§5.1引言一位合格的電子或電機工程師應該兼?zhèn)潆姶艌隼碚摵碗娐防碚摰闹R。電路，即使相當復雜的電路，對于多數(shù)電子工程師來說，仍是較易理解和熟悉的。電路網(wǎng)絡的綜合與分析、電路的計算機優(yōu)化技術和數(shù)字電路技術的廣泛應用，充分顯示出電路理論的重要性。但是由于人們對經(jīng)典電路理論的實用性印象極深，而電磁場理論卻相對比較抽象，以至于人們有時竟不知不覺將電路理論和電磁場理論割裂開來，認識不到兩者的內(nèi)在聯(lián)系。本章的目的是建立場論和路論之間的統(tǒng)一關系，強調(diào)場論的普遍性，旨在證明，在電路尺寸遠小于工作波長時，路論是可以由麥克斯韋方程組導出的近似理論。在電路理論中，電壓和電流是兩個基本的物理量，電阻、電感和電容是重要的電路參數(shù)。根據(jù)電路理論，在分析復雜的電路系統(tǒng)時，總是先采用理想的模型，把實際電路看成是由理想的電阻、電感和電容組成的，把電路的電阻全部集中在上，電感全部集中在上，等等。就是說，電阻只是耗能元件,磁能只儲存在電感中，而電能只儲存在電容中，同時假設連接、和的導線是理想的，其阻抗為零。在此假設基礎上，應用克希荷夫定律和其他電路定律求解大多數(shù)直流和低頻電磁問題，可以得到令人滿意的結(jié)果。某些射頻電磁問題，如傳輸線，在引入分布參數(shù)電路概念后，仍可使用電路理論進行研究。電路理論容易為人理解接受，應用方便，好像無需場論的介入，其實不然，本章將給予說明。在場論中，電場強度、電位移矢量、磁感應強度和磁場強度是四個重要的場量，而有關媒質(zhì)的參數(shù)為電導率、磁導率及介電常數(shù)。后面幾節(jié)的討論將表明，它們和電路參數(shù)存在一定的對應關系。應用麥克斯韋方程組，可以對所有宏觀電磁現(xiàn)象做出解釋，例如，電小尺寸元件中的場具有準靜態(tài)性質(zhì)，盡管電場和磁場是時變場，但其空間分布仍具有靜態(tài)場的特性。實際上電路參數(shù)、和是完全可以根據(jù)場論算出的。僅這一點就說明路論和場論是不可分割的。§5.2電阻5.2.1歐姆定律歐姆定律是電路的基本定律之一。它反映電阻兩端電壓和流經(jīng)電阻的電流的關系，即(5.1)式中電阻表示消耗電能的理想電路元件。電阻的單位為歐姆()。圖5.1一段均勻直導體中的電流歐姆定律只是在線性、各向同性媒質(zhì)的假設下才成立。歐姆定律只給出電路中的積分結(jié)果，不涉及電流在電阻元件中的分布情況，也不涉及元件中各點電場強度的大小和方向，以及電阻元件的形狀、大小或種類，例如阻值為歐姆的電阻可由一段尺寸均勻的直導線構成，也可以由形狀不規(guī)則的導體構成；可以為炭膜電阻，也可以為金屬膜電阻，等等。描述它們電路特性的都是方程(5.1)。這個方程簡單明了而又實用。圖5.1一段均勻直導體中的電流根據(jù)場論，在第三章中我們已得到一個和導電媒質(zhì)特性有關的物態(tài)方程，即(5.2a)式(5.2a)稱為歐姆定律的微分形式，式中為電流密度，為媒質(zhì)的電導率，為電場強度。和都是矢量，對于線性各向同性媒質(zhì)，和的方向一致。式(5.2a)中的電流場可以是均勻的，也可以是不均勻的。式(5.2a)亦可寫為(5.2b)式中稱為導電媒質(zhì)的電阻率，單位為歐姆?米(?m)。盡管式(5.2)不如式(5.1)那樣直觀易懂，但微分形式的歐姆定律卻反映導電媒質(zhì)中每一點的性質(zhì)，因此具備更精細、更普遍的特點。下面證明歐姆定律式(5.1)可由微分形式的歐姆定律式(5.2)導出。為簡單起見，在直流電路中取一段均勻?qū)w，其長度為，截面積為，如圖5.1所示。圖5.1也可以看成均勻電流場中取出的一段長為，截面積為的電流管，端面與電流線正交，導體兩端面為等位面，則兩端面間電壓降為(5.3a)將式(5.2b)代入式(5.3a)得對于均勻直導體，上式積分得(5.3b)比較式(5.3b)和式(5.1)得(5.4)為均勻直導體的電阻。由此可見，在場論基礎上，可以導出歐姆定律式(5.1)。5.2.2焦耳定律在一段含有電阻的電路中，計算損耗功率的關系式為(5.5a)或(5.5b)通常式(5.5)稱為焦耳定律，適用于穩(wěn)態(tài)和似穩(wěn)態(tài)電路。式(5.5)也可根據(jù)場論推導出來。導電媒質(zhì)中自由電子在電場力作用下運動，運動過程中電子和結(jié)晶點陣不斷發(fā)生碰撞作用，電子的動能被轉(zhuǎn)化為熱能稱為功率損耗。設電子電荷在電場力作用下移動距離，則電場力做功為(5.6)相應的功率為(5.7)式中為電子漂移速度，體積元中全部自由電子的損耗功率為式中為單位體積中的電子數(shù)；由第三章可知為傳導電流密度，于是或(5.8a)因所以(5.8b)式(5.8)是恒定電場的功率密度關系式，也是焦耳定律的微分形式，表示單位體積中損耗的電功率。在體積為的一段導體中，總的損耗功率為(5.9)對于一段均勻直導體的情況，(如圖5.1),令，和電流線一致，和電流線垂直，則所得結(jié)果和(5.5a)式一致。這又一次反映了場論和路論的統(tǒng)一關系。5.2.3電阻的計算圖5.2不規(guī)則形狀的導體均勻直導線的電阻計算公式(5.4)是簡單的，但當導電媒質(zhì)(即導體)的形狀不規(guī)則時，電流密度的分布將是不均勻的。在這種情況下，需要用積分方法計算電阻。如圖5.2所示，設和電流線垂直的兩個端面為等位面，兩端面之間的電壓降為圖5.2不規(guī)則形狀的導體式中的積分路徑規(guī)定由低電位到高電位。這和電位梯度的定義是一致的。通過任意橫截面的電流為根據(jù)定義可得到兩端面間導電媒質(zhì)的電阻為(5.10)【例5-1】有一扇形導體，電導率為，厚度為，圓弧半徑分別為和，兩側(cè)平面的夾角為，如圖5.3所示。求:(1)沿厚度方向的電阻；(2)兩圓弧面間的電阻；(3)兩側(cè)平面間的電阻。圖5.3扇形導體的電阻解(1)上下扇面分別為等位面，其中電場為均勻場，設該電場為，上下底面間的電壓為圖5.3扇形導體的電阻上下面間的電流密度為于是總電流為厚度方向的電阻為(2)兩圓弧面為等位面，其中電場沿徑向變化，設沿徑向流過的電流為，則其間任意弧面上的電流密度為又因為所以其間電場為兩弧面之間的電壓為于是電阻為(3)兩側(cè)面分別為等位面，其中電場與有關，與無關，設兩側(cè)面間電壓為，則得電場電流密度為電流為兩側(cè)平面間的電阻為§5.3電容5.3.1雙導體的電容電容是電路理論中重要的電路參數(shù)。