2023年高考數學模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．2．已知函數在區間上恰有四個不同的零點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知復數為虛數單位），則z的虛部為（）A．2 B． C．4 D．4．復數（為虛數單位），則的共軛復數在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．已知函數，關于x的方程f（x）＝a存在四個不同實數根，則實數a的取值范圍是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）6．如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側棱垂直底面，.若分別是棱上的點，且，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．已知函數，若關于的方程恰好有3個不相等的實數根，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．8．若函數有且僅有一個零點，則實數的值為（）A． B． C． D．9．設，隨機變量的分布列是01則當在內增大時，（）A．減小，減小 B．減小，增大C．增大，減小 D．增大，增大10．函數的大致圖象為A． B．C． D．11．已知橢圓的焦點分別為，，其中焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓與拋物線的兩個交點連線正好過點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．12．在空間直角坐標系中，四面體各頂點坐標分別為：．假設螞蟻窩在點，一只螞蟻從點出發，需要在，上分別任意選擇一點留下信息，然后再返回點．那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數在區間內有且僅有兩個零點，則實數的取值范圍是_____.14．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖的的值__________．15．設，則除以的余數是______.16．已知點M是曲線y＝2lnx＋x2﹣3x上一動點，當曲線在M處的切線斜率取得最小值時，該切線的方程為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且.（1）求角A的大??；（2）若，的平分線與交于點D，與的外接圓交于點E（異于點A），，求的值.18．（12分）11月，2019全國美麗鄉村籃球大賽在中國農村改革的發源地-安徽鳳陽舉辦，其間甲、乙兩人輪流進行籃球定點投籃比賽（每人各投一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響.（1）經過1輪投球，記甲的得分為，求的分布列；（2）若經過輪投球，用表示經過第輪投球，累計得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求；②規定，經過計算機計算可估計得，請根據①中的值分別寫出a，c關于b的表達式，并由此求出數列的通項公式.19．（12分）在平面直角坐標系中，曲線：（為參數，），曲線：（為參數）.若曲線和相切.（1）在以為極點，軸非負半軸為極軸的極坐標系中，求曲線的普通方程；（2）若點，為曲線上兩動點，且滿足，求面積的最大值.20．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數方程為（為參數），圓的方程為，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求和的極坐標方程；（2）過且傾斜角為的直線與交于點，與交于另一點，若，求的取值范圍.21．（12分）某客戶準備在家中安裝一套凈水系統，該系統為二級過濾，使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯安裝，再與一級過濾器串聯安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要更換相互獨立）.若客戶在安裝凈水系統的同時購買濾芯，則一級濾芯每個160元，二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元，二級濾芯每個200元.現需決策安裝凈水系統的同時購買濾芯的數量，為此參考了根據100套該款凈水系統在十年使用期內更換濾芯的相關數據制成的圖表，其中表1是根據100個一級過濾器更換的濾芯個數制成的頻數分布表，圖2是根據200個二級過濾器更換的濾芯個數制成的條形圖.表1：一級濾芯更換頻數分布表一級濾芯更換的個數89頻數6040圖2：二級濾芯更換頻數條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發生的概率，以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發生的概率.（1）求一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16的概率；（2）記表示該客戶的凈水系統在使用期內需要更換的二級濾芯總數，求的分布列及數學期望；（3）記分別表示該客戶在安裝凈水系統的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數.若，且，以該客戶的凈水系統在使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據，試確定的值.22．（10分）已知三棱錐中側面與底面都是邊長為2的等邊三角形，且面面，分別為線段的中點.為線段上的點，且.（1）證明：為線段的中點；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出直線在軸上的截距最大時對應的最優解，代入目標函數計算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分（包括邊界）所示．由，得，平移直線，當直線經過點時，該直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即.故選：C.【點睛】本題考查簡單的線性規劃問題，考查線性目標函數的最值，一般利用平移直線的方法找到最優解，考查數形結合思想的應用，屬于基礎題.2、A【解析】

