第3章圖形變換

3.1二維圖形坐標(biāo)的基本變換3.2二維圖形的基本變換3.3二維齊次坐標(biāo)和齊次變換矩陣3.4二維圖形的組合變換

3.5三維圖形的變換3.6三維圖形的投影變換

圖形變換一般是指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過(guò)幾何變換后產(chǎn)生新的幾何圖形。圖形變換既可以看作是坐標(biāo)系不動(dòng)而圖形變動(dòng)，變動(dòng)后的圖形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值發(fā)生變化；也可以看作圖形不動(dòng)而坐標(biāo)系變動(dòng)，變動(dòng)后，該圖形在新的坐標(biāo)系下具有新的坐標(biāo)值，這兩種情況本質(zhì)上是一樣的。圖形變換歸結(jié)為對(duì)組成圖形的點(diǎn)集坐標(biāo)的變換。編輯修改、從各種視角觀察幾何實(shí)體，動(dòng)畫(huà)仿真、裝配等操作都是通過(guò)坐標(biāo)點(diǎn)的平移、比例、旋轉(zhuǎn)、鏡射和錯(cuò)切等的幾何變換實(shí)現(xiàn)的。本章介紹二維、三維基本幾何變換以及投影變換。

3.1點(diǎn)的矩陣表示

在二維空間中，用坐標(biāo)（x，y）表示平面上的一點(diǎn)。為了便于進(jìn)行各種變換運(yùn)算，通常把二維空間中的點(diǎn)表示成21行矩陣或者表示成12列矩陣。即二維圖形的矩陣表示

點(diǎn)是構(gòu)成圖形的最基本要素。一個(gè)三維實(shí)體可以看成是由若干個(gè)面圍成的，而面則是由線圍成的，一條曲線可以看作是由許多短直線段擬合而成，一條直線則是由兩個(gè)端點(diǎn)連接而成的。所以，一般情況下，可以認(rèn)為圖形是一個(gè)點(diǎn)集。因此，圖形實(shí)體的變換實(shí)際上就是點(diǎn)集的變換，而點(diǎn)的幾何變換則是圖形變換的基礎(chǔ)。點(diǎn)是構(gòu)成圖形的最基本要素，可用點(diǎn)的集合（簡(jiǎn)稱點(diǎn)集）來(lái)表示一個(gè)二維圖形，其矩陣的形式為：3.2二維圖形的基本變換

在計(jì)算機(jī)繪圖中，常常要對(duì)圖形進(jìn)行比例、鏡射、旋轉(zhuǎn)、平移、投影等各種變換，既然圖形可以用點(diǎn)集來(lái)表示，那么，二維圖形的基本變換就可以通過(guò)點(diǎn)集的變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。點(diǎn)的位置改變了，圖形就會(huì)隨之改變。即：舊點(diǎn)（集）×變換矩陣新點(diǎn)（集）

平移變換

平移是指點(diǎn)從一個(gè)位置移動(dòng)到另一個(gè)位置的直線移動(dòng)，即點(diǎn)。令X、Y軸方向的偏移量分別為l和m，則或平移變換如圖3.1所示，圖中實(shí)線圖形框?yàn)樵嘉恢茫摼€圖形框?yàn)檠豖軸平移l和沿Y軸平移m所到達(dá)的位置。比例變換

設(shè)a和d分別為X、Y軸方向的縮放比例系數(shù)。則點(diǎn)，變換為或式中，稱為比例變換矩陣。

比例變換如圖所示，圖中實(shí)線圖形框?yàn)樵紙D形，虛線圖形框放大2倍后的圖形。比例因子a和d分別取不同的值（a，d>0）將獲得不同的變換結(jié)果：恒等變換：，變換后點(diǎn)的坐標(biāo)不變。

等比變換：，當(dāng)時(shí)，變換后圖形等比例放大如圖所示。

OXY

若，變換后圖形產(chǎn)生畸變

OXY旋轉(zhuǎn)變換

設(shè)點(diǎn)（x，y）繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，則點(diǎn)的變換為或

式中，為旋轉(zhuǎn)變換矩陣。鏡射變換

鏡射變換即產(chǎn)生圖形的鏡像，用來(lái)計(jì)算鏡射圖形，也稱為對(duì)稱變換。包括對(duì)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)、±45°直線和任意直線的鏡射變換。

