2022-2023九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)培優(yōu)練習(xí)

第22章二次函數(shù)解答題壓軸題

1.(2022?朝陽)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yuo?+zx+c與x軸分別交于點(diǎn)A(1,

0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),連接BC.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)8的坐標(biāo).

(2)如圖，點(diǎn)P為線段BC上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)8,C重合)，過點(diǎn)P作y軸的

平行線交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ長度的最大值.

(3)動點(diǎn)P以每秒加個單位長度的速度在線段8c上由點(diǎn)C向點(diǎn)8運(yùn)動，同時動點(diǎn)M

以每秒1個單位長度的速度在線段BO上由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,

使得以點(diǎn)P,M,B,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)N的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.(2021?朝陽)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A(-

1,0)和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的解析式及對稱軸；

(2)如圖1,點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱，點(diǎn)P在對稱軸上，若/BPC?=90°,求點(diǎn)尸

的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△BMN為等

邊三角形時，請直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

圖1備用圖

3.(2021?錦州)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=Mr+l分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A,

4

C,經(jīng)過點(diǎn)C的拋物線y=Xx1+bx+c與直線y=^x+\的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)D的橫坐

44

標(biāo)為6.

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)M為拋物線上的動點(diǎn).

①N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形CQMN為平行四邊形時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②如圖2,點(diǎn)M在直線CZ)下方，直線OM(OM〃C￡＞的情況除外)交直線CD于點(diǎn)B,

作直線80關(guān)于直線。M對稱的直線B。'，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時，直接寫出點(diǎn)

M的橫坐標(biāo).

圖1圖2

4.(2021?丹東)如圖，已知點(diǎn)A(-8,0),點(diǎn)8(-5,-4),直線y=2x+m過點(diǎn)8交y

軸于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)￡),拋物線y=G?+2L+c經(jīng)過點(diǎn)A、C、D,連接AB、AC.

4

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)判斷aABC的形狀，并說明理由；

(3)E為直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，且tan/ECA=工，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

2

(4)N為線段AC上的動點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段

BN運(yùn)動到點(diǎn)N,再以每秒遙個單位長度的速度沿線段NC運(yùn)動到點(diǎn)C,又以每秒1個

單位長度的速度沿線段C。向點(diǎn)0運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)。后停止，請直接寫出上述運(yùn)

動時間的最小值及此時點(diǎn)N的坐標(biāo).

5.(2021?大連)已知函數(shù)y=,父x7x+m(x〈m),記該函數(shù)圖象為G.

,x2-mx+m

(1)當(dāng)m=2時，

①已知M(4,〃)在該函數(shù)圖象上，求〃的值；

②當(dāng)時，求函數(shù)G的最大值.

(2)當(dāng)機(jī)＞0時，作直線與x軸交于點(diǎn)P,與函數(shù)G交于點(diǎn)。，若NPOQ=45°

2

時，求,"的值；

(3)當(dāng)〃?W3時，設(shè)圖象與x軸交于點(diǎn)4,與y軸交于點(diǎn)8,過點(diǎn)8作BC_LBA交直線x

=根于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a,C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c,若a=-3c,求相的值.

6.(2021?營口)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=3/+bx+c過點(diǎn)A(0,-2),

B(2,0),點(diǎn)C為第二象限拋物線上一點(diǎn)，連接AB,AC,BC,其中AC與x軸交于點(diǎn)

E,且tan/O8C=2.

(1)求點(diǎn)C坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)、P(m,0)為線段BE上一動點(diǎn)(尸不與B,E重合)，過點(diǎn)尸作平行于y軸的直

線/與△4BC的邊分別交于M,N兩點(diǎn)，將△8WN沿直線MN翻折得到△B'MN,設(shè)四

邊形"NBM的面積為S,在點(diǎn)P移動過程中，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，若S=3SAACB一請直接寫出所有滿足條件的〃?值.

7.（2020?阜新）如圖，二次函數(shù)y=7+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)4（-3,0）,B（1,0）,

交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)P（〃?，0）是x軸上的一動點(diǎn)，PMLx軸，交直線AC于點(diǎn)M,交拋

物線于點(diǎn)N.

