廣東省佛山市大瀝中學2023年高二數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知橢圓的兩個焦點分別為，點在橢圓上且，則Δ的面積是（

）A．

B.

C.

D.1參考答案：D略2.不等式的解集為（）

A.(-∞,-1)(1,+∞)B.(-∞,-2)(2,+∞)C.(-1,1)D.(-2,2)參考答案：解析：注意到xR,x2=|x|2∴x2-|x|-2<0|x|2-|x|-2<0(|x|-2)(|x|+1)<0|x|-2<0|x|<2故應選D3.不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣2，0）∪（0，2）參考答案：D【考點】R5：絕對值不等式的解法．【分析】直接利用絕對值不等式的解法，去掉絕對值后，解二次不等式即可．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等價于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故選D．4.4名同學甲、乙、丙、丁按任意次序站成一排，甲或乙站在邊上的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】先求出甲、乙、丙、丁四人并排站成一排的事件種數，然后求出甲和乙站在中間的情況，從而求出甲或乙站在邊上的情況，最后利用古典概型的概率公式進行求解即可．【解答】解：甲、乙、丙、丁四人并排站成一排一共有A44=24種甲和乙站在中間的情況有A22?A22=4種∴甲或乙站在邊上的情況有20種甲或乙站在邊上的概率為=，故選：B．【點評】本題求的是概率實際上本題考查的是排列問題，把排列問題包含在實際問題中，解題的關鍵是看清題目的實質，把實際問題轉化為數學問題，解出結果以后再還原為實際問題．5.已知，則是的（）條件A、充分不必要B、必要不充分C、既不充分也不必要D、充要參考答案：D6.曲線在點A（0,1）處的切線斜率為（

）

A.1

B.2

C.

D.參考答案：A略7.拋物線焦點坐標是（

）

A．(，0) B．(，0) C．(0,) D．(0,)參考答案：C8.一個正方體的所有頂點都在同一球面上,若球的體積是,則正方體的表面積是(

)

A．8

B．6

C．4

D．3參考答案：A略9.已知：平面α⊥平面β，α∩β=l，在l上取線段AB=4，AC、BD分別在平面α和平面β內，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC=3，BD=12，則CD的長度（）A．13 B． C．12 D．15參考答案：A【考點】點、線、面間的距離計算．【分析】如圖所示，連接BC．由DB⊥AB，平面α⊥平面β，α∩β=l=AB，可得BD⊥平面α，BD⊥BC，又AC⊥AB，利用勾股定理即可得出．【解答】解：如圖所示，連接BC．∵DB⊥AB，平面α⊥平面β，α∩β=l=AB，∴BD⊥平面α，BC?平面α，∴BD⊥BC，又AC⊥AB，∴CD2=BD2+BC2=BD2+AC2+BC2=122+32+42=132，∴CD=13，故選：A．10.已知下表所示數據的回歸直線方程為，則實數a的值為（）x23456y3711a21A．16 B．18 C．20 D．22參考答案：B【考點】BK：線性回歸方程．【分析】由表中數據計算樣本中心點的橫坐標，根據回歸直線經過樣本中心點求出的值，從而求出a的值．【解答】解：由表中數據知，樣本中心點的橫坐標為：=×（2+3+4+5+6）=4，由回歸直線經過樣本中心點，得=4×4﹣4=12，即=×（3+7+11+a+21）=12，解得a=18．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

參考答案：1512.已知雙曲線的漸近線方程為，拋物線C：的焦點F與雙曲線E的右焦點重合，過F的直線交拋物線C于M，N兩點，O為坐標原點，若向量與的夾角為120°，則的面積為_____.參考答案：【分析】根據雙曲線的幾何性質，求得拋物線的方程為，設直線的斜率為，則直線的方程為，代入拋物線的方程，由根與系數的關系，求得，設，根據向量的數量積的運算，求得，即可求解的面積．【詳解】由題意，雙曲線，可得雙曲線的焦點在軸上，且，又由漸近線方程為，所以，解得，即，所以雙曲線的右焦點，又因為拋物線：的焦點與雙曲線的右焦點重合，即，解得，所以拋物線的方程為，設直線的斜率為，則直線的方程為，代入拋物線的方程消去，可得，設，由根與系數的關系，求得，設，則，又因為，則，解得，所以的面積為．【點睛】本題主要考查了雙曲線的幾何性質，直線與拋物線的位置關系的應用，其中解答中熟練應用雙曲線的幾何性質求得拋物線的方程，再根據直線拋物線的位置關系，利用根與系數的關系，利用向量的數量積求得的值是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．13.函數的單調遞增區間是

參考答案：略14.如果函數沒有零點（即與x軸沒有交點），則實數a的取值范圍是____________________。參考答案：略15.若命題：“?x∈R，ax2﹣ax﹣1≤0”是真命題，則實數a的取值范圍是

．參考答案：[﹣4，0]【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】根據全稱命題的性質及一元二次不等式的性質，分類進行求解即可．【解答】解：當a=0時，﹣1≤0成立；當a≠0時，則?﹣4≤a＜0綜上：實數a的取值范圍是[﹣4，0]故答案為：[﹣4，0]．【點評】本題主要考查命題的真假應用，結合一元二次不等式的解法是解決本題的關鍵，同時考查了分類討論思想，屬于基礎題．16.二維空間中圓的一維測度（周長），二維測度（面積），觀察發現；三維空間中球的二維測度（表面積），三維測度（體積），觀察發現.已知四維空間中“超球”的三維測度，猜想其四維測度________.參考答案：17.雙曲線y2﹣2x2=8的漸近線方程為