電容器則是重要的電路元件，在路論中它也是一種理想元件。根據(jù)定義，孤立導體的電容為式中為導體所帶的電荷量，為導體的電位。其實孤立導體的電容是指該導體與無窮遠處的另一導體間的電容。電容的概念也是以場論為基礎引出的。電容的單位為法拉，用表示，工程上實用的電容單位為微法(法)，用表示，以及皮法(法),用表示。由兩個導體組成的系統(tǒng)的電容為(5.11)式中為帶正電導體的電荷量，為兩導體間的電壓。根據(jù)高斯定律式中為包圍帶正電導體的曲面，為導體周圍媒質(zhì)的介電常數(shù)。正負極性導體間的電壓為單位正電荷由負導體運動到正導體時，外力對正電荷所做的功，即于是式(5.11)可表示成(5.12)由上式可見，欲計算兩導體間的電容，必須求出其間的電場。電容由電量和電壓的比值定義，對于線性媒質(zhì)的情況，和導體系統(tǒng)的及本身的大小無關。這是因為，如果導體的電荷量增大倍，電場強度也增大倍，其比值保持不變，導體系統(tǒng)電容的大小只和導體的幾何尺寸和形狀及其周圍媒質(zhì)的介電常數(shù)等因素有關。圖5.4徑向極板的電容【例5-2】如圖5.4所示，電容器可以用圓柱坐標系表示，一極板位于平面，另一極板和面成角，電容器高為，徑向尺寸，內(nèi)部填充介質(zhì)的介電常數(shù)為，求電容。圖5.4徑向極板的電容解忽略邊緣效應，由邊界條件判斷，則極板間電場與有關，與無關，設兩極板間電壓為則①在的極板處，根據(jù)電場邊界條件②由式①和式②得在極板上總電荷為③所以電容為④【例5-3】一無限長同軸電纜的內(nèi)外半徑分別為和，其間填充介電常數(shù)為的介質(zhì)，如圖5.5所示。求同軸電纜單位長度的電容。解設內(nèi)導體單位長度帶電量為，電荷將均勻分布在導體表面上，內(nèi)外導體間的電場具有軸對稱性，在內(nèi)外導體之間取單位長度的閉合柱面，在該閉合面上應用高斯定律圖5.5同軸電纜截面圖圖5.5同軸電纜截面圖即所以內(nèi)外導體間的電壓為同軸線單位長度電容為5.3.2部分電容對三個以上導體組成的系統(tǒng)，電容概念需要進行擴充，如圖5.6所示。若在一平行板電容器中置入一金屬球，由于靜電感應，面對正極板的一側(cè)帶負電，而面對負極板的一側(cè)帶正電，其結(jié)果將使平板電容器正負兩極板間的電位差變小，而極板上總電荷量仍維持不變。這樣導致了平行板間的總電容增大。式中、和稱為導體系統(tǒng)的部分電容，其等效電路如圖5.7所示。圖5.6含金屬球的平行板電容器圖圖5.6含金屬球的平行板電容器圖5.7三導體系統(tǒng)的等效電路(5.13)式中為常數(shù)，稱為電位系數(shù)，其大小與導體系統(tǒng)的幾何參數(shù)有關。圖5.8圖5.8個導體系統(tǒng)(5.14)式中為電位系數(shù)矩陣。式(5.14)可改寫為(5.15)式中為電容系數(shù)矩陣，顯然。可以證明，電位系數(shù)和電容系數(shù)均具有互易性，即，(5.16)令(5.17)(5.18)進行適當變換后，式(5.15)可變?yōu)橐院捅硎镜年P系式，即(5.19)式中代表第個導體自身的電容，被稱為自電容，即第個導體與大地（或無窮遠處）之間的電容。而代表第和第個導體間的電容，被稱為互電容，自電容與互電容統(tǒng)稱為部分電容。可見，所有導體與大地之間以及任意兩個導體之間都存在著部分電容。對于由個導體組成的系統(tǒng)，部分電容的總數(shù)為。電路中常用的電容器一般由兩個導體組成，并標有明確的電容值。如果兩導體中，有一導體被另一接地導體完全包圍，即兩導體之間的電場完全被限制在兩導體之間時，電容值具有明確的物理意義。設導體2接地，導體1被2完全包圍，即，。由式(5.19）得：(5.20)因為，則及實際上此電容器的電容值就是兩導體之間的互電容。當導體2不接地，沒有靜電屏蔽作用，即，。由式(5.19)可得圖5.9三導體系統(tǒng)各部分電容的關系(5.21)圖5.9三導體系統(tǒng)各部分電容的關系上式表明，兩導體上帶的電荷量不僅與兩導體間的互電容有關，而且與兩個導體的自電容及有關，因此，且不能以一個電容來說明導體上的電量與其電位之間的線性關系，而必須采用部分電容的概念來說明。由此可見，對于三個導體以上的多導體系統(tǒng)只能用部分電容來描述。圖5.9給出了三導體系統(tǒng)的各部分電容的相互關系。 §5.4電感5.4.1自感電感也是一個重要的電路參數(shù)，包括自感和互感，在正弦交流電路中，若只含一個純電感時，如圖5.10(a)所示。電感上的電壓和電流的關系為(5.22)當電路包括兩個以上電感線圈時，如圖5.10(b)所示。電感上的電壓和電流的關系為(5.23)式中、和也是從電磁場理論出發(fā)得出的。（（a）電感電路（b）互感電路圖5.10電感和互感圖5.11單匝線圈的自感設載有電流的單匝線圈與其交鏈的磁通為，如圖5.11所示。假設線圈內(nèi)外不存在鐵磁性物質(zhì)，則和之間存在線性關系，比值是一個常數(shù)。圖5.11單匝線圈的自感(5.24)式中稱為自感系數(shù)，簡稱為自感，它取決于線圈的幾何形狀和尺寸以及磁介質(zhì)的磁導率，自感的單位為亨，工程上的實用單位為毫亨或微亨。式中磁通為(5.25)根據(jù)矢量磁位的定義，及斯托克斯定理，可以得到的另一表達式(5.26)式中為線圈回路。將式（5.26）代入式(5.24）中，得(5.27)若有匝相同的線圈，則得磁鏈，及相應回路的電感(5.28)(5.29)式(5.27)和式(5.29)都是由單個載流回路定義的自感，亦稱電感。上述自感只考慮了載流導線外部環(huán)面內(nèi)的磁通，稱為外自感；而導線內(nèi)部的磁場在導線內(nèi)部區(qū)域產(chǎn)生的磁通，同樣與電流相交鏈，其磁鏈與電流的比值稱為內(nèi)自感。所以單個載流回路的自感應為內(nèi)自感和外自感之和，即(5.30)式中為內(nèi)自感，為外自感。【例5-4】一空氣同軸線，內(nèi)導體的外半徑為，外導體的內(nèi)半徑為，設外導體的壁厚很小，求同軸線單位長度的電感。圖5.12同軸線橫截面解同軸線的內(nèi)外導體構成電流回路，在直流或低頻情況下，電流在導體截面中均勻分布，由于對稱性，磁場也只存在方向分量。