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）①若點(diǎn)P僅在線段4。上運(yùn)動，如圖，求線段的最大值；

②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使以“，N,C,。為頂點(diǎn)的四邊形

為菱形.若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

8.（2020?盤錦）如圖1,直線產(chǎn)x-4與x軸交于點(diǎn)5,與y軸交于點(diǎn)A,拋物線y=-l^+hx+c

經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C(0,4),△ABO沿射線AB方向以每秒丁萬個單位長度的速度平移，平

移后的三角形記為△CEF(點(diǎn)A,B,。的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)O,E,F),平移時間為1(0

</<4)秒，射線OF交x軸于點(diǎn)G,交拋物線于點(diǎn)M,連接ME.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)tan/EMF=_l時，請直接寫出f的值；

3

(3)如圖2,點(diǎn)N在拋物線上，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)是點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的工，連接OM,NF,

2

0M與NF相交于點(diǎn)P,當(dāng)NP=FP時，求，的值.

9.(2020?錦州)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=交x軸于A(-3,0),B(4,

3

0)兩點(diǎn)，交)，軸于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖，直線造與拋物線交于44兩點(diǎn)，與直線BC交于點(diǎn)E.若“(〃?,

44

0)是線段AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F,交直線A。于點(diǎn)G,

交直線BC于點(diǎn)H.

①當(dāng)點(diǎn)F在直線AD上方的拋物線上，且SAEFG=^SAOEG時，求，”的值；

9

②在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使四邊形EFHP為正方形？若存在，請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo):

若不存在，請說明理由.

10.（2020?朝陽）如圖，拋物線y=

拋物線的對稱軸為直線x=-1,點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,4）.

備用圖

（I）求拋物線表達(dá)式;

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使NABP=NBC。，如果存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；如果不

存在，請說明理由;

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)M是直線8尸上方拋物線上的一個動點(diǎn),

求點(diǎn)M到直線BP的最大距離:

（4）點(diǎn)G是線段AC上的動點(diǎn)，點(diǎn)H是線段BC上的動點(diǎn)，點(diǎn)。是線段AB上的動點(diǎn),

三個動點(diǎn)都不與點(diǎn)A,B,C重合，連接GH,GQ,HQ,得到△GHQ,直接寫出△GH。

周長的最小值.

11.（2020?遼寧）如圖，拋物線?二丁+旦什。（aWO）與x軸相交于點(diǎn)A（-1,0）和點(diǎn)B,

4

與y軸相交于點(diǎn)C（0,3）,作直線8c.

(2)在直線BC上方的拋物線上存在點(diǎn)。，使NQCB=2NABC,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,工)，點(diǎn)用在拋物線上，點(diǎn)N在直線BC上.當(dāng)

2

以。，F(xiàn),M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).

12.(2020?沈陽)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=*2+法+c經(jīng)過

點(diǎn)B(6,0)和點(diǎn)C(0,-3).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖2,線段OC繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到線段OD過點(diǎn)8作射線8。，點(diǎn)

M是射線3。上一點(diǎn)(不與點(diǎn)3重合)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)N,連接M0,NB.

①直接寫出△MBN的形狀為；

②設(shè)的面積為Si，△ODB的面積為是S2.當(dāng)SI=2_S2時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

3

(3)如圖3,在(2)的結(jié)論下，過點(diǎn)B作8瓦L8M交NM的延長線于點(diǎn)E,線段8E

繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<120°)得到線段BF,過點(diǎn)尸作FK〃x軸，

交射線BE于點(diǎn)K,/K8F的角平分線和/KFB的角平分線相交于點(diǎn)G,當(dāng)8G=2?時，

請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)為.

圖1圖2圖3

13.（2020?丹東）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-Jif+bx+c與x軸交于A,B

2

兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）,與），軸交于點(diǎn)C（0,4）,直線），=-工+機(jī)與拋物線交于

2

B,。兩點(diǎn).

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）求，"的值和。點(diǎn)坐標(biāo).

（3）點(diǎn)P是直線8。上方拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H,交直線

8。于點(diǎn)凡過點(diǎn)。作x軸的平行線，交尸，于點(diǎn)N,當(dāng)N是線段P尸的三等分點(diǎn)時，求

P點(diǎn)坐標(biāo).