函數的零點就是方程的解，設，方程可化為，即或，求出的導數，利用導數得出函數的單調性和最值，由此可根據方程解的個數得出的范圍．【詳解】由題意得有四個大于的不等實根，記，則上述方程轉化為，即，所以或．因為，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以在處取得最小值，最小值為．因為，所以有兩個符合條件的實數解，故在區間上恰有四個不相等的零點，需且．故選：A．【點睛】本題考查復合函數的零點．考查轉化與化歸思想，函數零點轉化為方程的解，方程的解再轉化為研究函數的性質，本題考查了學生分析問題解決問題的能力．3、A【解析】

對復數進行乘法運算，并計算得到，從而得到虛部為2.【詳解】因為，所以z的虛部為2.【點睛】本題考查復數的四則運算及虛部的概念，計算過程要注意.4、C【解析】

由復數除法求出，寫出共軛復數，寫出共軛復數對應點坐標即得【詳解】解析：，，對應點為，在第三象限．故選：C．【點睛】本題考查復數的除法運算，共軛復數的概念，復數的幾何意義．掌握復數除法法則是解題關鍵．5、D【解析】

原問題轉化為有四個不同的實根，換元處理令t，對g（t）進行零點個數討論.【詳解】由題意，a＞2，令t，則f（x）＝a????．記g（t）．當t＜2時，g（t）＝2ln（﹣t）（t）單調遞減，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有兩個不等于2的不等根．則?，記h（t）（t＞2且t≠2），則h′（t）．令φ（t），則φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，則h（t）在（2，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減．由，可得，即a＜2．∴實數a的取值范圍是（2，2）．故選：D．【點睛】此題考查方程的根與函數零點問題，關鍵在于等價轉化，將問題轉化為通過導函數討論函數單調性解決問題.6、B【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側棱垂直于底面.設的中點為，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.7、D【解析】

討論，，三種情況，求導得到單調區間，畫出函數圖像，根據圖像得到答案.【詳解】當時，，故，函數在上單調遞增，在上單調遞減，且；當時，；當時，，，函數單調遞減；如圖所示畫出函數圖像，則，故.故選：.【點睛】本題考查了利用導數求函數的零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.8、D【解析】

推導出函數的圖象關于直線對稱，由題意得出，進而可求得實數的值，并對的值進行檢驗，即可得出結果.【詳解】，則，，，所以，函數的圖象關于直線對稱.若函數的零點不為，則該函數的零點必成對出現，不合題意.所以，，即，解得或.①當時，令，得，作出函數與函數的圖象如下圖所示：此時，函數與函數的圖象有三個交點，不合乎題意；②當時，，，當且僅當時，等號成立，則函數有且只有一個零點.綜上所述，.故選：D.【點睛】本題考查利用函數的零點個數求參數，考查函數圖象對稱性的應用，解答的關鍵就是推導出，在求出參數后要對參數的值進行檢驗，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.9、C【解析】

，，判斷其在內的單調性即可．【詳解】解：根據題意在內遞增，，是以為對稱軸，開口向下的拋物線，所以在上單調遞減，故選：C．【點睛】本題考查了利用隨機變量的分布列求隨機變量的期望與方差，屬于中檔題．10、A【解析】

因為，所以函數是偶函數，排除B、D，又，排除C，故選A．11、B【解析】

根據題意可得易知，且，解方程可得，再利用即可求解.【詳解】易知，且故有，則故選：B【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質、拋物線的幾何性質，考查了學生的計算能力，屬于中檔題12、C【解析】

將四面體沿著劈開，展開后最短路徑就是的邊，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開，展開后如下圖所示：最短路徑就是的邊．易求得，由，知，由余弦定理知其中，∴故選：C【點睛】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內容，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

對函數零點問題等價轉化，分離參數討論交點個數，數形結合求解.【詳解】由題：函數在區間內有且僅有兩個零點，，等價于函數恰有兩個公共點，作出大致圖象：要有兩個交點，即，所以.故答案為：【點睛】此題考查函數零點問題，根據函數零點個數求參數的取值范圍，關鍵在于對函數零點問題恰當變形，等價轉化，數形結合求解.14、3【解析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以直角梯形為底面，梯形上下邊長為和，高為，如圖所示，平面，所以底面積為，幾何體的高為，所以其體積為．點睛：在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據三視圖的規則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線．在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結合側視圖進行綜合考慮．求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應體積公式求解．15、1【解析】

