學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精1．多面體的表面積、側面積因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和．2．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側＝2πrlS圓錐側＝πrlS圓臺側＝π（r1＋r2)l3.柱、錐、臺和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱）S表面積＝S側＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側＋S底V＝eq\f(1,3）Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)（S上＋S下＋eq\r（S上S下））h球S＝4πR2V＝eq\f（4,3）πR3【知識拓展】1．與體積有關的幾個結論(1）一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等．2．幾個與球有關的切、接常用結論(1）正方體的棱長為a，球的半徑為R,①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r（3）a;②若球為正方體的內切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切,則2R＝eq\r(2）a.（2）若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R,則2R＝eq\r（a2＋b2＋c2)。(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1.【思考辨析】判斷下列結論是否正確（請在括號中打“√”或“×”)(1）多面體的表面積等于各個面的面積之和．(√)（2)錐體的體積等于底面積與高之積．（×）(3）球的體積之比等于半徑比的平方．（×)（4）簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差．（√）(5)長方體既有外接球又有內切球．(×）(6)圓柱的一個底面積為S,側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是2πS.（×）1．（教材改編）已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(）A．1cm B．2cmC．3cm D。eq\f(3，2)cm答案B解析S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π,∴r2＝4，∴r＝2cm.2．某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的表面積是（)A．90cm2 B．129cm2C．132cm2 D．138cm2答案D解析該幾何體如圖所示，長方體的長，寬，高分別為6cm，4cm,3cm,直三棱柱的底面是直角三角形,邊長分別為3cm,4cm，5cm,所以表面積S＝［2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋（5×3＋4×3＋2×eq\f(1,2）×4×3)＝99＋39＝138（cm2)．3．（2016·全國甲卷)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為(）A．12π B。eq\f(32,3)πC．8π D．4π答案A解析由題意可知正方體的棱長為2，其體對角線2eq\r(3)即為球的直徑，所以球的表面積為4πR2＝(2R)2π＝12π，故選A.4．《九章算術》商功章有題：一圓柱形谷倉，高1丈3尺3eq\f(1,3）寸，容納米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸,斛為容積單位，1斛≈1。62立方尺，π≈3），則圓柱底面圓周長約為(）A．1丈3尺 B．5丈4尺C．9丈2尺 D．48丈6尺答案B解析設圓柱底面半徑為r尺，高為h尺,依題意,圓柱體積為V＝πr2h＝2000×1。62≈3×r2×13。33,所以r2≈81,即r≈9，所以圓柱底面圓周長為2πr≈54,54尺＝5丈4尺,即圓柱底面圓周長約為5丈4尺，故選B.5．(2016·成都一診)如圖為一個半球挖去一個圓錐后的幾何體的三視圖，則剩余部分與挖去部分的體積之比為________．答案1∶1解析由三視圖可知半球的半徑為2，圓錐底面圓的半徑為2,高為2，所以V圓錐＝eq\f（1,3)×π×23＝eq\f(8,3）π,V半球＝eq\f(1,2)×eq\f（4,3)π×23＝eq\f（16，3）π，所以V剩余＝V半球－V圓錐＝eq\f（8,3）π,故剩余部分與挖去部分的體積之比為1∶1.題型一求空間幾何體的表面積例1（1）(2017·淮北月考)一個多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的表面積為（)A．21＋eq\r（3) B．18＋eq\r（3）C．21 D．18（2)一個六棱錐的體積為2eq\r(3），其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等,則該六棱錐的側面積為________．答案(1）A(2）12解析(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示,因此該幾何體的表面積為6×（4－eq\f（1,2））＋2×eq\f（\r(3),4)×（eq\r（2））2＝21＋eq\r(3）.故選A。（2)設正六棱錐的高為h，側面的斜高為h′.