（4）如圖2,。是x軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（-&，0）.動點(diǎn)M從A出發(fā)，沿x軸正方向

5

以每秒5個單位的速度運(yùn)動，設(shè)M的運(yùn)動時間為fG>0）,連接AD,過M作MGLAO

于點(diǎn)G,以MG所在直線為對稱軸，線段AQ經(jīng)軸對稱變換后的圖形為A'Q',點(diǎn)M在

運(yùn)動過程中，線段A'Q'的位置也隨之變化，請直接寫出運(yùn)動過程中線段A'Q'與拋

物線有公共點(diǎn)時/的取值范圍.

14.（2020?遼寧）如圖，拋物線-2?x+c（aWO）過點(diǎn)O（0,0）和A（6,0）.點(diǎn)

8是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)。是x軸下方拋物線上的一點(diǎn)，連接OB,OD.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，當(dāng)/800=30°時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）如圖②，在（2）的條件下，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)C,交線段0。于點(diǎn)E,點(diǎn)

尸是線段。8上的動點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)。和點(diǎn)B重合），連接EF,將ABEF沿EF折疊，

點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)△EfB與△OBE的重疊部分為△EFG,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一

點(diǎn)4，使以點(diǎn)E,F,G,"為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)77的坐標(biāo)，

若不存在，請說明理由.

【參考答案】

1.(2022?朝陽)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸分別交于點(diǎn)A(1,

0)和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),連接BC.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo).

(2)如圖，點(diǎn)P為線段BC上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合)，過點(diǎn)P作y軸的

平行線交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ長度的最大值.

(3)動點(diǎn)P以每秒弧個單位長度的速度在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)8運(yùn)動，同時動點(diǎn)M

以每秒1個單位長度的速度在線段8。上由點(diǎn)8向點(diǎn)O運(yùn)動，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,

使得以點(diǎn)P，M,B,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)N的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)由題意得，

(c=-3

，

la+2Xl+c=0

.fc=_3

Ta=l，

.,.y=/+2x-3,

當(dāng)y=0時，X2+2X-3=0,

??X\=1,X2~~~3>

：.B(-3,0)；

(2)設(shè)直線BC的解析式為：y^kx+b,

b=-3

~3k+b=0

.fk=-l

,lb=-3，

?\y=-x-3,

設(shè)點(diǎn)P(m,-m-3),Q(〃?，nr+2ni-3),

/.PQ=(-nz-3)-(w2+2/n-3)=-m2-3m=-(機(jī)+旦)2+-^-,

,24

:.當(dāng)m=-旦時，PQ最大=9；

24

(3)如圖1,

'：B(-3,0),C(0,-3),

：.OB=OC=3,

.\ZOCB=ZOBC=45°,

作PDLy軸于D,

：.CD=PD=PC-sinZOCB=y/2iX^-=t,

當(dāng)8M=PM時，

:.NMPB=NOBC=45°,

,:NPMO=NPDO=/MOD=90°,

.?.四邊形。MP。是矩形，

：.OM=PD=t,

由BM+OM=Of3得，

：.2t=3,

???,I——3,

2

：.p(-2,-3),

22

:.N(-3,-旦)，

2

如圖2,

當(dāng)PM=P8時，作尸。J_y軸于，作PE_Lx軸于E,

：?BM=2BE,

可得四邊形PDOE是矩形，

：?OE=PD=t,

：.BE=3-t,

：.t=2(3-r),

?**t=2,

：.P(-2,-1),

:?N(-2,1),

3V2-V2t=f,

t=6-3^/2,

:.P(372-6?3-3A/2).

:.N(0,3-3&),

綜上所述：N(-3,-3)或(-2,1)或(0,3-3&).

2

2.(2021?朝陽)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-7+6x+c?與x軸分別交于點(diǎn)4(-

1.0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的解析式及對稱軸；

(2)如圖1,點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱，點(diǎn)P在對稱軸上，若NBPD=9O°,求點(diǎn)尸

的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△BMN為等

邊三角形時，請直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

【解答】解：(1)把4(-1,0),點(diǎn)C(0,3)的坐標(biāo)代入y=-7+fev+c,得到(片，

I-l-b+c=0

解得產(chǎn)2,

1c=3

...拋物線的解析式為y=-7+2x+3,對稱軸x=-2=1.