1.對(duì)X軸的鏡射變換對(duì)X軸的鏡射變換應(yīng)有，變換矩陣為：T=，變換結(jié)果如圖所示。

2.對(duì)Y軸的鏡射變換

變換矩陣為：，變換結(jié)果如圖所示。

3.對(duì)原點(diǎn)的鏡射變換變換矩陣為：

OXY對(duì)Y軸鏡射原始位置對(duì)原點(diǎn)鏡射對(duì)X軸鏡射4.對(duì)±45°線的鏡射變換

（1）對(duì)+45°線的鏡射對(duì)+45°線的鏡射應(yīng)有：,則變換矩陣為：，鏡射變換結(jié)果如圖所示。（2）對(duì)-45°線的鏡射變換對(duì)-45°線鏡射，，則變換矩陣為：，對(duì)±45°線的鏡射變換結(jié)果如圖所示。

OXY對(duì)+45°線原始位置對(duì)-45°線鏡射對(duì)+45°線鏡射錯(cuò)切變換

錯(cuò)切用于描述受到扭曲、剪切后的幾何體形狀。在沿X軸的錯(cuò)切變換中，y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)有一增量。變換后原來(lái)平行于Y軸的直線，向X軸方向錯(cuò)切成與X軸成一定的角度。而在沿Y軸的錯(cuò)切變換中，x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)有一增量。變換后原來(lái)平行于X軸的直線，向Y軸方向錯(cuò)切成與Y軸成一定的角度。===式中，為錯(cuò)切變換矩陣，其中c和b不同時(shí)為0。沿X軸向錯(cuò)切令錯(cuò)切變換矩陣中的b=0，且c≠0，其變換就是沿X軸方向的錯(cuò)切。Y（20,10）（30,10）OXY（a）原始圖形（b）沿X軸方向錯(cuò)切（c）沿Y軸方向錯(cuò)切OXYOX（10,30）（10,20）（0,10）（0,0）（10,0）（10,10）（10,0）（0,10）2.沿Y軸向錯(cuò)切令錯(cuò)切變換矩陣中的c=0，且b≠0，其變換就是沿Y軸方向的錯(cuò)切。3.3二維齊次坐標(biāo)和齊次變換矩陣二維齊次坐標(biāo)

前面我們已經(jīng)介紹了五種基本變換，除了平移變換以外，其余四種變換的系數(shù)都可以用一個(gè)22矩陣來(lái)表示，即。變換矩陣中a、b、c、d為變換比例因子，它們?nèi)≈挡煌梢詫?shí)現(xiàn)各種不同變換。如前面所設(shè)，令X、Y軸方向的偏移量分別為l和m，考慮到上面的22變換矩陣，進(jìn)一步推導(dǎo)平移變換：=其系數(shù)矩陣應(yīng)為。

為了統(tǒng)一，可以將二維基本變換矩陣的形式由2×2階矩陣擴(kuò)充成一個(gè)3×2階矩陣，即

這樣以來(lái)又出現(xiàn)了一個(gè)新的問(wèn)題，即二維圖形的點(diǎn)集矩陣是n×2階，而變換矩陣是3×2階，二者無(wú)法相乘，不能進(jìn)行圖形變換運(yùn)算。為此，引入齊次坐標(biāo)的概念。在齊次坐標(biāo)系中，n維空間的位置矢量，用n+1維矢量表示，即二維空間的位置矢量用三維矢量表示。一個(gè)二維位置矢量用齊次坐標(biāo)表示即為，其中的h為附加坐標(biāo)，是一個(gè)不為零的參數(shù)。齊次坐標(biāo)規(guī)范化坐標(biāo)形式

通過(guò)二維點(diǎn)的齊次坐標(biāo)表示，把二維圖形的點(diǎn)集矩陣擴(kuò)充為n×3階矩陣。這樣，點(diǎn)集矩陣就可以同變換矩陣進(jìn)行乘法運(yùn)算了：

=二維齊次變換矩陣

為了使二維變換矩陣具有更多的功能，可將3×2階變換矩陣進(jìn)一步擴(kuò)充為3×3階矩陣，這個(gè)3×3階矩陣中各元素的功能和幾何意義各不相同，可以分割成四塊：

