廣西壯族自治區(qū)桂林市沙子中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.用S表示圖中陰影部分的面積，則S的值為（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D略2.在等差數(shù)列{an}中，若，則的值為（

）A.24 B.36 C.48 D.60參考答案：C【分析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋傻炔顢?shù)列的性質(zhì)得，所以.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.

3.復(fù)數(shù)的虛部為（）A.2 B.－2 C.2i D.－2i參考答案：B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得到復(fù)數(shù)的虛部，得到答案．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為－2，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的概念的應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.函數(shù)的大致圖象是(圖中虛線(xiàn)是直線(xiàn))

（

）A

B

C

D參考答案：B5.已知曲線(xiàn)y=lnx的切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，則此切線(xiàn)的斜率為（）A．e B．﹣e C． D．﹣參考答案：C【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程．【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，lna），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線(xiàn)的斜率，切線(xiàn)的方程，代入（0，0），求切點(diǎn)坐標(biāo)，切線(xiàn)的斜率．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，lna），∵y=lnx，∴y′=，切線(xiàn)的斜率是，切線(xiàn)的方程為y﹣lna=（x﹣a），將（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，∴切線(xiàn)的斜率是=；故選：C．6.為研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下，隨時(shí)間變化的繁殖情況，得到如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：天數(shù)x（天）3456繁殖個(gè)數(shù)y（千個(gè)）2.5344.5

由最小二乘法得y與x的線(xiàn)性回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，繁殖個(gè)數(shù)y的預(yù)測(cè)值為

（

）A.4.9 B.5.25 C.5.95 D.6.15參考答案：B【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求得樣本中心為，代入回歸直線(xiàn)方程，求得，得到回歸直線(xiàn)的方程為，即可作出預(yù)測(cè)，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，即樣本中心為，代入回歸直線(xiàn)方程，即，解得，即回歸直線(xiàn)的方程為，當(dāng)時(shí)，，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了回歸直線(xiàn)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記回歸直線(xiàn)方程的特征，求得回歸直線(xiàn)的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7.若的大小關(guān)系(

)

A．

B．

C．

D．與的取值有關(guān)參考答案：D略8.設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足條件，則曲線(xiàn)在點(diǎn)

處的切線(xiàn)的斜率為(

)A.

B．3

C．6

D．無(wú)法確定參考答案：C略9.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是【

】.A．B．

C．

D．參考答案：C10.設(shè)向量,,則下列結(jié)論中正確的是（

）A.

B.C.

D.與垂直參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若圓x2+y2=4與圓x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，則實(shí)數(shù)m=．參考答案：±3【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【分析】先求出圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓相外切，可得圓心距等于半徑之和，求得m的值．【解答】解：圓x2+y2=4的圓心為（0，0）、半徑為2；圓x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0，即（x﹣m）2+y2=1，表示圓心為（m，0）、半徑等于1的圓．根據(jù)兩圓相外切，可得圓心距等于半徑之和，即|m|=2+1=3，求得m=±3，故答案為：±3．12.從裝有個(gè)球（其中個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出個(gè)球（），共有種取法，在這種取法中，可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)是取出的個(gè)球全部為白球，另一類(lèi)是取出的m個(gè)球中有1個(gè)黑球，共有種取法，即有等式：成立.試根據(jù)上述思想化簡(jiǎn)下列式子：__________________.參考答案：略13.設(shè)為實(shí)常數(shù),是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,若對(duì)一切成立,則的取值范圍為

．參考答案：14.如圖所示，A，B，C是雙曲線(xiàn)﹣=1（a＞0，b＞0）上的三個(gè)點(diǎn)，AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，AC經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，則該雙曲線(xiàn)的離心率是

．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】運(yùn)用直角三角形斜邊上中線(xiàn)等于斜邊的一半，求得A的坐標(biāo)，由對(duì)稱(chēng)得B的坐標(biāo)，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐標(biāo)，代入雙曲線(xiàn)方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式，化簡(jiǎn)整理成離心率e的方程，代入選項(xiàng)即可得到答案．【解答】解：由題意可得在直角三角形ABF中，OF為斜邊AB上的中線(xiàn)，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，設(shè)A（m，n），則m2+n2=c2，又=1，解得m=，n=，即有A（，），B（﹣，﹣），又F（c，0），由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，可設(shè)C（x，y），即有=﹣1，又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2，可得x=，y=﹣，將C（，﹣）代入雙曲線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)可得（b2﹣a2）=a3，由b2=c2﹣a2，e=，得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，可得e=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線(xiàn)的a，b，c的關(guān)系和離心率的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上滿(mǎn)足方程，屬于難題．15.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=m，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足Sn+Sn+1=3n2+2n，若對(duì)?n∈N+，an＜an+1恒成立，則m的取值范圍是．參考答案：（﹣2，）【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和．【分析】Sn+Sn+1=3n2+2n，n=1時(shí)，2a1+a2=5，解得a2．n≥2時(shí)，利用遞推關(guān)系可得：an+1+an=6n﹣1，于是an+1﹣an﹣1=6，因此數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，對(duì)n分類(lèi)討論即可得出【解答】解：∵Sn+Sn+1=3n2+2n，∴n=1時(shí)，2a1+a2=5，解得a2=5﹣2m．n≥2時(shí)，Sn﹣1+Sn=3（n﹣1）2+2（n﹣1），∴an+1+an=6n﹣1，∴an+an﹣1=6n﹣7，∴an+1﹣an﹣1=6，∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，a2k=5﹣2m+6（k﹣1）=6k﹣1﹣2m，a2k﹣1=m+6（k﹣1）=6k+m﹣6．∵對(duì)?n∈N*，an＜an+1恒成立，∴n=2k﹣1時(shí)，6k+m﹣6＜6k﹣1﹣2m，解得m＜．n=2k時(shí)，6k﹣1﹣2m＜6（k+1）+m﹣6，解得：m＞﹣2．綜上可得m的取值范圍是：﹣2＜m＜．故答案為：（﹣2，）．16.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值是