同軸線單位長度的電感可分為內(nèi)導體中的內(nèi)自感，內(nèi)外導體之間的外自感，和外導體中的內(nèi)自感三部分。圖5.12同軸線橫截面內(nèi)導體的內(nèi)自感如圖5.12所示，由安培環(huán)路定律得于是穿過寬度為和單位長度的截面的磁通量為此處磁通只和半徑為的圓截面內(nèi)的電流交鏈。因此與電流相交鏈的磁鏈為在內(nèi)導體內(nèi)的總磁鏈為根據(jù)定義，內(nèi)導體單位長度的內(nèi)自感為(H/m)①內(nèi)自感也可以通過能量關系求出=所得結(jié)果相同(H/m)內(nèi)外導體間的外自感根據(jù)安培環(huán)路定律于是內(nèi)外導體之間單位長度上的磁通為同軸線單位長度的外自感為(H/m)②(3)外導體中的內(nèi)自感按題意，外導體的壁很薄，可以認為電流只在的壁面上流動，這樣外導體中的內(nèi)自感為零。于是同軸線單位長度的總電感為(H/m)③若考慮外導體的壁厚，為外導體的外半徑，需給出外導體的內(nèi)自感。利用能量關系也可方便地算出(H/m)此時，同軸線單位長度的總電感為【例5-5】一非常長的非磁性圓柱的半徑為，每單位長度上緊密纏繞匝線圈，形成空芯電感器(螺線管)，若通過線圈的電流是恒定的。求該電感器單位長度上的電感。解該螺線管內(nèi)部的磁感應強度可由安培環(huán)路定律求出。如圖5.13所示，構造一個長度為的矩形圍線，顯然，螺線管外部沒有磁場，則即可見，螺線管內(nèi)磁場是均勻的，那么半徑為的圓柱體內(nèi)的磁通量為所以，該電感器單位長度的電感為圖5.13載流長螺線管圖5.13載流長螺線管5.4.2互感如果空間存在兩個載流線圈和，如圖5.14所示。線圈中電流產(chǎn)生的磁場，穿過自身環(huán)面的磁通量為，已知該磁通量與電流的比值稱為線圈的自感。顯然，若磁場穿過線圈的磁通量為，該磁通量與電流成正比，則和電流的比值稱為線圈對線圈的互感系數(shù)，簡稱為互感。互感的單位也是亨。即圖圖5.14兩個線圈間的互感(5.31)式中，是以回路為邊界的曲面。同理，線圈對線圈的互感為(5.32)及(5.33)式中為電流產(chǎn)生的磁場穿過回路的磁通，是以為邊界的曲面。如果兩個載流回路分別由和匝線圈組成，則互感變?yōu)?5.34a)(5.34b)不難證明，線圈回路間的互感是互易的，即如圖5.14所示，電流和線圈交鏈的磁通為(5.35)已知矢量磁位為代入式(5.35)得(5.36)同理可寫出(5.37)式(5.36)和式(5.37)分別代入式(5.31)和式(5.32)后得(5.38)式(5.38)稱為聶曼公式。多匝線圈回路的互感同樣也具有互易特性。互感的大小和線圈的幾何形狀及尺寸有關，也和線圈之間的相互位置有關。【例5-6】如圖5.15所示，求無限長直導線和直角三角形導線回路間的互感。圖5.15直導線和三角形回路間的互感解令三角形回路為，電流為，無限長直導線為，電流為，均為單圈回路，根據(jù)互感定義，有圖5.15直導線和三角形回路間的互感①②由此可見，互感可以通過式①和式②求出。很明顯，三角形回路中由電流在空間產(chǎn)生的磁場不易計算，因為在三角形中電流在三個有限邊長中流動，且流動方向各異，另外，無限長直導線的閉合回路面積也不好確定，看來由式①和②計算互感較方便，而的計算卻不容易。由安培環(huán)路定律，無限長直導線中電流產(chǎn)生的磁場③將式③代入式②④式中為三角形域⑤又⑥將式⑤和式⑥代入式④后于是又可根據(jù)互易特性得到5.5基爾霍夫定律和麥克斯韋方程克希荷夫定律包括節(jié)點電流定律和回路電壓定律。這兩個定律是經(jīng)典電路理論的基礎，它們也可以由麥克斯韋方程推導出來。5.5.1基爾霍夫電流定律如圖5.16所示，以流出網(wǎng)絡節(jié)點的電流為正，從節(jié)點流入的電流為負，那么，基爾霍夫電流定律可以表述為：任一瞬時任一節(jié)點的電流的代數(shù)和恒為零，換句話說，流入該節(jié)點的電流必等于從該節(jié)點流出的電流，其數(shù)學表達式為圖5.16節(jié)點電流圖5.16節(jié)點電流這個定律的物理意義是很明顯的，表明電荷是守恒的，電荷不會在節(jié)點處積累或消失，換句話說，電流在節(jié)點處是連續(xù)的。下面再由場論出發(fā)進行討論，根據(jù)電流連續(xù)性定律(5.40)式中為圍繞一節(jié)點的任意封閉曲面。等式左邊為流入和流出閉合面的所有傳導電流的總和。即應用高斯定律，式（5.40）右邊為代入式(5.40)并移項即結(jié)果和式(5.39)一致，此時可為傳導電流或位移電流，則代表節(jié)點處這些電流的代數(shù)和，這樣就證明了基爾霍夫電流定律。5.5.2基爾霍夫電壓定律基爾霍夫電壓定律可以描述為：任一瞬時網(wǎng)絡中任一回路內(nèi)全部電壓降的代數(shù)和為零，即(5.41)式中包括電流在流過電路元件，如電阻、電感和電容時產(chǎn)生的壓降，也包括回路中電源的電動勢。基爾霍夫電壓定律實際上是能量守恒原理的體現(xiàn)。基爾霍夫電壓定律的理論基礎是法拉第電磁感應定律(5.42)而式中為矢量磁位，代入式(5.42)后，再利用斯托克斯公式，可得(5.43)即(5.44)式(5.44)旋度為零，這樣括號部分可表示為某一標量的梯度或(5.45)式中標量位是由電荷建立的，矢量位是電流建立的。關于時變場的電位和矢量位的進一步討論見第八章，我們在這里只用于推導基爾霍夫電壓定律。式(5.45)中的電場，包括電源產(chǎn)生的電場稱為外施場，用表示，和電路中某點的電場用表示。即(5.46)根據(jù)導體中的歐姆定律(5.47)圖5.17圖5.17、和串聯(lián)電路(5.48)式(5.48)就是以場量表示的克希荷夫電壓定律，為電源提供的外施電場，等號右邊三項分別為電阻、電容和電感元件中的電場。為了看得更清楚些，我們可以將式(5.48)寫成積分形式，積分路徑沿著網(wǎng)絡回路進行。(5.49)圖5.17為一個由直流或低頻電源、電阻、電感和電容組成的串聯(lián)電路，假定回路的全部電阻都集中在一段代表的電阻器上，全部電感集中在段的電感線圈中，全部電容集中在段電容器中，假定連接電阻器、電感器和電容器的線段、、和是阻抗為零的理想線段，電源的內(nèi)阻也為零。