f(α＋β,2）＋eq\f(α－β,2）,eq\f（α－β,2)＝（α＋eq\f(β,2))－(eq\f(α，2)＋β)等．命題點(diǎn)2三角函數(shù)式的變形例3（1)化簡：eq\f(1＋sinθ＋cosθsin\f（θ，2)－cos\f（θ,2）,\r(2＋2cosθ)）（0<θ〈π）；(2)求值：eq\f(1＋cos20°，2sin20°）－sin10°(eq\f（1，tan5°)－tan5°)．解(1)由θ∈(0，π），得0<eq\f（θ，2）<eq\f(π,2)，∴coseq\f（θ，2)>0,∴eq\r（2＋2cosθ）＝eq\r（4cos2\f（θ，2））＝2coseq\f（θ,2)。又（1＋sinθ＋cosθ)(sineq\f（θ,2)－coseq\f（θ,2））＝（2sineq\f（θ，2)coseq\f（θ，2)＋2cos2eq\f（θ,2））（sineq\f(θ，2)－coseq\f(θ,2)）＝2coseq\f(θ,2）(sin2eq\f(θ,2)－cos2eq\f(θ,2）)＝－2coseq\f(θ，2）cosθ。故原式＝eq\f(－2cos\f(θ,2)cosθ,2cos\f（θ,2））＝－cosθ.（2)原式＝eq\f（2cos210°，2×2sin10°cos10°）－sin10°（eq\f（cos5°,sin5°）－eq\f(sin5°，cos5°））＝eq\f(cos10°,2sin10°）－sin10°·eq\f（cos25°－sin25°,sin5°cos5°)＝eq\f（cos10°，2sin10°)－sin10°·eq\f(cos10°，\f（1,2)sin10°）＝eq\f(cos10°，2sin10°)－2cos10°＝eq\f(cos10°－2sin20°,2sin10°)＝eq\f（cos10°－2sin30°－10°，2sin10°)＝eq\f（cos10°－2\f（1，2)cos10°－\f（\r（3),2)sin10°，2sin10°）＝eq\f（\r（3)sin10°,2sin10°）＝eq\f(\r（3），2）。引申探究化簡：eq\f(1＋sinθ－cosθsin\f（θ,2）－cos\f（θ,2),\r(2－2cosθ））（0〈θ〈π）．解∵0〈eq\f（θ，2)〈eq\f（π，2),∴eq\r(2－2cosθ）＝2sineq\f（θ,2）,又1＋sinθ－cosθ＝2sineq\f（θ,2)coseq\f(θ，2）＋2sin2eq\f（θ，2)＝2sineq\f（θ,2）(sineq\f（θ,2）＋coseq\f(θ，2））∴原式＝eq\f（2sin\f（θ,2)sin\f(θ,2）＋cos\f（θ,2)sin\f（θ，2）－cos\f(θ，2）,2sin\f（θ，2))＝－cosθ.(1）(2016·宿州模擬）若sin(eq\f(π，4)＋α)＝eq\f(1，3)，則cos（eq\f（π,2)－2α)等于(）A。eq\f（4\r(2），9) B．－eq\f(4\r(2)，9)C。eq\f(7，9） D．－eq\f（7，9）（2)（2016·青島模擬）化簡（tanα＋eq\f(1，tanα））·eq\f(1，2）sin2α－2cos2α等于（)A．cos2α B．sin2αC．cos2α D．－cos2α（3）計(jì)算：sin50°(1＋eq\r(3)tan10°)＝.答案(1）D（2)D（3)1解析(1)∵sin（eq\f(π，4）＋α)＝eq\f（1,3），∴cos(eq\f（π,4)－α)＝eq\f（1,3),∴cos(eq\f（π,2)－2α）＝cos2(eq\f(π，4）－α）＝2×eq\f(1,9)－1＝－eq\f（7，9）。（2）原式＝eq\f（1，sinαcosα）·eq\f（1，2)sin2α－2cos2α＝1－2cos2α＝－cos2α。（3）sin50°(1＋eq\r(3)tan10°）＝sin50°(1＋eq\r（3)eq\f(sin10°,cos10°）)＝sin50°×eq\f(cos10°＋\r（3)sin10°，cos10°）＝sin50°×eq\f(2\f（1，2）cos10°＋\f（\r（3），2）sin10°，cos10°)＝eq\f（2sin50°cos50°，cos10°)＝eq\f（sin100°,cos10°)＝eq\f（cos10°，cos10°)＝1.8．利用聯(lián)系的觀點(diǎn)進(jìn)行角的變換典例（1）設(shè)α為銳角，若cos(α＋eq\f（π，6）)＝eq\f（4，5），則sin（2α＋eq\f(π,12)）的值為．（2）若tanα＝2taneq\f(π,5),則eq\f（cosα－\f(3π,10）,sinα－\f（π,5)）等于（）A．1B．2C．3D．4思想方法指導(dǎo)三角變換的關(guān)鍵是找出條件中的角與結(jié)論中的角的聯(lián)系，通過適當(dāng)?shù)夭鸾恰惤莵砝盟o條件．常見的變角技巧有eq\f（α＋β,2)＝（α－eq\f(β,2))－(eq\f(α,2）－β)；α＝(α－β）＋β；α＋eq\f（π，12)＝(α＋eq\f(π,3))－eq\f(π，4）；15°＝45°－30°等．解析(1)∵α為銳角且cos(α＋eq\f(π,6)）＝eq\f（4，5)>0，∴α＋eq\f(π，6）∈（eq\f(π,6），eq\f(π,2))，∴sin(α＋eq\f(π,6)）＝eq\f（3,5）.