其中，2×2階矩陣可以實(shí)現(xiàn)圖形的比例、鏡射、錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)等變換；1×2階矩陣可以實(shí)現(xiàn)圖形的平移變換；2×1階矩陣可以實(shí)現(xiàn)圖形的透視變換；而可以實(shí)現(xiàn)圖形的全比例變換。3.4二維圖形的組合變換

有些變換僅用一種基本變換是不能實(shí)現(xiàn)的，必須有兩種或多種基本變換組合才能實(shí)現(xiàn)。這種由多種基本變換組合而成的變換稱之為組合變換，相應(yīng)的變換矩陣叫做組合變換矩陣。組合變換的目的是對(duì)一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行一次性變換，使得變換的效率更高。1.繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換

平面圖形繞任意點(diǎn)p（x*，y*）旋轉(zhuǎn)角，需要通過(guò)以下幾個(gè)步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)：（1）將旋轉(zhuǎn)中心平移到原點(diǎn)，變換矩陣為：（2）將圖形繞坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，變換矩陣為：

（3）將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來(lái)位置，變換矩陣為：

因此，繞任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：2.對(duì)任意直線的鏡射變換基本變換中的鏡射變換適用于通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的任意直線。如果直線不通過(guò)原點(diǎn)，則首先將該直線平移，使其過(guò)原點(diǎn)，然后再沿用基本的鏡射變換，即可求得相對(duì)于任意直線的鏡射變換矩陣。

設(shè)任意直線的方程為：Ax+By+C=0，直線在x軸和y軸上的截距分別為-C/A和-C/B，直線與x軸的夾角為，=arctg（-A/B）。如圖3.7所示，對(duì)任意直線的鏡射變換可由以下幾個(gè)步驟來(lái)完成：

-C/A

-C/BXOYX（1）平移直線，沿x向?qū)⒅本€平移，使其通過(guò)原點(diǎn)（也可以沿y向平移），其變換矩陣為：（2）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使直線與x坐標(biāo)軸重合（也可以與y軸重合），變換矩陣如下：=

（3）對(duì)于x軸進(jìn)行鏡射變換，其變換矩陣為：

（4）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使直線回到原來(lái)與x軸成角的位置，變換矩陣為：

（5）平移直線，使其回到原來(lái)位置，變換矩陣為：

通過(guò)以上五個(gè)步驟，即可實(shí)現(xiàn)圖形對(duì)任意直線的鏡射變換。其組合變換如下：

3.組合變換順序?qū)D形的影響通過(guò)上面的變換可以看出，組合變換是通過(guò)基本變換的組合而成的，點(diǎn)或點(diǎn)集的多次變換可以一次完成，這要比逐次進(jìn)行變換效率高。由于矩陣的乘法不符合交換律，即：[A][B]≠[B][A]，因此，組合的順序一般是不能顛倒的，順序不同，則變換的結(jié)果亦不同。圖3.8、圖3.9顯示了對(duì)T字圖形進(jìn)行不同順序的基本變換的組合變換結(jié)果，圖中數(shù)字表示圖形變換的先后順序。圖3.8先平移后旋轉(zhuǎn)圖3.9旋轉(zhuǎn)后平移O

XYO123O

XY213三維圖形的變換

三維基本變換矩陣

三維圖形的變換是二維圖形變換的簡(jiǎn)單擴(kuò)展，在齊次坐標(biāo)系，二維變換可以用33階矩陣表示，三維變換可以用44階矩陣表示。三維點(diǎn)為，它的齊次坐標(biāo)為。三維變換矩陣則用44階矩陣表示，同樣可以把三維基本變換矩陣劃分為四塊：

三維基本變換矩陣中各子矩陣塊的幾何意義如下：

產(chǎn)生比例、鏡射、錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)等基本變換。

產(chǎn)生平移變換

產(chǎn)生透視變換

產(chǎn)生全比例變換三維基本變換

平移變換將空間一點(diǎn)（x，y，z）平移一個(gè)新的位置（x*，y*，z*）,其變換矩陣為：

平移變換運(yùn)算為：==式中l(wèi)，m，n分別為沿x，y，z方向上的平移偏移量。

旋轉(zhuǎn)變換三維旋轉(zhuǎn)變換可分為繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變換和繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換?？梢园讶S旋轉(zhuǎn)變換看成是三個(gè)繞X，Y，Z軸的二維旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)變換方法與二維相似，但三維旋轉(zhuǎn)變換要比二維復(fù)雜得多。三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣如下：（1）繞X軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣為：