式(5.49)中等號左邊的積分等于電源的電動勢，因外施場只存在于電源內(nèi)，所以(5.50)式(5.49)中等號右邊第一項積分代表在回路電阻上的壓降(5.51)已知電路的電阻為(5.52)于是(5.53)式(5.49)等號右邊第二項積分代表在回路電感上的壓降(5.54)根據(jù)電感定義 （5.55）若電感是常數(shù)，且只存在于一段，式(5.55)可寫成(5.56)式(5.49)中最后一項代表在回路電容器上的壓降，電容只存在于一段，電容器中的電場于是(5.57)根據(jù)電容定義，式(5.57)可寫成式中為電容器的電容，為電容器極板上的電荷量，又于是(5.58)將式(5.50)、式(5.54)、式(5.56)及式(5.58)代回式(5.49)后得(5.59)或(5.60)即這樣就導出了克希荷夫電壓定律。因此克希荷夫電壓定律又可表述為：沿閉合回路中的電動勢等于回路中的全部電路元件上電壓降的代數(shù)和。圖5.18圖5.18互耦電路根據(jù)互感定義于是在圖中左邊回路中感應的電壓為(5.61)這樣式(5.60)改寫為(5.62)其一般表達式仍為對于復雜網(wǎng)絡的任一網(wǎng)孔的回路，及網(wǎng)孔回路中有多個電源及多種電路元件的情況，克希荷夫電壓定律也照樣成立，不另證明。若圖5.18中連接的是正弦低頻交流電源，則式(5.59)可以用相量表示令于是(5.63)式(5.63)是我們最熟悉的正弦交流電路復阻抗的歐姆定律。結(jié)束本節(jié)的討論時，有必要再次指出，上述克希荷夫電路定律在穩(wěn)態(tài)和似穩(wěn)態(tài)條件下才成立。§6.1引言麥克斯韋方程指出：在空間任意點，時變的電場將產(chǎn)生時變的磁場，時變的磁場將產(chǎn)生時變的電場；同時在位置上向鄰近點推移。可以想象，當空間存在一個激發(fā)時變電磁場的波源時，必定會產(chǎn)生離開波源以一定速度向外傳播的電磁波動。這種以有限速度傳播的電磁波動稱為電磁波。在電磁波傳播的過程中，對應于任意時刻，空間電磁場中具有相同相位的點構成等相位面，或稱波陣面。波陣面為平面的電磁波稱為平面電磁波。如果在平面波陣面上，每點的電場強度均相同，磁場強度也相同，這種電磁波稱為均勻平面電磁波。在距離產(chǎn)生電磁波的源很遠處，球面波陣面上的一小部分可視為平面，該處的電磁波可視為均勻平面電磁波。本章研究均勻平面電磁波在各種媒質(zhì)中傳播的基本規(guī)律，其中以無界、線性、均勻和各向同性媒質(zhì)中的傳播為主要對象，本章也將討論不同媒質(zhì)界面上波的反射和透射現(xiàn)象。§6.2時變電磁場波動方程麥克斯韋方程反映了宏觀電磁現(xiàn)象的一般規(guī)律，因此，電磁波在媒質(zhì)中傳播的基本規(guī)律可以從求解具體邊界條件和初始條件下的麥克斯韋方程來獲得。在無界、線性、均勻和各向同性并且不存在自由電荷的理想介質(zhì)中，麥克斯韋方程組為(6.1a)(6.1b)(6.1c)(6.1d)對第一個方程兩邊取旋度，得(6.2)應用矢量恒等式將代入上式得出(6.3)將式(6.1b)代入式(6.2)可得(6.4)圖6.1圖6.1均勻平面波(6.5)方程(6.4)和(6.5)分別稱為無界、均勻、線性、各向同性的理想介質(zhì)中磁場強度和電場強度的波動方程，亦稱為時變亥姆霍茲方程。對于均勻平面電磁波，由于其場強值在波陣面上處處相等，因此描述這種電磁波的波動方程可將一般方程(6.4)和(6.5)簡化成一維波動方程。對于圖6.1所示的均勻平面電磁波，如以方向表示波的傳播方向等相位面與面平行，則根據(jù)均勻平面波的定義可直接寫出(6.6a)(6.6b)將式(6.6b)代入麥克斯韋第一方程，得出(6.7)方程兩端在同一方向的分量必須相等，因此有(6.8a)(6.8b)(6.8c)由式(6.8c)可見，分量與時間無關，因為與時間無關的恒定分量不是波動的部分，故可取，這就意味著，電場沒有與傳播方向平行的分量，說明電場的分量位于與波的傳播方向垂直的平面上。因此電場強度可表示為(6.9)將式(6.6a)和式(6.9)代入麥克斯韋第二方程，得(6.10)由此得出(6.11a)(6.11b)(6.11c)由式(6.11c)看出，也與時間無關，因此它不是波動的部分，故可取，從而有(6.12)由此可見，均勻平面波的電場和磁場均無傳播方向的分量，只有與傳播方向垂直的分量。即對傳播方向而言，電場和磁場只有橫向分量，沒有縱向分量，這種電磁波稱為橫電磁波，簡寫為波。將式(6.12)代入式(6.4)中，得亥姆霍茲方程的標量形式(6.13a)(6.13b)同理，將式(6.9)代入式(6.5)中，得(6.14a)(6.14b)方程(6.13)和方程(6.14)構成了描述均勻平面波的一維波動方程組。§6.3均勻平面波在無耗介質(zhì)中的傳播6.3.1波動方程的解均勻平面波在均勻、線性、各向同性的無耗介質(zhì)中傳播時，若電磁場隨時間按正弦規(guī)律變化，可用復數(shù)表示，于是一維波動方程(6.14a)簡化為(6.15)式中為場強隨時間變化的角頻率，單位為弧度/秒(rad/s)。(6.16)和分別為振蕩頻率和周期。令(6.17)則電場波動方程(6.15)可改寫為(6.18)該方程的解為(6.19)式中和為復常數(shù)。若，，則式(6.19)可寫為(6.20)該式稱為電場的復數(shù)表達式。相應的瞬時表達式為(6.21)同理，由方程(6.14b)可得到電場分量的解，其復數(shù)表達式為(6.22)及瞬時表達式為(6.23)6.3.2相位常數(shù)和相速由式(6.21)和式(6.23)可知，是函數(shù)相位的一部分，稱為相位常數(shù)。(6.24)式中為波速，。因此也稱為波數(shù)。可以看出，隨著的增大，式(6.21)和式(6.23)中右邊第一項的相位越滯后，說明這一項表示沿正方向傳播的波，稱為前向行波；反之，隨著的增大，式(6.21)和式(6.23)中右邊第二項的相位越超前，說明這一項表示沿負方向傳播的波，稱為后向行波。本節(jié)只研究在無限大理想介質(zhì)中傳播的單行波，取前向行波。可令，，，則式(6.21)變?yōu)?6.25a)式中為電場分量的振幅；為初始相位。同理，式(6.23)變?yōu)?6.25b)由式(6.25a)可得該波的等相位面方程為(6.26)式中為常數(shù)。將式(6.26)對微分，可得到等相位面運動的速度，稱為相速，用表示。如圖6.2所示，即(6.27)對于無限大、均勻、理想介質(zhì)中的均勻平面波，相速等于波速，即圖6.2正弦波的傳播圖6.2正弦波的傳播式中為真空中的光速，(m/s)。