∴sin（2α＋eq\f（π，12)）＝sin[2(α＋eq\f（π，6）)－eq\f(π，4)］＝sin2(α＋eq\f（π,6)）coseq\f（π,4）－cos2（α＋eq\f（π，6）)sineq\f(π,4)＝eq\r(2）sin（α＋eq\f(π，6))cos（α＋eq\f（π,6））－eq\f(\r（2)，2）［2cos2(α＋eq\f（π,6）)－1］＝eq\r(2)×eq\f(3，5）×eq\f（4，5)－eq\f（\r（2)，2)[2×（eq\f（4，5））2－1］＝eq\f(12\r（2)，25）－eq\f（7\r（2）,50)＝eq\f(17\r(2),50)。（2）eq\f（cosα－\f(3π,10)，sinα－\f（π,5))＝eq\f（sinα－\f(3π，10）＋\f(π，2)，sinα－\f（π,5）)＝eq\f（sinα＋\f（π，5),sinα－\f（π,5）)＝eq\f(sinαcos\f(π，5)＋cosαsin\f（π，5），sinαcos\f(π,5)－cosαsin\f（π，5））＝eq\f（\f（sinα,cosα)cos\f（π，5)＋sin\f(π，5），\f(sinα,cosα）cos\f(π，5)－sin\f（π,5)）＝eq\f(2·\f(sin\f（π,5）,cos\f(π，5))cos\f(π,5)＋sin\f（π，5)，2·\f（sin\f(π，5），cos\f（π，5))cos\f（π，5）－sin\f(π，5))＝eq\f（3sin\f（π,5)，sin\f(π,5）)＝3，故選C.答案（1)eq\f（17\r（2）,50)（2）C1．(2015·課標(biāo)全國Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°等于（）A．－eq\f（\r（3),2)B。eq\f（\r(3)，2)C．－eq\f（1,2）D。eq\f(1,2）答案D解析sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin（20°＋10°）＝sin30°＝eq\f（1，2）。2．（2016·全國甲卷)若coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,4）－α）)＝eq\f（3，5），則sin2α等于（)A.eq\f(7,25）B.eq\f（1，5）C．－eq\f(1,5)D．－eq\f（7，25)答案D解析因?yàn)閟in2α＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α））＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,4)－α））－1,又因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，4)－α))＝eq\f(3,5），所以sin2α＝2×eq\f(9,25)－1＝－eq\f(7，25），故選D。3．已知sin2α＝eq\f（2，3），則cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π，4)））等于（)A.eq\f（1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2） D。eq\f(2,3）答案A解析因?yàn)閏os2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（α＋\f(π，4））)＝eq\f（1＋cos2\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，4)))，2)＝eq\f(1＋cos\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f（π，2））），2)＝eq\f（1－sin2α，2），所以cos2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α＋\f（π,4）)）＝eq\f（1－sin2α,2）＝eq\f（1－\f（2,3),2)＝eq\f(1,6），故選A。4．(2016·東北三省三校聯(lián)考)已知sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，則sin2（eq\f（π,4）－α)等于（）A.eq\f（1，18) B.eq\f（17，18）C.eq\f(8,9） D。eq\f（\r（2)，9)答案B解析由sinα＋cosα＝eq\f（1,3），兩邊平方得1＋sin2α＝eq\f(1，9),解得sin2α＝－eq\f（8,9）,所以sin2(eq\f(π，4）－α)＝eq\f(1－cos\f（π，2）－2α，2)＝eq\f（1－sin2α,2）＝eq\f(1＋\f(8,9）,2）＝eq\f（17,18）.5。eq\f（2cos10°－sin20°，sin70°)的值是()A。eq\f（1,2） B.eq\f(\r(3）,2)C.eq\r（3） D。eq\r(2）答案C解析原式＝eq\f(2cos30°－20°－sin20°,sin70°)＝eq\f（2cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(\r(3)cos20°，cos20°）＝eq\r(3）。