-2

(2)如圖1中，連接8。，設(shè)BO的中點(diǎn)T,連接PT,設(shè)P(l,m).

圖1

:點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱，C(0,3),

.\D(2,3),

,:B(3,0),

：.T(.1,"I),BD-V(3-2)2+32=1

:NBPD=90°,DT=TB,

：.PT=^BD=^^.,

22_

(1-5)2+5-3.)2=(再)2,

222

解得m=\或2,

：.P(1,1)或(1,2).

(3)當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時，△BMN是等邊三角形，過點(diǎn)B作交MW的延長線

圖3-1

是等邊三角形，

:.NNMB=NNBM=60°,

VZ7VBT=9O°,

：.ZMBT=30°,BT=4^BN,

■:NNMB=NMBT+NBTM=60°,

；.NMBT=NBTM=3Q°,

:.MB=MT=MN,

■:NNBE+NTBJ=90°,NTBJ+NBTJ=9Q°,

NNBE=ZBTJ,

,：ZBEN=ZTJB=9Q°,

.?.11=亞=生=如，

EBENBN

:"=2?,

：.T(3+V3?>2日)，

,;NM=MT,

：.M（Wil,2M+t）,

22

?..點(diǎn)"在丫=-/+2x+3上，

,蓊+t=-（Wit）2+2X±2Z3t+3,

222

整理得，3P+（473+2）L12+4禽=0,

解得t--2V3（舍棄）或-2,

_3

33

如圖3-2中，當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時，設(shè)N（l,〃），過點(diǎn)8作2TJ_8N交M0的延長線

圖3-2__

同法可得T（3-代小-2代），M（生返工■，注2應(yīng)），

_22

則有二2&巨=-（4-V3n）2+2x生2叵1+3,

222

整理得，3/+（2-4V3）n-12-4A/3=0,

解得“=一笳-2或2y（舍棄），

3_

：,M（泊,

33

解法二：連接M4,證明NMA8=30°,求出直線AM的解析式，構(gòu)建方程組確定點(diǎn)M

的坐標(biāo)即可.

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為殳返?或史返.

33

3.（2021?錦州）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線產(chǎn)斗+1分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A,

4

C,經(jīng)過點(diǎn)C的拋物線），=q/+法+。與直線y=[x+l的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)。的橫坐

標(biāo)為6.

（1）求拋物線的表達(dá)式.

(2)M為拋物線上的動點(diǎn).

①N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形CDMN為平行四邊形時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②如圖2,點(diǎn)M在直線CD下方，直線OM(OM//CD的情況除外)交直線CD于點(diǎn)B,

作直線BZ)關(guān)于直線0M對稱的直線，當(dāng)直線8。與坐標(biāo)軸平行時，直接寫出點(diǎn)

M的橫坐標(biāo).

點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),

令y=0,則3x+l=o，

4

?_4

??x-飛"

AA點(diǎn)坐標(biāo)為一,0),

3

令x=6,則丫=旦乂+1=紅，

42

???O點(diǎn)坐標(biāo)為(6,-y)-

將C,D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入到拋物線解析式中得,

'c=l

9+6b+c=當(dāng)，

\_3

解得(b]

c=l

2

拋物線的表達(dá)式為：y=lxJ-x+i；

44

(2)①設(shè)N(n,0),

：四邊形CQMN為平行四邊形，

.,.由平移與坐標(biāo)關(guān)系可得M(〃+6,9),

2

?.?點(diǎn)M在拋物線上,

二卷（n+6）2等（n+6）+l=*

/.M+9〃+4=0,

._-9±V65

??n--------------?

2__

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3+、質(zhì),2）或（上逗_,9）；

2222

②第一種情況：如圖1，當(dāng)〃、軸時，分別過A,。作無軸的垂線，垂足分別為”,

Q，

在直角△AOQ中，AQ=6+_1=22,￡>（2=11,

332

二tanN￡>AQ=3,

AQ4

cosZDAQ=—,

'：NBAH=ZDAQ,

.,.cosZBAH^-^^,

AB5

?.,直線BD與直線BD'關(guān)于直線OM對稱，

：.ZDBM=ZD'BM,

'：BD'〃x軸，

：.ZHOB=ZD'BM=NDBM,

：.AB=AO=^,

3

.AH_j4

.?工7'

~3

15

：.OH=AH+AO=^.