由題意,得eq\f(1,3)×6×eq\f(1，2)×2×eq\r(3）×h＝2eq\r（3），∴h＝1，∴斜高h′＝eq\r（12＋\r（3）2）＝2，∴S側＝6×eq\f(1，2）×2×2＝12。思維升華空間幾何體表面積的求法（1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數量．(2）多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(3）旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用．（2016·大連模擬）如圖所示的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為________．答案26解析該幾何體為一個長方體從正上方挖去一個半圓柱剩下的部分，長方體的長，寬，高分別為4,1,2，挖去半圓柱的底面半徑為1，高為1，所以表面積為S＝S長方體表－2S半圓柱底－S圓柱軸截面＋S半圓柱側＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋eq\f（1,2)×2π×1＝26.題型二求空間幾何體的體積命題點1求以三視圖為背景的幾何體的體積例2(2016·山東)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(）A。eq\f（1，3）＋eq\f（2，3）π B。eq\f(1,3)＋eq\f(\r（2),3)πC.eq\f（1，3)＋eq\f(\r（2）,6)π D．1＋eq\f（\r（2），6）π答案C解析由三視圖知,半球的半徑R＝eq\f(\r(2),2），四棱錐為正四棱錐，它的底面邊長為1，高為1，∴V＝eq\f（1,3）×1×1×1＋eq\f（1，2）×eq\f（4，3)π×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r（2)，2)）)3＝eq\f(1，3）＋eq\f(\r(2）,6）π,故選C。命題點2求簡單幾何體的體積例3(2015·江蘇）現有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________．答案eq\r（7)解析設新的底面半徑為r，由題意得eq\f(1,3）πr2·4＋πr2·8＝eq\f(1,3）π×52×4＋π×22×8,解得r＝eq\r(7）.思維升華空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1）若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體,則可直接利用公式進行求解．(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解．(3）若以三視圖的形式給出幾何體,則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖,然后根據條件求解．(1）（2016·四川）已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形,該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．(2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為(）A。eq\f(\r（2）,3）B。eq\f（\r(3)，3)C.eq\f（4，3）D.eq\f(3,2)答案（1)eq\f（\r(3）,3）（2）A解析(1）由題意可知，因為三棱錐每個面都是腰為2的等腰三角形，由正視圖可得俯視圖(如圖），且三棱錐高為h＝1，則體積V＝eq\f（1,3）Sh＝eq\f（1，3)×（eq\f(1,2)×2eq\r(3）×1)×1＝eq\f(\r(3），3）。（2）如圖，分別過點A，B作EF的垂線,垂足分別為G,H，連接DG，CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1，2），AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r（3），2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1，2)×eq\f（\r（2）,2）×1＝eq\f（\r（2）,4），∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq\f（1,3）×eq\f(\r（2)，4）×eq\f(1，2)×2＋eq\f(\r（2),4)×1＝eq\f（\r(2)，3).故選A.題型三與球有關的切、接問題例4已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為（)A.eq\f(3\r(17）,2) B．2eq\r（10）C。eq\f（13，2） D．3eq\r(10)答案C解析如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.又AM＝eq\f(1，2）BC＝eq\f(5，2），OM＝eq\f（1，2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r（\f(5,2）2＋62）＝eq\f（13,2)。引申探究1．已知棱長為4的正方體，則此正方體外接球和內切球的體積各是多少？解由題意可知,此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑,正方體的棱長即為其內切球的直徑．設該正方體外接球的半徑為R，內切球的半徑為r.