6.3.3本質(zhì)阻抗麥克斯韋方程(6.1b)在隨時間正弦變化的電磁場中可寫為(6.29)由此電場的分量對應的磁場為(6.30)令(6.31)則(6.32)由于的單位為V/m，的單位是A/m，所以具有阻抗的量綱，單位為歐姆()。由式(6.31)可知，只與媒質(zhì)的參數(shù)有關，稱為媒質(zhì)的本質(zhì)阻抗(或波阻抗)。在真空中，。由式(6.25a)表示的的前向行波對應的表示為(6.33)對理想介質(zhì)而言，為實數(shù)，表示純電阻，所以和分量在時間上同相。如圖6.3所示。可見電場、磁場和傳播方向相互垂直，且滿足右手螺旋法則。類似地，我們可以推導出電場分量及其對應的分量的表達式，若用復數(shù)表達形式，有(6.34)(6.35)式中負號是由右手螺旋法則決定的，當電場在正方向，傳播方向為正時，磁場方向必然為負方向。如圖6.4所示。圖6.3理想介質(zhì)中平面波電場和磁場圖6.4理想介質(zhì)中平面波電場和磁場6.3.4坡印廷矢量電場和磁場在空間的相互轉(zhuǎn)換作用導致電磁波動，電磁波動伴隨著電磁能量的傳遞。正是由于這種電磁能量在空間的傳播，才使人類能建立起龐大的通信網(wǎng)絡。1884年，坡印廷在“關于電磁場中的能量傳遞”一文中，首次闡述了電磁能流與電磁場量間的關系，并給出了一般表示式，后人稱其為坡印廷定理。在電磁場中，已知電場能量密度和磁場能量密度分別表示為(6.36)和(6.37)麥克斯韋假設：在任意時刻，空間任一點的電磁能量密度應為此時電場能量密度與磁場能量密度之和，即(6.38)這個假設至今尚無直接實驗證明，但建立在此假設上的許多理論，已為實驗所證實。這樣就間接地證明了假設的正確性。根據(jù)上述假設，電磁場中任意體積內(nèi)儲存的總電磁能量為設空間某點的電磁能量密度隨時間的變化率為(6.39)由麥克斯韋方程出發(fā)，推導得即(6.40)再由麥克斯韋方程出發(fā)，推導得(6.41)將式(6.40)和式(6.41)代入式(6.39)，得(6.42)運用矢量恒等式將上式代入式(6.42)中，得把上式兩邊在給定的體積V內(nèi)積分,有(6.43)利用高斯定理，上式改寫為(6.44)式(6.44)就是坡印廷定理的數(shù)學表達式。坡印廷定理的數(shù)學表達式除了式(6.44)之外，在當今很多關于電磁理論的書籍中，還廣泛采用著另外一種形式(6.45)式(6.45)右邊第一項表示由于傳導電流的流動在體積中產(chǎn)生的歐姆功率損耗；第二項表示體積中電磁能量隨時間的減少率。這兩項之和表示體積中總的電磁能量的減少率。根據(jù)能量守恒定律，它必然等于通過體積的表面散發(fā)出去的功率。所以式(6.45)左邊中表示穿出單位面積的功率流密度，稱為坡印廷矢量，單位瓦特/米2(W/m2)。用表示，即(6.46)可見，坡印廷矢量垂直于和構成的平面，且電場、磁場和坡印廷矢量滿足右手螺旋法則。需要指出的一點是，由于坡印廷定理的整個推導是在麥克斯韋方程基礎上進行的，沒有引入任何新的物理概念，因此坡印廷定理是適用于宏觀電磁現(xiàn)象的一個普遍定理。由于和均是空間和時間的函數(shù)，因此由式(6.46)定義的坡印廷矢量也是空間和時間的函數(shù)，用該式計算的值代表了通過閉合曲面單位面積功率的瞬時值。而實際上，在許多情況中，我們主要不是對功率流的瞬時值感興趣，而更關心的是它的平均值。為此需要建立計算平均坡印廷矢量的數(shù)學表達式。設電場強度和磁場強度的瞬時形式為式中和為幅值，和為初相角。根據(jù)式(6.46)可算出的瞬時表達式(6.47)式(6.47)表明：由兩部分構成，等式右邊第一項不隨時間變化，可稱為‘直流分量’，實際上它就是所謂的平均坡印廷矢量，等式右邊第二項是時間的周期函數(shù)，稱為‘交變分量’。它反映了起伏變化的情況。根據(jù)求周期函數(shù)平均值的理論，可求得積分后得(6.48)式中為平均坡印廷矢量，是波的周期。對于隨時間按正弦規(guī)律變化的電磁場，采用復數(shù)表示法將會在計算中顯得更方便。設電場強度和磁場強度的復數(shù)形式為顯然，平均坡印廷矢量可表示為(6.49)式中表示的共軛，即。【例6-1】介質(zhì)中沿方向傳播的均勻平面波電場強度為，求(1)相對介電常數(shù)，(2)傳播速度，(3)本質(zhì)阻抗，(4)波長，(5)磁場強度，(6)波的平均功率密度，（7）電場強度和磁場強度的復數(shù)表示形式。解(1)相對介電常數(shù)由電場強度的表達式可知已知：因此：(2)傳播速度為(3)本質(zhì)阻抗為(4)波長為(5)根據(jù)均勻平面波的電場、磁場和傳播方向滿足右手螺旋法則的規(guī)律，及電場強度和磁場強度的關系，可得

(6)媒質(zhì)中的平均功率密度是(7)電場強度和磁場強度的復數(shù)形式為§6.4均勻平面波在有耗媒質(zhì)中的傳播§6.3節(jié)中的所謂無耗介質(zhì)只是一種理想情況，實際的媒質(zhì)都是有損耗的。在有耗媒質(zhì)中電導率，但仍然保持均勻、線性及各向同性等特性。土壤、海水、石墨和金屬等都是無線電和電子工程中經(jīng)常遇到的有耗媒質(zhì)，研究波在有耗媒質(zhì)中的傳播特性，具有實際的意義。由物理常識可知，在有耗媒質(zhì)中傳導電流存在，因此有耗媒質(zhì)也稱為導電媒質(zhì)。在該媒質(zhì)中傳播的電磁波發(fā)生能量損耗，導致波的幅值隨傳播距離增大而下降。實際的研究表明，幅值下降的同時，波的相位也發(fā)生變化，致使整個傳輸波的波形發(fā)生畸變。6.4.1復介電常數(shù)和復本質(zhì)阻抗由于研究的是隨時間按正弦規(guī)律變化的電磁場，所以可用復數(shù)形式的麥克斯韋方程。(6.50)(6.51)方程(6.50)又可改寫為(6.52)式中稱為復介電常數(shù)。(6.53)在有耗媒質(zhì)中，傳導電流密度和位移電流密度分別為由式(6.53)可知，比值是復介電常數(shù)虛部和實部的比值，它也代表傳導電流密度和位移電流密度的比值。工程上稱之為損耗正切，可表示為(6.54)式中稱為損耗角。在應用了復介電常數(shù)后，復數(shù)形式麥克斯韋方程可改為除了用復介電常數(shù)代替無耗介質(zhì)中的以外，有耗媒質(zhì)中的麥克斯韋方程形式上和無耗介質(zhì)中的麥克斯韋方程完全相同。