6．(2016·江西九校聯(lián)考）已知銳角α，β滿足sinα－cosα＝eq\f（1,6)，tanα＋tanβ＋eq\r（3)tanαtanβ＝eq\r（3）,則α，β的大小關(guān)系是()A．α<eq\f(π，4)〈β B．β<eq\f(π,4)〈αC.eq\f（π，4）<α〈β D。eq\f(π,4）〈β〈α答案B解析∵α為銳角,sinα－cosα＝eq\f（1，6)〉0,∴α>eq\f(π，4).又tanα＋tanβ＋eq\r（3)tanαtanβ＝eq\r(3)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ，1－tanαtanβ)＝eq\r（3），∴α＋β＝eq\f（π,3），又α〉eq\f(π，4),∴β<eq\f（π,4）〈α。7．化簡eq\f(2tan45°－α，1－tan245°－α）·eq\f（sinαcosα，cos2α－sin2α）＝.答案eq\f（1，2）解析原式＝tan(90°－2α）·eq\f（\f（1，2)sin2α,cos2α)＝eq\f(sin90°－2α,cos90°－2α）·eq\f(1,2）·eq\f（sin2α,cos2α)＝eq\f(cos2α,sin2α）·eq\f(1，2)·eq\f（sin2α，cos2α）＝eq\f（1,2）.8．已知tan(eq\f(π，4）＋θ)＝3,則sin2θ－2cos2θ的值為．答案－eq\f(4,5）解析∵tan(eq\f（π,4)＋θ）＝3，∴eq\f（1＋tanθ,1－tanθ)＝3,解得tanθ＝eq\f（1，2）.∵sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2θ－1＝eq\f(2sinθcosθ，sin2θ＋cos2θ）－eq\f(cos2θ－sin2θ,sin2θ＋cos2θ)－1＝eq\f(2tanθ,1＋tan2θ)－eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ）－1＝eq\f（4，5)－eq\f（3,5）－1＝－eq\f（4，5)。9．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α）sinα＝eq\f(3,5），β是第三象限角，則sin（β＋eq\f（5π，4)）＝.答案eq\f(7\r(2),10)解析依題意可將已知條件變形為sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝eq\f（3,5)，sinβ＝－eq\f(3,5）.又β是第三象限角，因此有cosβ＝－eq\f(4，5）。sin(β＋eq\f(5π,4））＝－sin（β＋eq\f(π,4）)＝－sinβcoseq\f（π,4）－cosβsineq\f(π,4)＝eq\f（7\r（2），10).＊10。（2016·寶雞模擬）已知cos（eq\f（π，4）＋θ）cos(eq\f(π，4)－θ）＝eq\f（1,4)，則sin4θ＋cos4θ的值為．答案eq\f(5，8）解析因?yàn)閏os（eq\f(π，4)＋θ)cos（eq\f(π，4)－θ）＝（eq\f(\r(2），2）cosθ－eq\f(\r（2),2）sinθ)(eq\f(\r(2）,2）cosθ＋eq\f（\r(2）,2)sinθ)＝eq\f(1，2)(cos2θ－sin2θ)＝eq\f（1,2)cos2θ＝eq\f（1，4).所以cos2θ＝eq\f（1，2）。故sin4θ＋cos4θ＝(eq\f(1－cos2θ，2）)2＋（eq\f（1＋cos2θ，2))2＝eq\f（1，16）＋eq\f(9,16)＝eq\f（5,8）。11．已知α∈(0，eq\f(π，2）)，tanα＝eq\f（1,2），求tan2α和sin（2α＋eq\f(π，3））的值．解∵tanα＝eq\f(1,2），∴tan2α＝eq\f（2tanα,1－tan2α）＝eq\f（2×\f(1,2）,1－\f(1,4））＝eq\f(4，3)，且eq\f（sinα,cosα)＝eq\f（1，2),即cosα＝2sinα，又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，而α∈(0，eq\f（π，2))，∴sinα＝eq\f(\r（5）,5)，cosα＝eq\f（2\r(5），5）.∴sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r（5），5)×eq\f（2\r（5)，5)＝eq\f(4，5)，cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(4,5)－eq\f（1,5)＝eq\f（3，5)，∴sin（2α＋eq\f（π，3）)＝sin2αcoseq\f(π,3)＋cos2αsineq\f（π,3）＝eq\f（4，5）×eq\f（1，2）＋eq\f（3，5)×eq\f(\r(3)，2)＝eq\f(4＋3\r（3),10).12．已知α∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,2)，π))，且sineq\f(α，2)＋coseq\f（α,2)＝eq\f(\r（6），2).(1）求cosα的值；（2）若sin(α－β)＝－eq\f（3，5)