（2）繞Y軸旋轉(zhuǎn)β角的變換矩陣為：

（3）繞Z軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣為：

ZOXY（a）繞X軸旋轉(zhuǎn)90°（b）繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°（c）繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°圖3.10繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換ZOXYZOXY幾何形體分別繞X，Y，Z軸旋轉(zhuǎn)90°的變換結(jié)果如圖3.10所示。

比例變換三維基本變換矩陣左上角的33矩陣的主對(duì)角線上的元素a，e，j的作用是使幾何體產(chǎn)生比例變換。相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的三維比例變換矩陣為：

比例變換運(yùn)算如下：

=·Ts=鏡射變換

三維鏡射變換包括對(duì)原點(diǎn)、對(duì)坐標(biāo)軸和對(duì)坐標(biāo)平面的鏡射。鏡射平面的變換矩陣如下：（1）對(duì)XOY平面的鏡射變換矩陣為：

（2）對(duì)XOZ平面的鏡射變換矩陣為：

（3）對(duì)YOZ平面的鏡射變換矩陣為：

錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換是指三維立體沿X，Y，Z三個(gè)方向產(chǎn)生錯(cuò)切，錯(cuò)切變換是畫(huà)斜軸測(cè)圖的基礎(chǔ)，其變換矩陣為：

==

三維基本變換矩陣的組合

與二維組合變換一樣，通過(guò)對(duì)三維基本變換矩陣的組合，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)三維幾何體的復(fù)雜變換。

3.6三維圖形的投影變換

投影是把空間幾何形體投射到投影面上而得到平面圖形，其分類如下：三維投影是由投影中心發(fā)射的多條投影射線通過(guò)幾何形體上的每一個(gè)點(diǎn)，最后交于投影平面上，從而構(gòu)成了三維幾何形體的投影。一般情況下，三維直線段經(jīng)過(guò)投影以后，仍然是直線段，直線段的投影變換實(shí)際上就是對(duì)直線段的兩個(gè)端點(diǎn)的投影變換。因此，幾何形體（可用點(diǎn)集表示）的投影變換也就是點(diǎn)集的投影變換。平行投影與透視投影不同之處就在于投影中心（光源）、被投影的幾何體、投影平面三者之間的位置關(guān)系不同。當(dāng)光源距離被投影的幾何體有限遠(yuǎn)時(shí)，從光源發(fā)出的射線發(fā)散，投影到投影平面上的圖形被放大。圖形本身各點(diǎn)也因同投影中心的遠(yuǎn)近不同而投影平面上產(chǎn)生變形，從而呈現(xiàn)較強(qiáng)的立體感。而當(dāng)光源距離幾何形無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，可以把光線看成是相互平行的，投影到平面上的圖形反映幾何形體的實(shí)形和實(shí)長(zhǎng)，但投影圖形缺少立體感。平行投影變換

1.正投影變換因?yàn)閹缀涡误w的一個(gè)投影不能確定其空間狀態(tài)，為了準(zhǔn)確地表達(dá)幾何形體，將幾何形體放在由三個(gè)相互垂直的投影面中，三個(gè)投影面兩兩相交，互相垂直，其三條交線形成坐標(biāo)軸，也是投影方向。正投影就是利用這三個(gè)獨(dú)立的二維投影圖來(lái)表示一個(gè)三維幾何形體。

正投影變換的方法可以形成三面視圖，圖3.12表示物體與三個(gè)投影平面（XOZ，XOY，ZOY）的相對(duì)位置關(guān)系。由正投影變換得到的三個(gè)投影圖（三視圖）需要放在一個(gè)平面上，如繪圖機(jī)輸出、屏幕顯示等。因此，需要將三個(gè)投影圖再進(jìn)一步變換到同一平面上。變換的方法是XOZ面不動(dòng)，將XOY面繞OX軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再將ZOY面繞OZ軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，這樣就在一個(gè)平面內(nèi)得到幾何形體的三個(gè)投影圖。（1）正面投影將物體向正面（XOZ面）投影，即令y=0，變換矩陣為：

（2）水平面投影將物體向水平面（XOY面）投影，即令z=0，然后將所得到的投影再繞X軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°