5

^x=-―,貝ij>=旦乂+1=一￡,

545

.?.8點(diǎn)坐標(biāo)為（-」2,-A）,

55

設(shè)直線08的解析式為y=fcv，代入點(diǎn)B得，k=l,

3

直線OB的解析式為y=L,

3

1

聯(lián)立，

123,

丫7-jx+i

4

xl=3X2=3

解得，

4丫2=1

yo

...點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3或匡,

3

第二種情況，如圖2,當(dāng)BD'〃），軸時，設(shè)8。'交x軸于從

：.ZCOB=ZOBH,

直線BD與直線BD'關(guān)于直線0M對稱,

，NCBO=NOBH=ACOB,

：.CB=CO=\,

過C作CELBH于E,

.?.CE〃x軸，

.'.ZBCE^ZCAO,

；tan/CA0=8_=3,

AO4

.".cosZCAO=-,

5

：.cosZBCE=^-=^,

BC5

.?.CC'hP——4ngQ/i—=—4,

ob

BE=VBC2-CE2=4'

D

:CELBH,軸，

ZCEH=ZBHO=NCOH=90°,

...四邊形CEHO為矩形，

：.EH=CO=1,CE=OH=^,

5

：.BH=BE+EH=&,

5

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為(￡,■),

55

二直線OB的解析式為y=2x,

y=2x

聯(lián)立

（123/

T+1

化簡得，%211X+4=0,

..x=2

?.?點(diǎn)M在直線C￡＞下方,

.\x<6,

.??人l-1--1----V--W---5--,

2

.?.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為11一人,

2

即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3或9或止殛

32

圖2

4.(2021?丹東)如圖，已知點(diǎn)A(-8,0),點(diǎn)B(-5,-4),直線)=2尤+加過點(diǎn)2交y

軸于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)。，拋物線y=o?+4L+c經(jīng)過點(diǎn)A、C、D,連接A3、AC.

4

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由；

(3)E為直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，且tan/EC4=工，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

2

(4)N為線段AC上的動點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段

BN運(yùn)動到點(diǎn)N,再以每秒找個單位長度的速度沿線段NC運(yùn)動到點(diǎn)C,又以每秒1個

單位長度的速度沿線段CO向點(diǎn)。運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)。后停止，請直接寫出上述運(yùn)

動時間的最小值及此時點(diǎn)N的坐標(biāo).

【解答】解：(1)?.?直線y=2x+加過點(diǎn)8(-5,4),交y軸于點(diǎn)C,

-4=2X(-5)+m,

解得：加=6,

：.C(0,6),

將A(-8,0)、C(0,6)代入y=ax2W^x+c，

得.(0=64a-22+c

Ic=6

解得一a%,

c=6

拋物線的表達(dá)式為y^|x24X+6；

(2)ZVIBC為直角三角形，且NBAC=90°,

理由如下：：點(diǎn)A(-8,0),點(diǎn)8(-5,-4),點(diǎn)C(0,6),

：.AB2=(-8+5)2+(0+4)2=25,4c2=(-8+0)2+(0-6)2=100,Z?C2=(-5+0)

2+(-4-6)2=125,

:.AC2+AB2=BC2,

.'.△ABC為直角三角形，且NBAC=90°；

(3)由(2)知A3=5,AC=10,

tanZBCA=絲_」=tanZECA,

AC2

：.ZBCA=ZECA,

如圖1,延長54至F,使A/=A8,連接CF,則點(diǎn)8、尸關(guān)于點(diǎn)A對稱,

圖1

：.F(-11,4),

VZBAC=ZMC=90",AF^AB,AC=AC,

.,.△MC^ABAC(SAS),

：.ZBCA=ZFCA,

...點(diǎn)E為直線CF與拋物線的交點(diǎn),

設(shè)直線CF的解析式為y=fcr+b,

則尸解得：k哈，

...直線CF的解析式為y哈x+6.

