選修1-1第三章一、選擇題1．汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數，其圖象可能是eq\x(導學號92600741)()[答案]A[解析]加速過程，路程對時間的導數逐漸變大，圖象下凸；減速過程，路程對時間的導數逐漸變小，圖象上凸，故選A．2．(2023·廣東東莞高二檢測)若商品的年利潤y(萬元)與年產x(百萬件)的函數關系式y＝－x3＋27x＋123(x>0)，則獲得最大利潤時的年產量為eq\x(導學號92600742)()A．1百萬件 B．2百萬件C．3百萬件 D．4百萬件[答案]C[解析]依題意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，當0<x<3時，y′>0；當x>3時，y′<0.因此，當x＝3時，該商品的年利潤最大．3．某箱子的容積與底面邊長x的關系為V(x)＝x2·(eq\f(60－x,2))(0<x<60)，則當箱子的容積最大時，箱子底面邊長為eq\x(導學號92600743)()A．30 B．40C．50 D．35[答案]B[解析]V′(x)＝(30x2－eq\f(x3,2))′＝60x－eq\f(3,2)x2，x∈(0,60)．令V′(x)＝0，得x＝40.∴當x＝40時，箱子的容積有最大值．4．某工廠要建造一個長方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價為15元，箱壁每1m2的造價為12元，A．900元 B．840元C．818元 D．816元[答案]D[解析]設箱底一邊的長度為xm，箱子的總造價為l元，根據題意得箱底面積為eq\f(48,3)＝16(m2)，箱底另一邊的長度為eq\f(16,x)m，則l＝16×15＋(2×3x＋2×3×eq\f(16,x))×12＝240＋72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))，l′＝72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(16,x2))).令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．當0<x<4時，l′<0；當x>4時，l′>0.故當x＝4時，l有最小值816.因此，當箱底是邊長為4m的正方形時，箱子的總造價最低，最低總造價是816元．5．某產品的銷售收入y1(萬元)是產量x(千臺)的函數：y1＝17x2(x>0)；生產成本y2(萬元)是產量x(千臺)的函數：y2＝2x3－x2(x>0)，為使利潤最大，則應生產eq\x(導學號92600745)()A．6千臺 B．7千臺C．8千臺 D．9千臺[答案]A[解析]設利潤為y(萬元)，則y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，令y′>0，得0<x<6，令y′<0，得x>6，∴當x＝6時，y取最大值，故為使利潤最大，則應生產6千臺．6．設底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時，底面邊長為eq\x(導學號92600746)()A．eq\r(3,V) B．eq\r(3,2V)C．eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)[答案]C[解析]如圖，設底面邊長為x(x>0)，則底面積S＝eq\f(\r(3),4)x2，∴h＝eq\f(V,S)＝eq\f(4V,\r(3)x2).S表＝x·eq\f(4V,\r(3)x2)×3＋eq\f(\r(3),4)x2×2＝eq\f(4\r(3)V,x)＋eq\f(\r(3),2)x2，S′表＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)，令S′表＝0得x＝eq\r(3,4V)，因為S表只有一個極值，故x＝eq\r(3,4V)為最小值點．二、填空題7．(2023·山東淄博月考)某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝________噸.eq\x(導學號92600747)[答案]20[解析]設該公司一年內總共購買n次貨物，則n＝eq\f(400,x)，∴總運費與總存儲費之和f(x)＝4n＋4x＝eq\f(1600,x)＋4x，令f′(x)＝4－eq\f(1600,x2)＝0，解得x＝20，x＝－20(舍)，x＝20是函數f(x)的最小值點，故x＝20時，f(x)最小．8．做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27π，且用料最小，則圓柱的底面半徑為\x(導學號92600748)[答案]3[解析]設圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則V＝πR2L＝27π，∴L＝eq\f(27,R2)，要使用料最省，只需使圓柱形表面積最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋eq\f(54π,R)，∴S′(R)＝2πR－eq\f(54π,R2)＝0，令S′＝0得R＝3，∴當R＝3時，S表最小．9．用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為21，該長方體的最大體積是\x(導學號92600749)[答案]3[解析]設長方體的寬為x，則長為2x，高為eq\f(9,2)－3x(0<x<eq\f(3,2))，故體積為V＝2x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－3x))＝－6x3＋9x2，V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，∵0<x<eq\f(3,2)，∴x＝1.∴該長方體的長、寬、高各為2m、1m、1.5m三、解答題10．用邊長為120cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90°角，再焊接成水箱．問：水箱底邊的長取多少時，水箱容積最大？最大容積是多少？eq\x(導學號92600750)[解析]設水箱底邊長為xcm，則水箱高為h＝60－eq\f(x,2)(cm)．水箱容積V＝V(x)＝60x2－eq\f(x3,2)(0<x<120)(cm3)．V′(x)＝120x－eq\f(3,2)x2.令V′(x)＝0得，x＝0(舍)或x＝80.