這里假定為實數(shù)，所以可直接寫出有耗媒質(zhì)中的本質(zhì)阻抗為圖6.5平面波在有耗媒質(zhì)中的傳播圖6.5平面波在有耗媒質(zhì)中的傳播式中稱為復本質(zhì)阻抗。由式(6.55)可見，有耗媒質(zhì)的復本質(zhì)阻抗是個復數(shù)，其結(jié)果使均勻平面波中電場強度矢量與磁場強度矢量間存在相位差。6.4.2波動方程及其解在描述無耗介質(zhì)中均勻平面波傳播規(guī)律的一維波動方程(6.15)中，若用代替，即得出有耗媒質(zhì)中的均勻平面波波動方程為(6.56)式中稱為復波數(shù)。(6.57)由于為復數(shù)，故可令(6.58)式中為傳播常數(shù)，為衰減系數(shù)，為相位常數(shù)。由式(6.56)和式(6.58)可寫出有耗媒質(zhì)中，電場強度分量沿正方向的行波解為(6.59)其對應的磁場強度分量為(6.60)該電場強度分量和磁場強度分量的瞬時表達式分別為(6.61)(6.62)由式(6.61)和式(6.62)可見，隨著的增大，電場強度和磁場強度的振幅以因子衰減；同時，電場的相位超前磁場相位。如圖6.5所示。有耗媒質(zhì)中均勻平面波的坡印廷矢量瞬時值為平均坡印廷矢量為(6.63)由式(6.63)可見，隨著傳播距離的增加，坡印廷矢量的平均值也呈指數(shù)規(guī)律下降。6.4.3低損耗媒質(zhì)低損耗媒質(zhì)是一種弱導電媒質(zhì)，其，這種媒質(zhì)也稱為良介質(zhì)。在該媒質(zhì)中位移電流占主導地位。分別對式(6.57)和式(6.58)兩邊平方，得等式兩邊實部和虛部分別相等，得聯(lián)立上兩式解得(6.64)(6.65)式(6.64)和式(6.65)分別為有耗媒質(zhì)中平面波的衰減系數(shù)和相位常數(shù)表達式。在有耗媒質(zhì)中，波傳播的相速為(6.66)由上式可以看出：，即在相同的和的情況下，由于媒質(zhì)的損耗使波的傳播速度變慢，波長變短。值得注意的是，相速不僅與媒質(zhì)參數(shù)有關，還與頻率有關。在有耗媒質(zhì)中，不同頻率的波以不同的相速傳播的現(xiàn)象稱為色散現(xiàn)象，有耗媒質(zhì)稱為色散媒質(zhì)。通常，信號是由不同的頻率成分組成的，當載有信號的平面波在有耗媒質(zhì)中傳播時，由于色散現(xiàn)象會導致信號波形的畸變。在微波工程中，經(jīng)常遇到的是低損耗媒質(zhì)，其條件為應用二項式展開后，式(6.64)和式(6.65)可近似為(6.67)(6.68)相應地，低損耗媒質(zhì)的本質(zhì)阻抗為(6.69)相速近似為(6.70)式(6.68)和式(6.70)說明在低損耗媒質(zhì)中的相位常數(shù)和相速與無耗介質(zhì)中的近似相同。而式(6.67)和式(6.69)表明，波在低損耗媒質(zhì)中傳播時確實存在衰減，而且電場強度和磁場強度存在微小的相位差。6.4.4高損耗媒質(zhì)高損耗媒質(zhì)是強導電媒質(zhì)，其中，高損耗媒質(zhì)也稱為良導體。在這種媒質(zhì)中，傳導電流比位移電流大得多。通常時，可認為該媒質(zhì)為良導體。在此情況下復介電常數(shù)為(6.71)衰減系數(shù)和相位常數(shù)分別為(6.72)(6.73)同理，復本質(zhì)阻抗為(6.74)若將復本質(zhì)阻抗表示為(6.75)則(6.76)式中稱為表面電阻，為表面電抗。金屬導體都是良導體，良導體的衰減系數(shù)和相位常數(shù)大小相同，表面電阻和電抗也相同。由式(6.74)可見，磁場強度的相位滯后于電場強度。良導體中波的相速為(6.77)于是，良導體中均勻平面波的電場強度和磁場強度分別為傳導電流密度為在處，時刻電流密度的值，即在導體表面上的電流密度幅值。在工程上，用電流密度幅值衰減為導體表面上幅值的倍，電磁波所傳輸?shù)木嚯x來定義趨膚深度，用表示，即得(6.78)由式(6.78)看出，趨膚深度與頻率、電導率和磁導率的乘積的平方根成反比。頻率越高，電導率和磁導率越大，則趨膚深度越小。以紫銅為例，其及，當時，；當時，；當時，。可見，高頻條件下，導體中的電流絕大部分集中在導體表面附近，這種現(xiàn)象稱為趨膚效應。實際中電磁波傳播的距離后，其振幅衰減至1%以下，可認為波已衰減為零了。對于的理想導體，，說明電磁波不能透入理想導體中。在無線電裝置中，完成電磁屏蔽作用的屏蔽罩就是根據(jù)趨膚效應來設計的，當頻率為時，鋁罩的趨膚深度為，這個數(shù)值遠小于一般鋁罩的壁厚，故外界射頻電磁波將不影響罩內(nèi)的電子裝置正常工作，為對低頻磁場有更好的屏蔽效果，可采用金屬鐵磁材料。趨膚效應還可被用于金屬表面熱處理。為了便于工程應用，表6-1給出了幾種常用金屬的電導率以及相速、趨膚深度和表面電阻計算公式。表6-1典型金屬的趨膚深度、表面電阻和相速材料名稱電導率磁導率趨膚深度表面電阻相速備注金銀紫銅鋁黃銅焊錫f單位為Hz【例6-2】一線極化均勻平面波在海水中傳播，取為傳播方向，在處，，海水的媒質(zhì)參數(shù)為，，，求(1)海水的損耗正切，衰減系數(shù)，相位常數(shù)，本質(zhì)阻抗，相速，波長及趨膚深度；(2)場強幅值減小為處的十分之一時的距離。解根據(jù)題意(rad/s)(1)損耗正切因為，因此海水可視為良導體處理所以，衰減系數(shù)相位常數(shù)本質(zhì)阻抗為相速為波長趨膚深度(2)令得§6.5波的極化特性電磁波的極化特性是電磁理論中的一個重要概念，波的極化是指空間某點電場強度矢量的端點隨時間變化的軌跡。若某點的電場強度矢量隨時間沿直線振蕩時，稱為線極化波；若某點的電場強度矢量的端點隨時間沿圓周運動時，稱為圓極化波；若電場強度矢量的端點沿橢圓運動，稱為橢圓極化波。當多個同頻率的電磁波在同一方向傳播時，極化應按所有波疊加后的合成波定義。極化特性是波的一個重要特征，在求解具體電磁問題時，由于所需邊界條件與波的極化特性有關，因此給定所研究的極化特性是解題的必要條件之一，例如在研究兩媒質(zhì)交界面上波的反射和透射時，就需指明波的極化特性。6.5.1線極化波在均勻平面波中，若電場強度表示為(6.79)可見，隨著時間的改變，矢量始終在與軸平行的直線上振蕩，因此該波為x方向線極化波。設有兩個同頻同方向傳播的相互垂直的線極化波分別表示為(6.80a)(6.80b)式中和為幅值，和為各自的初始相位。