2

y=y^x+6

聯(lián)立方程組《

1211r

y=^-x-t-^-x+6

44

113

「或

x=0(舍去),

解得：，

y=6

y121

故點(diǎn)E坐標(biāo)為(金巳，獨(dú));

11121

(4)過N作MNJ_BC于M,過尸作FM_LBC交AC于M,連接FM則FN=BN,

；.MN=黑，又C0=6,

V5

.,.點(diǎn)P運(yùn)動時間^0-=BN+MN+6^FN+MN+6^FM'+6,

1V51

當(dāng)F、N、M三點(diǎn)共線時，f最小,

'：AC=\O,BC=5娓,

sinN4BC=~^=^ZL=FM',

BC5BF

：.FM=4?，

點(diǎn)P運(yùn)動時間t的最小值為小而+6,

由直線BC的表達(dá)式），=2x+6得點(diǎn)￡＞坐標(biāo)為（-3,0）,

FD=V(-11+3)2+42=4V5，

二點(diǎn)。與點(diǎn)M重合，則點(diǎn)N（即M）為直線尸。與直線AC的交點(diǎn),

由點(diǎn)A（-8,0）和C（0,6）得直線AC的表達(dá)式為y/_x+6.

由點(diǎn)尸（-11,4）和。（-3,0）得直線FD的表達(dá)式為丫=」火出

丫22

2

yqx+6x=-6

聯(lián)立方程組《,力解得：，_3

13y3

y22

此時N坐標(biāo)為（-6,3）.

2

蔣xWx+m(x<m),記該函數(shù)圖象為G.

5.(2021?大連)已知函數(shù)y=<

x2-mx+m(x》m)

(1)當(dāng)加=2時,

①已知M(4,/?)在該函數(shù)圖象上，求〃的值；

②當(dāng)0WxW2時，求函數(shù)G的最大值.

(2)當(dāng)機(jī)>0時，作直線x=L〃與x軸交于點(diǎn)P,與函數(shù)G交于點(diǎn)。，若NPOQ=45°

2

時，求小的值；

(3)當(dāng)機(jī)W3時，設(shè)圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,過點(diǎn)8作交直線x

=加于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a,C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c,若“=-3c,求相的值.

【解答】解：(1)當(dāng)機(jī)=2時,

①(4,n)在該函數(shù)圖象上，

.?.“=42-2X4+2=10；

②當(dāng)0Wx<2時，y=-H+L+2=-A(%-A)2+22,

22228

.?.當(dāng)X=工時，y有最大值是22，

28

當(dāng)x=2時，y=22-2X2+2=2,

：2<2』，

8

...當(dāng)0WxW2時，函數(shù)G的最大值是2工；

8

(2)分兩種情況：

①如圖1,當(dāng)。在x軸上方時，由題意得：OP=L”,

2

???△POQ是等腰直角三角形,

：.OP=PQ,

解得：7711=0,7772=6,

Vm>0,

??加=6；

②當(dāng)Q在x軸下方時，同理得:-X^7=—W(—Tn)2-—P—TT-m

22222

解得：7/21=0,mi=14,

V/w>0,

.?.6=14；

綜上，機(jī)的值是6或14；

（3）分兩種情況：

①如圖2,當(dāng)時，過點(diǎn)。作C。，），軸于。,

OB=m,

?：CD=m,

:.CD=OB,

VAB1BC,

AZABC=ZABO+ZCBD=90°,

:NCBD+NBCD=90°,

???/ABO=NBCD,

VZAOB=ZCDB=90°,

:?△ABO會/\BCD(ASA),

：.OA=BDf

當(dāng)xV加時，y=0,即-Xr2+Ax+/n=O,

22

x2-x-2m=0,

解得：XI=171+8m,&=1W1+8m,

____22

.?Q=yi+8mH,且-上w，〃W3,

28

?.?點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為小C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c,若a=-3c

.,.OD—c--工，

3

ABD-OD=m+.

3

?：OA=BD,

+

?Vl8m1—/17?1lf/l+8m

232

解得：%1=0（此時，A,B,C三點(diǎn)重合，舍），加2=型;

當(dāng)X2加時，y=0,PJiJx2-mx+m=O,

1n

解得：xi=.""-軸,也311r"1n~~4m（舍）,

22

m+ym^-4m=a

"I-'

解得：，*i=0,ni2=~—;

21

綜上，機(jī)的值是理■或-」且

921

6.(2021?營口)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=3/+〃x+c過點(diǎn)A(0,-2),

B(2,0),點(diǎn)C為第二象限拋物線上一點(diǎn)，連接AB,AC,BC,其中AC與x軸交于點(diǎn)

E,且tan/0BC=2.