又正方體的棱長為4，故其體對角線長為4eq\r(3)，從而V外接球＝eq\f(4，3）πR3＝eq\f(4，3）π×(2eq\r（3))3＝32eq\r(3）π，V內切球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f（4,3）π×23＝eq\f(32π，3)。2．已知棱長為a的正四面體，則此正四面體的表面積S1與其內切球的表面積S2的比值為多少？解正四面體的表面積為S1＝4·eq\f（\r(3）,4)·a2＝eq\r(3)a2，其內切球半徑r為正四面體高的eq\f(1，4)，即r＝eq\f(1，4）·eq\f(\r（6)，3）a＝eq\f（\r(6)，12）a，因此內切球表面積為S2＝4πr2＝eq\f（πa2,6),則eq\f（S1，S2）＝eq\f(\r(3）a2，\f（πa2，6)）＝eq\f(6\r（3)，π）.3．已知側棱和底面邊長都是3eq\r（2)的正四棱錐，則其外接球的半徑是多少？解依題意得，該正四棱錐的底面對角線的長為3eq\r（2）×eq\r(2）＝6，高為eq\r（3\r(2）2－\f(1,2)×62)＝3,因此底面中心到各頂點的距離均等于3,所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3。思維升華空間幾何體與球接、切問題的求解方法（1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面,把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找幾何中元素間的關系求解．（2)若球面上四點P，A，B,C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形"成為一個球內接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．（2016·全國丙卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是（)A．4πB.eq\f(9π,2）C．6πD.eq\f（32π,3)答案B解析由題意知，底面三角形的內切圓直徑為4.三棱柱的高為3，所以球的最大直徑為3,V的最大值為eq\f(9π，2）。15．巧用補形法解決立體幾何問題典例（2016·青島模擬）如圖,在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，則此幾何體的體積為________．思想方法指導解答本題時可用“補形法”完成．“補形法”是立體幾何中一種常見的重要方法，在解題時,把幾何體通過“補形”補成一個完整的幾何體或置于一個更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積等問題,常見的補形法有對稱補形、聯系補形與還原補形,對于還原補形，主要涉及臺體中“還臺為錐"，將不規則的幾何體補成規則的幾何體等．解析用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V幾何體＝eq\f(1，2)V三棱柱＝eq\f(1，2)×S△ABC×AA′＝eq\f(1，2）×24×8＝96.答案961．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(）A．4＋eq\f(π,2）B．4＋eq\f（3π，2)C．4＋eq\f(5π,2)D．4＋π答案C解析由題意可知，幾何體的體積為圓柱的體積加長方體的體積再減去與長方體等高的圓柱的體積的eq\f(1,2)，即π·12·3＋2·2·1－eq\f(1,2)π·12·1＝4＋eq\f（5π,2）.2．(2016·大同模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，且其側視圖是一個等邊三角形，則這個幾何體的體積為（）A.eq\f（4＋π\r（3),3) B。eq\f（8＋π\r(3),6）C.eq\f（8＋π\r（3)，3) D．（4＋π)eq\r（3）答案B解析由三視圖可知該幾何體是由一個半圓錐和一個四棱錐組成的，其中半圓錐的底面半徑為1,四棱錐的底面是一個邊長為2的正方形，它們的高均為eq\r(3)。則V＝eq\f（1，3）·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）π＋4）)·eq\r（3）＝eq\f（8＋π\r(3）,6）.故選B.3．(2015·山東）在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π，2）,AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A。eq\f（2π，3)B.eq\f（4π，3)C.eq\f(5π,3)D．2π答案C解析過點C作CE垂直AD所在直線于點E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉一周而形成的旋轉體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐,如圖所示,該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－eq\f（1，3）·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1，3)π×12×1＝eq\f（5π,3)，故選C。4．（2015·安微)一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（)A．1＋eq\r(3） B．2＋eq\r（3）C．1＋2eq\r(2) D．2eq\r（2）答案B解析由空間幾何體的三視圖可得該空間幾何體的直觀圖,如圖所示,∴該四面體的表面積為S表＝2×eq\f(1,2）×2×1＋2×eq\f(\r（3），4）×(eq\r(2）)2＝2＋eq\r(3),故選B.5．