利用二項式定理得到，將89寫成1+88，然后再利用二項式定理展開即可.【詳解】，因展開式中后面10項均有88這個因式，所以除以的余數為1.故答案為：1【點睛】本題考查二項式定理的綜合應用，涉及余數的問題，解決此類問題的關鍵是靈活構造二項式，并將它展開分析，本題是一道基礎題.16、【解析】

先求導數可得切線斜率，利用基本不等式可得切點橫坐標，從而可得切線方程.【詳解】，，＝1時有最小值1，此時M(1，﹣2)，故切線方程為：，即．故答案為：.【點睛】本題主要考查導數的幾何意義，切點處的導數值等于切線的斜率是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由，利用正弦定理轉化整理為，再利用余弦定理求解.（2）根據，利用兩角和的余弦得到，利用數形結合，設，在中，由正弦定理求得，在中，求得再求解.【詳解】（1）因為，所以，即，即，所以.（2）∵，.所以，從而.所以，.不妨設，O為外接圓圓心則AO=1，，.在中，由正弦定理知，有.即；在中，由，，從而.所以.【點睛】本題主要考查平面向量的模的幾何意義，還考查了數形結合的方法，屬于中檔題.18、（1）分布列見解析；（2）①；②，.【解析】

（1）經過1輪投球，甲的得分的取值為，記一輪投球，甲投中為事件，乙投中為事件，相互獨立，計算概率后可得分布列；（2）由（1）得，由兩輪的得分可計算出，計算時可先計算出經過2輪后甲的得分的分布列（的取值為），然后結合的分布列和的分布可計算，由，代入，得兩個方程，解得，從而得到數列的遞推式，變形后得是等比數列，由等比數列通項公式得，然后用累加法可求得．【詳解】（1）記一輪投球，甲命中為事件，乙命中為事件，相互獨立，由題意，，甲的得分的取值為，，，，∴的分布列為：－101（2）由（1），，同理，經過2輪投球，甲的得分取值：記，，，則，，，，由此得甲的得分的分布列為：－2－1012∴，∵，，∴，，∴，代入得：，∴，∴數列是等比數列，公比為，首項為，∴．∴．【點睛】本題考查隨機變量的概率分布列，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查由數列的遞推式求通項公式，考查學生的轉化與化歸思想，本題難點在于求概率分布列，特別是經過2輪投球后甲的得分的概率分布列，這里可用列舉法寫出各種可能，然后由獨立事件的概率公式計算出概率．19、（1）；（2）【解析】

（1）消去參數，將圓的參數方程，轉化為普通方程，再由圓心到直線的距離等于半徑，可求得圓的普通方程，最后利用求得圓的極坐標方程.（2）利用圓的參數方程以及輔助角公式，由此求得的面積的表達式，再由三角函數最值的求法，求得三角形面積的最大值.【詳解】（1）由題意得：，：因為曲線和相切，所以，即：；（2）設，所以所以當時，面積最大值為【點睛】本小題主要考查參數方程轉化為普通方程，考查直角坐標方程轉化為極坐標方程，考查利用參數的方法求三角形面積的最值，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解析】

（1）直接利用轉換公式，把參數方程，直角坐標方程與極坐標方程進行轉化；（2）利用極坐標方程將轉化為三角函數求解即可.【詳解】（1）因為，所以的普通方程為，又，，，的極坐標方程為，的方程即為，對應極坐標方程為.（2）由己知設，，則，，所以，又，，當，即時，取得最小值；當，即時，取得最大值.所以，的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了直角坐標方程，參數方程與極坐標方程的互化，三角函數的值域求解等知識，考查了學生的運算求解能力.21、（1）0.024；（2）分布列見解析，；（3）【解析】

（1）由題意可知，若一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16，則該套凈水系統中一個一級過濾器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，而由一級濾芯更換頻數分布表和二級濾芯更換頻數條形圖可知，一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6，二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2，再由乘法原理可求出概率；（2）由二級濾芯更換頻數條形圖可知，一個二級過濾器需要更換濾芯的個數為4，5，6的概率分別為0.2，0.4，0.4，而的可能取值為8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到的分布列及數學期望；（3）由，且，可知若，則，或若，則，再分別計算兩種情況下的所需總費用的期望值比較大小即可.【詳解】（1）由題意知，若一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16，則該套凈水系統中一個一級過濾器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，設“一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16”為事件，因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6，二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2，所以