（1）求點(diǎn)C坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)、PCm,0）為線段8E上一動點(diǎn)（尸不與8,E重合），過點(diǎn)P作平行于y軸的直

線/與△A8C的邊分別交于M,N兩點(diǎn)，將△BMN沿直線MN翻折得到4夕MN,設(shè)四

邊形B'NBM的面積為S,在點(diǎn)P移動過程中，求S與〃？的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，若S=3SAACB,請直接寫出所有滿足條件的加值.

【解答】解：(1):?拋物線y=3/+hx+c過點(diǎn)A(0,-2),B(2,0),

.(c=-2

112+2b+c=0

解得，bT,

1c=_2

拋物線的解析式為y=3--5x-2,

如圖1中，設(shè)BC交y軸于￡>.

：tanNOBO=2="OB=2,

OB

：.OD=4,

：.D(0,4),

設(shè)直線BO的解析式為y="+b,則有(b=4,

l2k+b=0

解得(k=W

1b=4

...直線BD的解析式為y=-2x+4,

由(y=-2;+4,解得卜=2(即點(diǎn)B)或卜=7,

y=3x-5x-2Iy=0Iy=6

C(-1,6).

(2)VA(0,-2),B(2,0),C(-1,6),

直線AB的解析式為y=x-2,直線AC的解析式為y=-8x-2,

：.E(-A,0),

4

當(dāng)0V〃?<2時，；P(m,0),

AM(m,-2m+4),N(m,m-2),

:?MN=~2〃?+4-〃?+2=-3M+6,

.?.S=2?83'?MN=LX2(2-m)X(-3〃?+6)=3w2-12^+12.

22

當(dāng)-JLV.WO時，如圖2中，(〃?，0),

4

:.M(m,-2m+4),N(m,-8/H-2),

:.MN=-2m+4+8m+2=6m+6,

：.S=^BB'(2-m)X(6/n+6)=-6nr+6m+l2.

22

-6m2+6m+12(一〈irtCO)

綜上所述，S=《

3m2-12m+12(0<m<2)

(3):直線AC交x軸于E(-工，0),B'(2優(yōu)-2,0),

當(dāng)-6w2+6m+12=3xAx|2m-2+!X8,

24

解得,”=一3±而或5土/而(都不符合題意舍棄)，

22

當(dāng)3w2-12m+12=3xAx|2m-2+A|X8,

24

解得，"=1或11(舍棄)或-2+V7或-2-77(舍棄),

綜上所述，滿足條件的nr的值為1或-2+V7.

7.(2020?阜新)如圖，二次函數(shù)y=/+fex+c的圖象交x軸于點(diǎn)A(-3,0),B(1,0),

交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)尸(機(jī)，0)是x軸上的一動點(diǎn)，軸，交直線AC于點(diǎn)交拋

物線于點(diǎn)N.

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)①若點(diǎn)尸僅在線段AO上運(yùn)動，如圖，求線段MN的最大值；

②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使以M,N,C,。為頂點(diǎn)的四邊形

為菱形.若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)把A(-3,0),B(1,0)代入y=/+fer+c中，得(9-3b+c=0

Il+b+c=0

解得產(chǎn)，

lc=-3

.?.y=/+2x-3.

(2)①設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=h+b,把A(-3,0),C(0,-3)代入y=fct+b',得

b'=-3

-3k+b，=0

解得k=-l

by=-3

?"=-x-3,

??,點(diǎn)尸（加，0）是x軸上的一動點(diǎn)，且PM_Lx軸.

?'?M("?,-m-3),N(7?7,rr^+2m-3),

:.MN=(--3)-(nr+2m-3)---3m--(w+—)

2

a=-1<0,

...此函數(shù)有最大值.

又?.?點(diǎn)P在線段04上運(yùn)動，且-3<-旦<0,

2

...當(dāng)〃―一旦時，MN有最大值9.

24

②如圖2-1中，當(dāng)點(diǎn)M在線段AC上，MN=MC,四邊形MNQC是菱形時.