參考答案：略17.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為

▲

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知A，B，C是橢圓W：上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（I）根據(jù)B的坐標(biāo)為（2，0）且AC是OB的垂直平分線(xiàn)，結(jié)合橢圓方程算出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到線(xiàn)段AC的長(zhǎng)等于．再結(jié)合OB的長(zhǎng)為2并利用菱形的面積公式，即可算出此時(shí)菱形OABC的面積；（II）若四邊形OABC為菱形，根據(jù)|OA|=|OC|與橢圓的方程聯(lián)解，算出A、C的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足=r2﹣1，從而得到A、C的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．再分兩種情況加以討論，即可得到當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能為菱形．【解答】解：（I）∵四邊形OABC為菱形，B是橢圓的右頂點(diǎn)（2，0）∴直線(xiàn)AC是BO的垂直平分線(xiàn)，可得AC方程為x=1設(shè)A（1，t），得，解之得t=（舍負(fù)）∴A的坐標(biāo)為（1，），同理可得C的坐標(biāo)為（1，﹣）因此，|AC|=，可得菱形OABC的面積為S=|AC|?|BO|=；（II）∵四邊形OABC為菱形，∴|OA|=|OC|，設(shè)|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C兩點(diǎn)是圓x2+y2=r2與橢圓的公共點(diǎn)，解之得=r2﹣1設(shè)A、C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1、x2，可得A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足x1=x2=?，或x1=?且x2=﹣?，①當(dāng)x1=x2=?時(shí)，可得若四邊形OABC為菱形，則B點(diǎn)必定是右頂點(diǎn)（2，0）；②若x1=?且x2=﹣?，則x1+x2=0，可得AC的中點(diǎn)必定是原點(diǎn)O，因此A、O、C共線(xiàn)，可得不存在滿(mǎn)足條件的菱形OABC綜上所述，可得當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能為菱形．19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn).（1）求證：“如果直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，那么”是真命題；（2）寫(xiě)出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由.參考答案：證明：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)、，∴當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，其中由得，則又∵，，∴綜上所述，命題“如果直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，那么”是真命題.（2）逆命題是：設(shè)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)，如果，那么直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，該命題是假命題.例如：取拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，.此時(shí)直線(xiàn)的方程為，而不在直線(xiàn)上.

20.（本小題滿(mǎn)分12分）由下列各個(gè)不等式：

你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明.參考答案：根據(jù)給出的幾個(gè)不等式可以猜想第個(gè)不等式，即一般不等式為：

4分用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng)n=1時(shí),猜想成立.

5分(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即6分則當(dāng)時(shí)，

10分

這就說(shuō)明猜想也成立，由（1）（2）知，猜想對(duì)一切都成立.------12分21.（13分）如圖，在正方體ABCD－中，棱長(zhǎng)為a,E為棱CC1上的的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：A1E⊥BD；（2）當(dāng)E恰為棱CC1的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面A1BD⊥平面EBD.參考答案：證明：（1）連AC,A1C1

正方體AC1中，AA1平面ABCD

AA1BD

ABCD是正方形，ACBD，又ACAA1=A，BD平面ACC1A1ECC1

A1E平面ACC1A1

BDA1E

6分

（2）設(shè)ACBD=O，則O為BD的中點(diǎn)，連A1O,EO

由（1）得BD平面A1ACC1

BDA1O,BDEO

即為二面角A1-BD-E的平面角

AB=a，E為CC1中點(diǎn)A1O=，A1E=，EO=

A1O2+OE2=A1E2

A1OOE平面A1BD平面BDE

13分22.（本題12分）某市近郊有一塊大約500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府準(zhǔn)備在此建一個(gè)綜合性休閑廣場(chǎng)，首先要建設(shè)如圖所示的一個(gè)矩形場(chǎng)地，其中總面積為3000平方米，其中陰影部分為通道，通道寬度為2米，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地（其中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同），塑