2023年福建省單科質量檢測試卷文科數學一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.〔1〕復數，且是純虛數，那么實數〔A〕1〔B〕2〔C〕〔D〕〔2〕假設公差為2的等差數列的前9項和為81，那么〔A〕1〔B〕9〔C〕17〔D〕19〔3〕函數的圖象大致為〔4〕集合，那么“〞是“〞的〔A〕充分而不必要條件〔B〕必要而不充分條件〔C〕充分必要條件〔D〕既不充分也不必要條件〔5〕當生物死亡后，其體內原有的碳14的含量大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期〞.當死亡生物體內的碳14含量缺乏死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了.假設某死亡生物體內的碳14用該放射性探測器探測不到，那么它經過的“半衰期〞個數至少是〔A〕8〔B〕9〔C〕10〔D〕11〔6〕三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，且，那么此三棱錐的外接球的體積為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔7〕執行如下圖的程序框圖，假設輸入，輸出的值為0，那么的解析式可以是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕函數，那么以下結論正確的選項是〔A〕有極值〔B〕有零點〔C〕是奇函數〔D〕是增函數〔9〕如圖，與軸的正半軸交點為，點在上，且，點在第一象限，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔10〕直線過點且與相切于點，以坐標軸為對稱軸的雙曲線過點，其一條漸近線平行于，那么的方程為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔11〕如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，那么該幾何體最長的棱長為〔A〕〔B〕〔C〕6〔D〕〔12〕函數，曲線上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與軸垂直，那么實數的取值范圍是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二、填空題：本大題共4小題，每題5分〔13〕設向量，且的夾角為，那么.〔14〕假設滿足約束條件，那么的最小值為.〔15〕橢圓的左、右焦點分別為，上、下頂點分別為，右頂點為，直線與交于點.假設，那么的離心率等于.〔16〕函數在上有最大值，但沒有最小值，那么的取值范圍是.三、解答題：解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟〔17〕〔本小題總分值12分〕中，角的對邊分別為，.〔Ⅰ〕求的大小；〔Ⅱ〕假設，且邊上的中線長為，求的值.〔18〕〔本小題總分值12分〕如圖，三棱柱中，側面側面，,.〔Ⅰ〕求證：；〔Ⅱ〕求三棱錐的側面積.〔19〕〔本小題總分值12分〕某公司生產一種產品，第一年投入資金1000萬元，出售產品收入40萬元，預計以后每年的投入資金是上一年的一半，出售產品所得收入比上一年多80萬元，同時，當預計投入的資金低于20萬元時，就按20萬元投入，且當年出售產品收入與上一年相等.〔Ⅰ〕求第年的預計投入資金與出售產品的收入；〔Ⅱ〕預計從哪一年起該公司開始盈利？〔注：盈利是指總收入大于總投入〕〔20〕〔本小題總分值12分〕點，直線，直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點．〔Ⅰ〕求點的軌跡的方程；〔Ⅱ〕點，過且與軸不垂直的直線交于兩點，直線分別交于點，求證：以為直徑的圓必過定點．〔21〕〔本小題總分值12分〕函數．〔Ⅰ〕討論的單調區間；〔Ⅱ〕當時，證明：．請考生在第〔22〕、〔23〕兩題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，那么按所做第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。〔22〕〔本小題總分值10分〕選修4-4：坐標系與參數方程在極坐標系中，曲線，曲線.以極點為坐標原點，極軸為軸正半軸建立直角坐標系，曲線的參數方程為〔為參數〕.〔Ⅰ〕求的直角坐標方程；〔Ⅱ〕與交于不同四點，這四點在上的排列順次為，求的值.〔23〕〔本小題總分值10分〕選修4-5不等式選講函數.〔Ⅰ〕當時，解不等式；〔Ⅱ〕求證：.參考答案：1.答案：A解析：為純虛數所以2.答案：C解析：法一：法二：將第9項視為第一項，是公差為的等差數列，那么3.答案：A解析：排除法：函數為偶函數，圖像關于軸對稱，排除選項B，C；法一：時，，從而函數在上遞增，排除D法二：且時，，排除D4.答案：C解析：記〔1〕考慮充分性〔〕當時，，所以充分性成立，即成立；〔2〕考慮必要性〔〕假設，那么或或，所以①時，不滿足集合的互異性，排除；②時，不滿足集合的互異性，排除；從而，所以必要性也成立，即成立所以，是的充分必要條件5.答案：C解析：設死亡生物體內原有的碳14含量為1，那么經過個“半衰期〞后的含量為由得：所以，假設探測不到碳14含量，至少需要經過10個“半衰期〞。6.答案：B解析：因為三條側棱兩兩垂直，以這三條側棱為鄰邊建立一個長方體，那么該長方體的外接球即為所求三棱錐的外接球，長方體的對角線長為外接球的直徑。設，那么，7.答案：D解析：由程序框圖可知，所求觀察四個選項，相位為的三角函數的最小正周期為，選項A：排除；選項C：排除；相位為的三角函數的最小正周期為選項B：排除應選D。8.答案：D解析：〔1〕時，，當且僅當時取等號，所以單調遞增；時，，當且僅當時取等號，所以單調遞增；所以，沒有極值.〔2〕由〔1〕知，利用單調性，時，沒有零點；時，沒有零點故在上沒有零點，排除B.顯然，既不是奇函數也不是偶函數，排除C.由〔1〕〔2〕分析可知，在上是增函數。9.答案：B解析：利用三角函數定義及誘導公式。以軸為始邊，順時針為負，逆時針為正，設〔負角〕因為在圓O上，那么圓O半徑為1，為等邊三角形，且。法一：，所以；法二：，從而10.答案：D解析：圓B：，圓心,半徑如下圖，不妨設切點D在第一象限，那么從而直線的斜率，因為與雙曲線的一條漸近線平行，從而雙曲線的漸近線方程為，可設雙曲線方程為……………〔*〕過點作軸于點，中，，所以所以將點帶入方程〔*〕得：所以所求雙曲線方程為，即：。11.答案：C解析：利用“三線交匯得頂點〞的方法，該幾何體位三棱錐如下圖，其中，正方體棱長為4，點是正方體其中一條棱的中點，那么：,所以最長棱為6.12.答案：D解析：曲線存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與軸垂直，等價于函數有兩個不同的極值點，等價于方程有兩個不同的實根。令，得：令，那么條件等價于直線與曲線有兩個不同的交點。當時，；當時，；當時，；從而當時有最小值，在上遞增，在上遞減。當時，；當時，；如以下圖所示從而13.答案：解析：法一：，根據公式得：，解得法二：作圖，如下：14.答案：2解析：因為線性約束條件所決定的可行域為非封閉區域且目標函數為線性的，最值一定在邊界點處取得。分別將點代入目標函數，求得：，所以最小值為2.15.答案：解析：如下圖，設，由得：根據三角形相似得：，求得：，又直線的方程為將點代入，得：。16.答案：解析：由及得：由題意，知：。17.答案：〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕解析：18.答案：〔Ⅰ〕