?;MN=-m2-3m,MC--y[2m,

-zn2-3m=-5/2/n,

解得m=-3+&或0(舍棄)

:.MN=3近-2,

:.CQ=MN=3近-2,

；.OQ=3&+1,

：.Q(0,-3&-1).

如圖2-2中，當(dāng)MC是菱形的對角線時，四邊形MNCQ是正方形，此時CN=MN=C。

=2,可得。（0,-1）.

如圖2-3中，當(dāng)點(diǎn)M在C4延長線上時，MN=CM,四邊形MNQC是菱形時,

則有，川+3m=-企優(yōu)，

解得rn=-3-&或0（舍棄）,

:.MN=CQ=3五+2,

：.OQ=CQ-OC=3-J2-1，

：.Q（0,3近-1）.

當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時，顯然MN>CM,此時滿足條件的菱形不存在.

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-3&-1）或（0,-1）或（0,3a-1）.

8.(2020?盤錦)如圖1,直線y=x-4與x軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)4,拋物線y=-Ij^+bx+c

2

經(jīng)過點(diǎn)8和點(diǎn)C(0,4),△ABO沿射線AB方向以每秒五個單位長度的速度平移，平

移后的三角形記為△￡>￡/(點(diǎn)A,B,。的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)。，E,F),平移時間為1(0

(2)當(dāng)tanNEMF=_l時，請直接寫出，的值；

3

(3)如圖2,點(diǎn)N在拋物線上，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)是點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的工，連接OM,NF,

2

與NF相交于點(diǎn)P,當(dāng)NP=FP時,求t的值.

【解答】解：(1)..?直線y=x-4與x軸交于點(diǎn)8,與)，軸交于點(diǎn)A,

：.B(4,0),4(0,-4),

把8(4,0),C(0,4)代入y=-12+笈+。得至，

21-8+4b+c=0

解得卜=1,

Ic=4

拋物線的解析式為y=--lr+x+4.

2

(2)如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M在線段。尸的上方時,

由題意得，￡)(r,t-4),則M(r,--l?+r+4),

2

：.DM=-l?+8,

2

在尸中，tan/￡70尸=旦［='=?1,

FMFM3

；.MF=3,

,:DF=EF=4,

：.-4+8=7,

2

:.t=?或-M(舍棄).

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)M上方時，可得0M=1,即-2？+8=1,

2

.1=5/五或-0Z(舍棄)，

綜上所述，f的值為&或04.

(3)如圖2中，過點(diǎn)N作NT〃y軸于7.由題意得O(f,「4),則M(f,-A?+r+4),

2

N(An-_Lp+_Lf+4),T(Ar,-A?+Ar+2),F(t,t)

282242

■:NT〃FM,

：.ZPNT=ZPFM,

?:/NPT=NMPF,PN=PF,

:?△NPT"XFPM(ASA),

：?NT=MF,

：.-2p+_l，+4-(-A?+L+2)=-—t,

82422

解得右延?或-生應(yīng)(舍棄)，

55

.?/的值為生叵.

5

9.(2020?錦州)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-"+bx+c交x軸于A(-3,0),B(4,

3

0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖，直線y=&x造與拋物線交于A，。兩點(diǎn)，與直線BC交于點(diǎn)￡若

44

0)是線段AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F,交直線A。于點(diǎn)G,

交直線BC于點(diǎn)H.

①當(dāng)點(diǎn)尸在直線AD上方的拋物線上，且SAEFG=^SAOEG時，求m的值；

9

②在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使四邊形EFHP為正方形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.

【解答】解：（1）?.?拋物線）一.Xr+/?x+c交x軸于A-3,0),B(4,0)兩點(diǎn),

3

，y=-2(x+3)(x-4)=

3

(2)①如圖1,,:B(4,0),C(0,4),

.?.設(shè)BC的解析式為：y=kx+n,

則14k如二°,解得卜=-1,

\n=4In=4

...BC的解析式為：y=-x+4,

-x+4=3v*,

44

解得：X=l,

：.E(1,3),

,：M(m,0),且軸，

2

；.G(m,卷1ns),卜｛tn,-^-m

?5AEFG——~S/\OEG，

9

,',4-FGX(XF-XF)=