若兩個線極化波同相，即，則可得任意時刻的合成電場強度瞬時值及其與軸的夾角為(6.81)(6.82a)在式(6.82a)中，由于與是不隨時間變化的常數(shù)，所以也不隨時間變化，故合成電場強度矢量始終位于與軸成角的直線上，構成線極化波，如圖6.6(a)所示。若兩個線極化波反相，即，此時合成波電場強度矢量與x軸夾角q為一負值，但不隨時間變化，即(6.82b)可見，該合成波仍為線極化波，如圖6.6(b)所示。(a)(b)圖6.6線極化波工程上，常將電場強度垂直于水平面的線極化波稱為垂直極化波，而與水平面平行的線極化波稱為水平極化波。6.5.2圓極化波若式(6.80)所示的兩個分量和的振幅相等，而相位差為，即則合成電場強度的振幅為(6.83)合成電場強度矢量與x軸夾角為即(6.84)由式(6.83)和(6.84)可知，合成電場強度的大小并不隨時間改變，但合成電場強度矢量與x軸間的夾角以角速度隨時間變化，合成電場強度矢量端點的運動軌跡為圓，構成了圓極化波。根據(jù)和相位超前或滯后的不同，圓極化波的旋轉(zhuǎn)方向也不同。若的相位超前的相位p/2，即，由式(6.84)可知，隨t增大，q也增大，則合成電場強度旋轉(zhuǎn)方向由軸旋轉(zhuǎn)到軸，其旋轉(zhuǎn)方向與波的傳播方向(方向)構成右手螺旋關系，稱為右旋圓極化波，如圖6.7(a)所示。若的相位超前的相位p/2時，即，則合成電場強度旋轉(zhuǎn)方向與上述相反，其旋轉(zhuǎn)方向與波的傳播方向構成左手螺旋關系，稱為左旋圓極化波，如圖6.7(b)所示。(a)右旋圓極化波(b)左旋圓極化波圖6.7圓極化圖6.5.3橢圓極化波一般情況下，對式(6.80)給出的和表達式消去參數(shù)t后，可得(6.85)6.8橢圓極化波式(6.85)是一個橢圓方程，說明合成電場強度矢量端點的運動軌跡為橢圓，構成橢圓極化波，如圖6.8所示。橢圓極化波與圓極化波一樣，也有左旋橢圓極化波與右旋橢圓極化波之分。若的相位超前的相位時，即，為右旋橢圓極化波；若的相位滯后的相位時，即，則為左旋橢圓極化波。線極化波和圓極化波都可視為是橢圓極化波的特殊情況。當橢圓的長短軸相等時，橢圓極化波變?yōu)閳A極化波，當橢圓的短軸縮為零時，橢圓極化波退化為線極化波。6.5.4極化的分解以上我們研究了三種不同極化波的特點，在此進一步討論極化的分解。我們已經(jīng)知道兩個相互垂直的線極化波可以合成橢圓極化波，反之，任一橢圓極化波均可分解為兩個極化方向互相垂直的線極化波。而任一線極化波均可分解為兩個振幅相等但旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波；一個圓極化波可以分解為兩個旋向相反的橢圓極化波，等等。下面討論線極化波的分解。對任一線極化波，如圖6.6(a)所示，將分解為和兩個分量其中因此(6.86)同理(6.87)由式(6.86)和(6.87)可知，，和，有相同的幅值，但的相位超前相位，因此和構成一右旋圓極化波；而的相位滯后相位，因此和構成一左旋圓極化波。由此證明了任一線極化波均可分解為兩個幅值相等，但旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波。其它極化分解形式在此不一一列舉。請讀者自行討論。一般情況下，任何形式的極化都可以分解為兩個相互正交的線極化波，也可以分解為兩個旋向相反的圓極化波。波的極化特性在工程上有很重要的應用，例如，當利用線極化波進行工作時，接收天線的極化特性必須與發(fā)射天線的極化特性相同，才能有好的接受效果。這是天線最基本的原則之一。大家知道，空間傳播的電磁波將在接收天線上產(chǎn)生感應電動勢。而來波中電場矢量的極化特性是由發(fā)射天線的極化特性所確定的，所以為了有效的接收，發(fā)射天線與接收天線必須具有相同的極化。很多情況下，無線電系統(tǒng)必須利用圓極化波才能正常工作，例如由于火箭等飛行器在飛行過程中，其狀態(tài)和位置在不斷地變化，在某些情況下，可能出現(xiàn)火箭上的天線收不到地面控制信號，從而造成失控，如改用圓極化波發(fā)射和接收，則此種情況將不會出現(xiàn)。在電子對抗系統(tǒng)中，大多采用圓極化波進行工作。§6.6均勻平面波對平面邊界的垂直入射前面研究了均勻平面波在均勻、線性和無界媒質(zhì)中傳播的規(guī)律。但實際上，波在無界媒質(zhì)中傳播只是傳播的一種理想情況。在很多情況下，波是在有界媒質(zhì)中傳播的，在傳播途徑中遇到不同的媒質(zhì)的分界面，會產(chǎn)生反射和透射（折射）現(xiàn)象。在分界面兩側(cè)，由于媒質(zhì)的電磁特性不同，波的傳播特性也將發(fā)生變化。我們把投射到分界面上的波稱為入射波，假定兩種媒質(zhì)的分界面為無限大平面。根據(jù)邊界條件，在分界面上，時變的入射場將感應出隨時間變化的電荷或電流，形成新的波源。新波源產(chǎn)生向分界面兩側(cè)傳播的波，其中與入射波在同一媒質(zhì)中傳播的波稱為反射波，進入分界面另一側(cè)傳播的波稱為透射波或折射波。反射波與折射波的特性由分界面兩側(cè)媒質(zhì)的參數(shù)確定。若入射波的傳播方向與分界面的法線平行時，這種入射方式稱為垂直入射。6.6.1對理想導體表面的垂直入射圖6.9平面波對理想導體的垂直入射如圖6.9所示，自由空間中的均勻平面波由左向右沿+z方向投射于理想導體表面上，自由空間與理想導體分界面為圖6.9平面波對理想導體的垂直入射由于理想導體的電導率，所以電磁波不能進入理想導體一側(cè)，由分界面上感應電流所產(chǎn)生的反射波將沿方向傳播。設入射波為x方向線極化波，則入射波的電場強度和磁場強度表示為(6.88)(6.89)式中是入射波的振幅，下標代表入射波。反射波電場強度可表示為(6.90)式中是反射波電場強度的振幅，下標代表反射波。在自由空間內(nèi)任一點的場是入射波與反射波疊加的結(jié)果，即(6.91)利用理想導體表面上電場強度切向分量為零的邊界條件，將代入式(6.91)中，得即(6.92)于是，反射波電場強度可表示為(6.93)利用平面波特性，可求得相應的反射波磁場強度為(6.94)由于反射波沿方向傳播，而根據(jù)式(6.93)，在方向，因此應在方向。