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PAGEPAGE8Ａ卷Ａ卷2006—2007學年第1學期《數值計算方法》期末試卷標準答案專業班級姓名學號開課系室數學院信息與計算科學系考試日期2006-12-28題號一二三四五六總分得分閱卷人一.填空題（每空2分，共40分）1.設是真值的近似值，則有

2

位有效數字。2.用二步法求方程在區間內的根，進行一步后根所在區間為，進行兩步后根所在區間為。3.設，則差商，。4.形如的插值型求積公式,其代數精度至少可達次，至多可達次。5.向量，,矩陣，則___3_____，Cond。6．對矩陣A作如下的Doolittle分解：，則，7.設，則

。8.解初值問題的改進歐拉法是階方法。9.設是次Lagrange插值基函數，則。10.已知是三次樣條函數，則，，。11.寫出求解方程組的Gauss-Seidel迭代公式為，迭代矩陣為。此迭代法是否收斂收斂。二.（12分）取步長，求解初值問題用改進的歐拉法求的值；用經典的四階龍格—庫塔法求的值。解：改進的歐拉法：（3分）所以；（6分）經典的四階龍格—庫塔法：（9分），所以。（12分）三.(12分)設函數在區間上具有四階連續導數，試求滿足下列插值條件的一個次數不超過3的插值多項式，并寫出其余項的表達式01212324123解：（5分）（8分）（10分）令，作輔助函數則在上也具有4階連續導數且至少有4個零點：反復利用羅爾定理可得：，所以(10分)四.（16分）1.（8分）用Gauss列主元消去法解方程組：解：（3分）(6分)(8分)2.(8分)給定數據x0.10.20.35.12345.30535.5684求一次最小二乘擬合多項式解：五．（12分）求積公式又知其誤差余項為試確定系數，使該求積公式有盡可能高的代數精度，指出其代數精確度的次數并確定誤差式中的值。解：將分別代入公式得：（6分）當時，左邊等于，右邊等于，所以求積公式最高代數精度為2。（9分）將代入有誤差項中的積分式中（12分）六.（下列2題任選一題，8分）1．設，試建立計算的牛頓迭代公式，并分析其收斂性。2．推導求解常微分方程初值問題形式為的公式，使其精度盡量高，并指出方法的階數。(其中)解：1.解：問題轉換為求解的正根。牛頓迭代公式為（2分）下面證明對任何初值迭代過程收斂。根據定理2.8,對于任何，迭代公式收斂。（5分）當時，由f的單調性知對任何初值迭代過程收斂。（8分）2.局部截斷誤差=

（4分）令，得，，

計算公式為，i=0,1,2,…(6分)局部截斷誤差為＝，方法是二階方法。（8分）

1．（6分）．求解按最小二乘法擬合三點的直線。解：設直線方程為超定方程組為

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