當x在(0,120)內變化時，導數V′(x)的正負如下表：x(0,80)80(80,120)V′(x)＋0－因此在x＝80處，函數V(x)取得極大值，并且這個極大值就是函數V(x)的最大值．將x＝80代入V(x)，得最大容積V＝802×60－eq\f(803,2)＝128000(cm3)．答：水箱底邊長取80cm時，容積最大，最大容積為128000一、選擇題1．某公司生產一種產品，固定成本為20000元，每生產一單位的產品，成本增加100元，若總收入R與年產量x(0≤x≤390)的關系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x,0≤x≤390，則當總利潤最大時，每年生產的產品單位數是eq\x(導學號92600751)()A．150 B．200C．250 D．300[答案]D[解析]由題意可得總利潤P(x)＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390.由P′(x)＝0，得x＝300.當0≤x≤300時，p′(x)>0；當300<x≤390時，P′(x)<0，所以當x＝300時，P(x)最大，故選D．2．三棱錐O－ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，則三棱錐O－ABC體積的最大值為eq\x(導學號92600752)()A．4 B．8C．eq\f(4,3) D．eq\f(8,3)[答案]C[解析]V＝eq\f(1,3)×eq\f(2x2,2)·y＝eq\f(x2y,3)＝eq\f(x23－x,3)＝eq\f(3x2－x3,3)(0<x<3)，V′＝eq\f(6x－3x2,3)＝2x－x2＝x(2－x)．令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．∴x＝2時，V最大為eq\f(4,3).3．某工廠需要建一個面積為512m2的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，則要使砌墻所用材料最省，則堆料場的長和寬各為eq\x(導學號92600753)()A．16m,16mC．32m,8m[答案]B[解析]如圖所示，設場地一邊長為xm，則另一邊長為eq\f(512,x)m.因此新墻總長度L＝2x＋eq\f(512,x)(x>0)，L′＝2－eq\f(512,x2).令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．∵L在(0，＋∞)上只有一個極值點，∴x＝16必是最小值點．∵x＝16，∴eq\f(512,x)＝32.故當堆料場的寬為16m，長為324．(2023·山東萊蕪高二月考)某城市在發展過程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關注，據有關統計數據顯示，從上午6時到9時，車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘)與車輛進行該路段的時刻t之間關系可近似地用如下函數給出：y＝－eq\f(1,8)t3－eq\f(3,4)t2＋36t－eq\f(629,4).則在這段時間內通過該路段用時最多的時刻是eq\x(導學號92600754)()A．6時 B．7時C．8時 D．9時[答案]C[解析]y′＝－eq\f(3,8)t2－eq\f(3,2)t＋36＝－eq\f(3,8)(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8.當6≤t<8時，y′>0；當8<t≤9時，y′<0，∴當t＝8時，y有最大值．二、填空題5．做一個容積為256的方底無蓋水箱，它的高為________時最省料.eq\x(導學號92600755)[答案]4[解析]設底面邊長為x，則高為h＝eq\f(256,x2)，其表面積為S＝x2＋4×eq\f(256,x2)×x＝x2＋eq\f(256×4,x)，S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，則x＝8，則當高h＝eq\f(256,64)＝4時S取得最小值．6．某商品一件的成本為30元，在某段時間內若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，要使利潤最大每件定價為________元.eq\x(導學號92600756)[答案]85[解析]設每件商品定價x元，依題意可得利潤為L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝eq\f(170,2)＝85.因為在(0,200)內L只有一個極值，所以以每件85元出售時利潤最大．三、解答題7．某廠生產某種產品的固定成本(固定投入)為2500元，已知每生產x件這樣的產品需要再增加可變成本C(x)＝200x＋eq\f(1,36)x3(元)，若生產出的產品都能以每件500元售出，要使利潤最大，該廠應生產多少件這種產品？最大利潤是多少？eq\x(導學號92600757)[解析]設該廠生產x件這種產品利潤為L(x)則L(x)＝500x－2500－C(x)＝500x－2500－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200x＋\f(1,36)x3))＝300x－eq\f(1,36)x3－2500(x∈N)令L′(x)＝300－eq\f(1,12)x2＝0，得x＝60(件)又當0≤x<60時，L′(x)>0x>60時，L′(x)<0所以x＝60是L(x)的極大值點，也是最大值點．所以當x＝60時，L(x)＝9500元．答：要使利潤最大，該廠應生產60件這種產品，最大利潤為9500元．8.(2023·廣東佛山檢測)如圖所示，有一塊半橢圓形鋼板，其長軸長為2，短半軸長為1，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記|CD|＝2x，梯形的面積為S.(1)求面積S以x為自變量的函數解析式，并寫出其定義域；(2)求面積S的最大值.eq\x(導學號92600758)[解析](1)依題意，建立以AB的中點O為原點，AB所在的直線為x軸的平面直角坐標系，如圖所示，則點C(x，y)滿足方程x2＋eq\f(y2,4)＝1，且x>0，y>0，∴y＝2eq\r(1－x2)(0<x<1)．∴S＝eq\f(1,2)(2x＋2)·2eq\r(1－x2)＝2(x＋1)eq\r(1－x2)(0<x<1)．(2)令f(x)＝