．參考答案：

【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】根據題意，將雙曲線的方程變形為標準方程，分析可得其焦點位置以及a、b的值，利用雙曲線的漸近線方程計算可得答案．【解答】解：根據題意，雙曲線的方程為：y2﹣2x2=8，變形可得﹣=1，則其焦點在y軸上，且a==2，b==2，則其漸近線方程為，故其答案為：．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，需要先將雙曲線的方程變形為標準方程．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知命題：方程的圖象是焦點在軸上的雙曲線；命題：不等式在上恒成立；又為真，為真，求實數的取值范圍.參考答案：解：是焦點在軸上的雙曲線，ks5u7分9分10分略19.已知，復數.（1）若z為純虛數，求a的值；（2）在復平面內，若對應的點位于第二象限，求a的取值范圍.參考答案：（1）（2）【分析】（1）先利用復數的除法得到，根據為純虛數可得.（2）先求出，根據其對應的點在第二象限可得橫坐標、縱坐標滿足的不等式，從而得到的取值范圍.【詳解】解：（1）因為為純虛數，所以，且，則（2）由（1）知，，則點位于第二象限，所以，得.所以的取值范圍是.【點睛】本題考查復數的除法、復數的概念及復數的幾何意義，屬于基礎題.20.已知f（x）=ax2（a∈R），g（x）=2lnx．（1）討論函數F（x）=f（x）﹣g（x）的單調性；（2）若方程f（x）=g（x）在區間[，e]上有兩個不等解，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；函數的零點與方程根的關系．【分析】（1）先確定函數的定義域然后求導數F′（x），在函數的定義域內解不等式F′（x）＞0和F′（x）＜0，求出單調區間．（2）方程f（x）=g（x）在區間[，e]上有兩個不等解等價于a=在[，e]上有兩個不等解，令h（x）=，利用導數研究其單調性，從而得出它的最小值，即可得到a的取值范圍．【解答】解：（1）F（x）=ax2﹣2lnx

（x＞0）所以F′（x）=（x＞0）所以當a＞0時，函數在（0，）上是減函數，在（，+∞）上是增函數，a≤0時，函數在（0，+∞）上是減函數．（2）方程f（x）=g（x）在區間[，e]上有兩個不等解，等價于a=在[，e]上有兩個不等解令h（x）=則h′（x）=故函數h（x）在（，）上是增函數，在（，e）上是減函數．所以h（x）max=h（）=又因為h（e）=＜h（2）==h（）

故

h（x）min=h（e）=，所以≤a＜．即a的取值范圍：≤a＜．21.從高三抽出50名學生參加數學競賽，由成績得到如圖的頻率分布直方圖．試利用頻率分布直方圖求：（1）這50名學生成績的眾數與中位數．

（2）這50名學生的平均成績．（答案精確到0.1）參考答案：（1）由眾數的概念可知，眾數是出現次數最多的數．在直方圖中高度最高的小長方形框的中間值的橫坐標即為所求，所以由頻率分布直方圖得眾數應為75．由于中位數是所有數據中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現的是中位數的左右兩邊頻數應相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將頻率分布直方圖中所有小矩形的面積一分為二的直線所對應的成績即為所求．∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3，∴前三個小矩形面積的和為0.3．而第四個小矩形面積為0.03×10=0.3，0.3+0.3＞0.5，∴中位數應位于第四個小矩形內．設其底邊為x，高為0.03，∴令0.03x=0.2得x≈6.7，故中位數約為70+6.7=76.7．（2）樣本平均值應是頻率分布直方圖的“重心”，即所有數據的平均值，取每個小矩形底邊的中點值乘以每個小矩形的面積即可．∴平均成績為45×（0.004×10）+55×（0.006×10）+65×（0.02×10）+75×（0.03×10）+85×（0.021×10）+95×（0.016×10）≈73.7考點：眾數、中位數、平均數；頻率分布直方圖．專題：概率與統計．分析：（1）由眾數的概念可知，眾數是出現次數最多的數．在直方圖中高度最高的小長方形框的中間值的橫坐標即為所求；由于中位數是所有數據中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現的是中位數的左右兩邊頻數應相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將頻率分布直方圖中所有小矩形的面積一分為二的直線所對應的成績即為所求．（2）樣本平均值應是頻率分布直方圖的“重心”，即所有數據的平均值，取每個小矩形底邊的中點值乘以每個小矩形的面積即可．解答：解：（1）由眾數的概念可知，眾數是出現次數最多的數．在直方圖中高度最高的小長方形框的中間值的橫坐標即為所求，所以由頻率分布直方圖得眾數應為75．由于中位數是所有數據中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現的是中位數的左右兩邊頻數應相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將頻率分布直方圖中所有小矩形的面積一分為二的直線所對應的成績即為所求．∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3，∴前三個小矩形面積的和為0.3．而第四個小矩形面積為0.03×10=0.3，0.3+0.3＞0.5，∴中位數應位于第四個小矩形內．設其底邊為x，高為0.03，∴令0.03x=0.2得x≈6.7，故中位數約為70+6.7=76.7．（2）樣本平均值應是頻率分布直方圖的“重心”，即所有數據的平均值，取每個小矩形底邊的中點值乘以每個小矩形的面積即可．∴平均成績為45×（0.004×10）+55×（0.006×10）+65×（0.02×10）+75×（0.03×10）+85×（0.021×10）+95×（0.016×10）≈73.7．點評：本題考查眾數、中位數、平均成績的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的合理運用22.（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱的底面正三角形的邊長是2，D是的中點，直線與側面所成的角是．（Ⅰ）求二面角的大小；（Ⅱ）求點到平面的距離．參考答案：解：解法一（1）設側棱長為，取BC中點