廣西壯族自治區貴港市桂平南木鎮第二中學高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若一個圓柱的正視圖與其側面展開圖相似，則這個圓柱的側面積與全面積之比為A． B． C． D．參考答案：B2.若，則的值為（

）A.2

B.3

C.4

D.6參考答案：D3.函數函數f（x）=（x﹣3）ex的單調遞增區間是（）A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，+∞）參考答案：D【考點】利用導數研究函數的單調性．【分析】首先對f（x）=（x﹣3）ex求導，可得f′（x）=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解得x＞2．故選：D．4.已知函數是偶函數，且，則

A．－3

B．－1

C．1

D．2參考答案：A5.有四個關于三角函數的命題：

p1：sinx=siny=>x+y=或x=y，

其中真命題是

A.p1，p3B.p2，p3C.p1，p4D.p2，p4參考答案：D

【知識點】命題的真假判斷與應用．A2解析：p1：若sinx=siny?x+y=π+2kπ或x=y+2kπ，k∈Z，故錯誤；p2：根據同角三角函數基本關系的平方關系，可得：?x∈R，sin2+cos2=1，故正確；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny，與cosx﹣cosy不一定相等，故錯誤；p4：?x∈[0，]，==|cosx|=cosx，故正確．故選：D．【思路點撥】根據三角函數的定義及周期性，可判斷p1；根據同角三角函數基本關系的平方關系，可判斷p2；根據兩角差的余弦公式，可判斷p3；根據二倍解的余弦公式，及根式的運算性質，可判斷p4．6.設，滿足線性約束條件若目標函數（）取得最大值的最優解有無數個，則的最小值為（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1參考答案：B由題可知約束區域如圖所示：由得∵∴平移直線，由圖像可知當直線和直線平行時，此時目標函數取得最大值的最優解有無數個，此時∴∴當經過點(3,0)時，z取最小值－3故選B

7.已知函數，函數，若對任意，總存在，使得成立，則實數a的取值范圍是A．

B．

C．

D．

參考答案：D【知識點】分段函數的應用∵函數，∴當0≤x≤時，y的范圍是[0，]；

當＜x≤1時，，

故（，1]為增區間，y的范圍是（，1]．

∴函數f（x）的值域為[0，1]，

∵函數g（x）=ax-+3（a＞0），

∴x∈[0，]，y∈[3-，3]，

∵對任意x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，

∴[0，1]?[3-，3]，即有3-≤0，即a≥6．

∴a的取值范圍是[6，+∞）．

故選：A．【思路點撥】分別求出f（x）在[0，1]的值域A，以及g（x）在]的值域B，對任意x1∈[0，1]，總存在x2∈]，使得f（x1）=g（x2）成立，考慮A是B的子集，得到a的關系式，解出即可．

8.函數的定義域為，，對任意，，則的解集為(

)A．（，1）

B．（，+） C．（，） D．（，+）參考答案：B9.已知集合，則

(

)

A.(0,1)

B.(1,2)

C．（∞，l)U(0,+∞)

D．（∞，-l)U(l，+∞)參考答案：B略10.直線和直線平行，則（

）A．

B．

C．7或1

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數為奇函數，則

.參考答案：4考點：函數的奇偶性．12.某校學生會由高一年級的4名學生、高二年級的5名學生、高三年級的4名學生組成，現從學生會中選出2名學生，參加一次活動，則此2名學生不屬于同一個年級的選出方法共有__________種.參考答案：56

13.已知實數滿足，則的取值范圍為

．參考答案：作出不等式組所表示的平面區域如下圖陰影部分所示，觀察可知，當直線過點時，有最小值，當直線過點時，有最大值，故的取值范圍為.

14.復數（為虛數單位）的實部等于_________.參考答案：-315.