合成電場強度和磁場強度分別為(6.95)(6.96)于是，在的自由空間內(nèi)，合成場和的瞬時值為(6.97)(6.98)由式(6.97)可知，當時，即(6.99)則因此，在任意時刻，由式(6.99)確定的點上，電場強度的值總為零，該點稱為電場強度的波節(jié)點。當，即(6.100)則可見，由式(6.100)確定的點上，任意時刻均為電場強度的最大值，該點稱為電場強度的波腹點。圖6.10純駐波圖形從式(6.97)中不難看出，電場強度的波節(jié)點與磁場強度的波腹點相對應，電場強度的波腹點與磁場強度的波節(jié)點相對應。如圖6.10所示。圖6.10純駐波圖形這種波節(jié)點和波腹點位置固定的波稱為駐波，波節(jié)點處值為零的駐波稱為純駐波。平均坡印廷矢量由式(6.49)計算將式(6.95)和式(6.96)代入上式，得因此，在純駐波情況下，只有電能和磁能的相互交換而無能量傳輸。若入射波為圓極化波，例如右旋圓極化波的電場強度表達式為(6.101)根據(jù)線極化條件下的結(jié)果式(6.92)，反射波電場強度為(6.102)合成波電場強度為(6.103)在式(6.102)中，反射波的電場強度分量仍超前分量，但由于傳播方向為方向，因此相對于方向，反射波變成了左旋圓極化波。這個性質(zhì)有重要意義，對于依靠目標反射工作的雷達，如發(fā)射天線發(fā)射的是右旋圓極化波，則接收天線必須具有接受左旋圓極化波的能力，否則將接受不到信號。【例6-3】有一頻率，x方向極化的均勻平面波，從空氣垂直入射到的理想導體表面上，設入射波電場強度振幅為6mV/m，試寫出：(1)入射波電場強度和磁場強度的復數(shù)和瞬時表達式；(2)反射波電場強度和磁場強度的復數(shù)和瞬時表達式；(3)空氣中的合成場和；(4)空氣中離界面第一個電場強度波腹點的位置；(5)理想導體表面的感應電流密度。解(1)入射波電場強度復數(shù)形式式中V/m(rad/m)所以(V/m)磁場強度復數(shù)形式(A/m)瞬時表達式為(A/m)(A/m)(2)反射波電磁場復數(shù)形式由理想導體表面的反射特性知，所以(V/m)(A/m)瞬時表達式為(V/m)(A/m)(3)空氣中的合成場復數(shù)形式(V/m)(A/m)瞬時表達式為(V/m)(A/m)(4)在空氣中離開界面第一個電場強度波腹點位于即得(m)(5)在z=0的理想導體邊界上感應電流密度為（A/m）6.6.2對無限大理想介質(zhì)分界面的垂直入射圖6.11平面波對理想介質(zhì)的垂直入射當平面波垂直入射于無限大理想介質(zhì)分界面時，將會發(fā)生反射和透射現(xiàn)象。如圖6.11所示，z圖6.11平面波對理想介質(zhì)的垂直入射設入射波為x方向線極化波，則入射波的電場強度和磁場強度表示為(6.104)(6.105)式中為入射波電場強度振幅，為介質(zhì)1中的相位常數(shù)。反射波沿方向傳播，設反射波電場強度和磁場強度表示為(6.106)(6.107)式中為反射波電場強度振幅。透射波為沿+z方向傳播，設透射波電場強度和磁場強度表示為(6.108)(6.109)式中為透射波電場強度振幅，為介質(zhì)2中的相位常數(shù)。下面利用邊界條件來確定和與的關系。根據(jù)介質(zhì)分界面兩側(cè)電場強度和磁場強度的切向分量分別連續(xù)的邊界條件，在處有和，即則(6.110a)(6.110b)其中，。由式(6.110a)和式(6.110b)解得(6.111)(6.112)令(6.113)(6.114)式中稱為反射系數(shù)，即分界面上反射波電場強度與入射波電場強度之比；稱為透射系數(shù)或折射系數(shù)，即分界面上透射波電場強度與入射波電場強度之比。由式(6.113)和式(6.114)可見，與之間的關系為 (6.115)應用，可得介質(zhì)1中的合成電場強度和磁場強度分別為(6.116a)(6.116b)應用可得，介質(zhì)2中的透射波電場強度和磁場強度分別為(6.117a)(6.117b)將式(6.116a)展開,有因此，的模值為(6.118)圖6.12介質(zhì)界面反射形成的駐波圖6.12給出了時，介質(zhì)1中合成電場強度的模值在-z軸上的分布。此時，入射波電場強度與反射波電場強度在分界面上同相，在界面上達到極大值。反之，當時，即，分界面上為極小值。圖6.12介質(zhì)界面反射形成的駐波入射波能量、反射波能量和透射波能量間的關系如下：在介質(zhì)1中，平均坡印廷矢量為(6.119)在介質(zhì)2中，平均坡印廷矢量為(6.120)由式(6.119)可見，介質(zhì)1中的平均坡印廷矢量是入射波平均坡印廷矢量與反射波平均坡印廷矢量的差值。由于式(6.119)與式(6.120)相等，故有(6.121)式(6.121)說明了入射、反射和透射能量三者之間符合能量守恒規(guī)律。6.6.3對無限大有耗媒質(zhì)分界面的垂直入射當分界面兩側(cè)為有損耗媒質(zhì)時，可用復介電常數(shù)代替實數(shù)來進行討論。分析方法與上述方法相同。設入射波為x方向的線極化波，沿+z方向傳播，z=0平面為有耗媒質(zhì)分界面。則入射波電場強度和磁場強度分別表示為(6.122)(6.123)式中，。在z=0分界面處，反射系數(shù)和透射系數(shù)均為復數(shù)，分別為(6.124)和(6.125)于是，反射波電場強度和磁場強度可表示為(6.126)(6.127)透射波電場強度和磁場強度可表示為(6.128)(6.129)式中，。媒質(zhì)1中的合成電場強度和磁場強度分別為(6.130)(6.131)媒質(zhì)1中的平均坡印廷矢量為(6.132)其中入射波的平均功率密度為(6.133a)反射波的平均功率密度為(6.133b)入射波和反射波交叉耦合引起的平均功率密度為（6.133c）可見媒質(zhì)2中的平均坡印廷矢量為(6.134)【例6-4】有一頻率為300kHz，x方向極化的均勻平面波，從自由空間垂直入射于z=0處的導電媒質(zhì)(mS/m)分界面上，若分界面上入射波電場強度的振幅為10V/m，求反射波的平均功率密度，及透射波的平均功率密度。解由于媒質(zhì)1為自由空間，則(rad/m)即(rad/m)(W)入射波可表示為(V/m)(A/m)在媒質(zhì)2中，損耗角正切為復介電常數(shù)為因此則(rad/m)反射系數(shù)透射系數(shù)反射波可表示為(V/m)(A/m)透射波可表示為(V/m)