(2016·廣東東莞一中、松山湖學校聯考)某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（)A。eq\f（20，3）πB．6πC。eq\f(10，3)πD。eq\f（16,3)π答案C解析該幾何體是由半個圓柱和半個圓錐構成的組合體，所以V＝eq\f（1,2)×π×4×1＋eq\f(1，2)×eq\f(1，3）×π×4×2＝eq\f(10,3）π。故選C.6．(2016·福建三明一中第二次月考)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上,AB＝AC，側面BCC1B1是半球底面圓的內接正方形，則側面ABB1A1的面積為()A。eq\r(2)B.eq\f(\r(2),2)C．2D．1答案A解析由題意知，球心在正方形的中心上，球的半徑為1，則正方形的邊長為eq\r(2）。∵ABC—A1B1C1為直三棱柱,∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC為截面圓的直徑，∴∠BAC＝90°。∵AB＝AC，∴AB＝1.∴側面ABB1A1的面積為eq\r(2)×1＝eq\r（2）。故選A.7。如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為eq\r(3）,以頂點A為球心,2為半徑作一個球，則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和為________．答案eq\f（5，6)π解析由題意,圖中弧eq\x\to（EF）為過球心的平面與球面相交所得大圓的一段弧，因為∠A1AE＝∠BAF＝eq\f（π,6),所以∠EAF＝eq\f（π，6)，由弧長公式知弧eq\x\to(EF)的長為2×eq\f（π,6)＝eq\f（π,3)。弧eq\x\to（FG)為不過球心的平面與球面相交所得小圓的一段弧，其圓心為B,因為球心到平面BCC1B1的距離d＝eq\r（3)，球的半徑R＝2，所以小圓的半徑r＝eq\r（R2－d2）＝1，又∠GBF＝eq\f(π,2），所以弧eq\x\to(FG）的長為1×eq\f(π,2)＝eq\f(π，2).故兩段弧長之和為eq\f(5π，6）.8．(2016·新疆烏魯木齊地區二診)已知四面體ABCD滿足AB＝CD＝eq\r(6），AC＝AD＝BC＝BD＝2,則四面體ABCD的外接球的表面積是________．答案7π解析（圖略）在四面體ABCD中，取線段CD的中點為E，連接AE,BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2,∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝eq\r（6），∴AE＝eq\f（\r(10),2）。同理BE＝eq\f（\r（10），2)。取AB的中點為F,連接EF。由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝eq\f(1,2）AB＝eq\f(\r(6）,2)，AE＝eq\f(\r(10），2)，∴EF＝1。取EF的中點為O，連接OA,則OF＝eq\f（1，2）.在Rt△OFA中，OA＝eq\f(\r（7）,2).∵OA＝OB＝OC＝OD，∴該四面體的外接球的半徑是eq\f(\r（7）,2），∴外接球的表面積是7π。9。（2016·三門峽陜州中學對抗賽)如圖所示，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A,B的點，PO垂直于圓O所在的平面，且PO＝OB＝1.則三棱錐P－ABC體積的最大值為________．答案eq\f(1,3）解析VP－ABC＝eq\f（1，3)PO·S△ABC，當△ABC的面積最大時，三棱錐P－ABC體積達到最大值．當CO⊥AB時，△ABC的面積最大，最大值為eq\f（1，2）×2×1＝1，此時VP－ABC＝eq\f(1,3)PO·S△ABC＝eq\f（1，3)。10．(2016·浙江）如圖,在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°。若平面ABC外的點P和線段AC上的點D,滿足PD＝DA，PB＝BA，則四面體PBCD的體積的最大值是________．答案eq\f（1,2）解析設PD＝DA＝x，在△ABC中,AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2·AB·BC·cos∠ABC)＝eq\r（4＋4－2×2×2×cos120°)＝2eq\r（3)，∴CD＝2eq\r(3)－x，且∠ACB＝eq\f(1，2）(180°－120°）＝30°，∴S△BCD＝eq\f（1，2)BC·DC·sin∠ACB＝eq\f(1,2）×2×(2eq\r(3）－x)×eq\f(1，2）＝eq\f（1，2）（2eq\r(3）－x)．要使四面體體積最大，當且僅當點P到平面BCD的距離最大，而P到平面BCD的最大距離為x。則V四面體PBCD＝eq\f（1，3)×eq\f（1,2）（2eq\r（3）－x）x＝eq\f(1，6）［－(x－eq\r（3))2＋3］，由于0＜x＜2eq\r(3），故當x＝eq\r(3）時，V四面體PBCD的最大值為eq\f（1，6)×3＝eq\f(1,2).11．（2015·課標全國Ⅰ)如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD.(1)證明:平面AEC⊥平面BED;（2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐EACD的體積為eq\f(\r（6),3)，求該三棱錐的側面積．（1）證明因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD。因為BE⊥平面