與直線平行且與拋物線相切的直線方程是

。參考答案：

答案：16.函數的圖像如右圖所示，則

參考答案：17.已知，是互相垂直的單位向量，若

與λ的夾角為60°，則實數λ的值是__．參考答案：【分析】根據平面向量的數量積運算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出λ的值．【詳解】解：由題意，設（1，0），（0，1），則（，﹣1），λ（1，λ）；又夾角為60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【點睛】本題考查了單位向量和平面向量數量積的運算問題，是中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設數列{an}是公比為正數的等比數列，a1=2，a3﹣a2=12．（1）求數列{an}的通項公式；（2）設數列{bn}是首項為1，公差為2的等差數列，求數列{an+bn}的前n項和Sn．參考答案：解：（1）設數列{an}的公比為q，由a1=2，a3﹣a2=12，得：2q2﹣2q﹣12=0，即q2﹣q﹣6=0．解得q=3或q=﹣2，∵q＞0，∴q=﹣2不合題意，舍去，故q=3．∴an=2×3n﹣1；（2）∵數列{bn}是首項b1=1，公差d=2的等差數列，∴bn=2n﹣1，∴Sn=（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）=+=3n﹣1+n2．略19.如圖所示多面體EF-ABCD，其底面ABCD為矩形且，，四邊形BDEF為平行四邊形，點F在底面ABCD內的投影恰好是BC的中點．（1）已知G為線段FC的中點，證明：∥平面；（2）若二面角大小為，求直線AE與平面BDEF所成角的正弦值．參考答案：（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）連結交于，連結由三角形中位線定理可得，可得平面，可證明平面，從而平面平行于平面平面；（2）以的中點為原點，以、的垂直平分線、為坐標軸，建立如空間直角坐標系，設，求出平面的法向量與平面的法向量，由二面角大小為，利用空間向量夾角余弦公式求出，求出的坐標，由夾角公式可得結果.【詳解】（1）連結交于，連結為的中位線，平面，而平面平面.又知平面平面平面，相交，由它們確定的平面平行于平面平面平面.（2）以的中點為原點，以的垂直平分線、為坐標軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設，其余各點分別是：，所以又設平面的法向量為.由令，得易得平面的法向量為因為二面角大小為.所以由，解得.且故直線與平面所成角的正弦為.【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理，利用空間向量求二面角與線面角，屬于綜合題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.20.電子蛙跳游戲是:青蛙第一步從如圖所示的正方體頂點起跳，每步從一頂點跳到相鄰的頂點．（1）求跳三步跳到的概率；（2）青蛙跳五步，用表示跳到過的次數，求隨機變量的概率分布及數學期望．參考答案：解：將A標示為0，A1、B、D標示為1，B1、C、D1標示為2，C1標示為3，從A跳到B記為01，從B跳到B1再跳到A1記為121，其余類推.從0到1與從3到2的概率為1，從1到0與從2到3的概率為，從1到2與從2到1的概率為.（1）P＝P（0123）＝1＝；（2）X＝0,1，2.

P（X＝1）＝P（010123）＋P（012123）＋P（012321）＝11＋1＋11＝，P（X＝2）＝P（012323）＝11＝，P（X＝0）＝1－P（X＝1）－P（X＝2）＝或P（X＝0）＝P（010101）＋P（010121）＋P（012101）＋P（012121）＝111＋11＋11＋1＝，E（X）＝1＋2＝.略21.已知拋物線E：x2=4y的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點．（1）若原點為O，求△OAB面積的最小值；（2）過A，B作拋物線E的切線，分別為l1，l2，若l1與l2交于點P，當l變動時，求點P的軌跡方程．參考答案：【考點】KN：直線與拋物線的位置關系；K8：拋物線的簡單性質．【分析】（1）由題意設直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理及弦長公式，根據函數的單調性即可求得△OAB面積的最小值；（2）求導，利用點斜式方程，求得求得切線l1，l2的方程，聯立求得P點坐標，根據向量的坐標運算，即可求得的值．【解答】解：（1）易知F（0，1）．由題意可知，直線AB的斜率存在，可設直線AB的方程為y=kx+1，將直線AB的方程與拋物線方程聯立，整理得：x2﹣4kx﹣4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣設A（x1，），B（x2，），則x1+x2=4k，x1x2=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴S△AOB=×丨OF丨|x1﹣x2|=×|x1﹣x2|=×=×≥2，當k=0時，△AOB的面積最小，最小值為2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由x2=4y，得y=，則y′=，∴l1的方程為y﹣=（x﹣x1），即y=﹣．①同理可得l2的方程為y=﹣，②由①②得x==2k，y=﹣=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴點P的坐標為（2k，﹣1），由k∈R，則P點的軌跡方程y=﹣1．22.已知函數f（x）=2cos（cos﹣sin）．（Ⅰ）設x∈[﹣，]，求f（x）的值域；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知c=1，f（C）=+1，且△ABC的面積為，求邊a和b的長．參考答案：考點：三角函數中的恒等變換應用；正弦定理．專題：計算題；三角函數的圖像與性質．