章末分層突破[自我校對]①幾何概型②對立事件③P(A)＋P(B)④1－P(B)隨機事件及其概率必然事件與不可能事件反映的都是在一定條件下的確定性現象，而隨機事件反映的則是隨機現象，事件都是在“一定條件下”發生的，當條件改變時，事件的類型也可以發生變化．隨機事件的概率是指大量重復進行同一試驗時，隨機事件A發生的頻率eq\f(m,n)接近的常數，記作P(A)．它反映的是這個事件發生的可能性的大小，即一個隨機事件的發生既有隨機性(對單次試驗來說)又有規律性(對大量重復試驗來說)，其中規律性是體現在eq\f(m,n)的值具有穩定性，即當隨機試驗的次數不斷增加時，eq\f(m,n)的值總在某個常數附近擺動且擺動的幅度越來越小．必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，故0≤P(A)≤1.對一批電子元件進行抽檢，結果如下表：抽出件數a50100200300400500次品件數b345589次品頻率eq\f(b,a)(1)計算表中次品的頻率；(2)從這批電子元件中任抽一個是次品的概率約是多少？(3)為保證買到次品的顧客能夠及時更換，要銷售2000個電子元件，至少需進貨多少個電子元件？【精彩點撥】根據頻率、概率的定義及概率的意義求解．【規范解答】(1)表中的頻率從左到右依次為eq\f(3,50)＝，eq\f(4,100)＝，eq\f(5,200)＝，eq\f(5,300)≈，eq\f(8,400)＝，eq\f(9,500)＝.(2)當抽取件數a越來越大時，出現次品的頻率在附近擺動，所以從這批電子元件中任抽一個是次品的概率約是.(3)設需要進貨x個電子元件，為保證其中有2000個正品電子元件，則x(1－≥2000，因為x是正整數，所以x≥2041，即至少需進貨2041個電子元件．[再練一題]1．某射手在相同條件下進行射擊，結果如下：射擊次數n102050100200500擊中靶心次數m8194492178455擊中靶心的頻率(1)問該射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？(2)假設該射手射擊了300次，估計擊中靶心的次數是多少？(3)假如該射手射擊了10次，前9次已擊中8次，那么第10次一定擊中靶心嗎？【解】(1)概率約為；(2)估計擊中靶心的次數為300×＝270(次)；(3)不一定.古典概型與幾何概型古典概型是一種最基本的概率模型，也是學習其他概率模型的基礎．解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性．在應用公式P(A)＝eq\f(m,n)時，要正確理解基本事件與事件A的關系，求出n，m.幾何概型同古典概型一樣，是概率中最具有代表性的試驗概型之一，我們要理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特征，即無限性與等可能性．在應用公式P(A)＝eq\f(d的測度,D的測度)時，要正確理解測度的類型．古典概型與幾何概型在高考中占有非常重要的位置，是高考的常見題型．在甲、乙兩個盒子中分別裝有標號為1、2、3、4的四個球，現從甲、乙兩個盒子中各取出1個球，每個小球被取出的可能性相等．(1)求取的兩個球上標號為相鄰整數的概率；(2)求取的兩個球上標號之和能被3整除的概率．【精彩點撥】eq\x(古典概型)→eq\x(列舉法確定事件的個數)→eq\x(按公式求概率)【規范解答】從甲、乙兩個盒子中各取出1個球，所有編號的可能情況有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．共16種．(1)設“取的兩個球上標號為相鄰整數”為事件A，則事件A包含的基本事件有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，共6個．∴P(A)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).即取的兩球上標號為相鄰整數的概率為eq\f(3,8).(2)設“取的兩個球上標號之和能被3整除”為事件B，則事件B包含的基本事件有(1,2)，(2,1)，(3,3)，(2,4)，(4,2)，共5個．∴P(B)＝eq\f(5,16).即取的兩個球上標號之和能被3整除的概率為eq\f(5,16).[再練一題]2．在區間(0,1)內任取兩個實數，則這兩個實數的和大于eq\f(1,3)的概率為多少？【導學號：11032075】【解】設在區間(0,1)內任取的兩個實數分別為x，y，則0＜x＜1,0＜y＜1，則區域M＝{(x，y)|0＜x＜1,0＜y＜1}為如圖所示的正方形區域，記事件A＝{(x，y)|x＋y＞eq\f(1,3)，0＜x＜1,0＜y＜1}，則其所表示區域為圖中陰影部分，所以P(A)＝eq\f(S陰影,SM)＝eq\f(1－\f(1,2)×\f(1,3)×\f(1,3),1×1)＝eq\f(17,18).互斥事件與對立事件互斥事件和對立事件都是研究怎樣從一些較簡單的事件的概率來推算較復雜事件的概率的．應用互斥事件的概率的加法公式解題時一定注意要先確定各個事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發生的概率，再根據公式求和．對于較復雜事件的概率，可以轉化為求其對立事件的概率，含有“至多”、“至少”的問題求概率時，常考慮其對立事件的概率．互斥事件和對立事件是高考考查的重點內容，也是高考的熱點．現有8名數理化成績優秀者，其中A1，A2，A3數學成績優秀，B1，B2，B3物理成績優秀，C1，C2化學成績優秀．從中選出數學、物理、化學成績優秀者各1名，組成一個小組代表學校參加競賽．(1)求C1被選中的概率；(2)求A1和B1不全被選中的概率．【精彩點撥】(1)運用古典概型求解．(2)利用對立事件的概率求解．【規范解答】(1)從8人中選出數學、物理、化學成績優秀者各1名，其一切可能的結果有：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，共18種．由于每一個基本事件被抽取的機會均等．因此這些基本事件的發生是等可能的．用M表示“C1恰被選中”這一事件，則M包含的基本事件有(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)，共9個．事件M由9個基本事件組成，因而P(M)＝eq\f(9,18)＝eq\f(1,2).∴C1被選中的概率為eq\f(1,2).(2)用N表示“A1，B1不全被選中”這一事件，則其對立事件eq\o(N,\s\up6(－))表示“A1，B1全被選中”這一事件，則eq\o(N,\s\up6(－))包含的基本事件有(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)共2個，所以P(eq\o(N,\s\up6(－)))＝eq\f(2,18)＝eq\f(1,9).由對立事件的概率公式得P(N)＝1－P(eq\o(N,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).∴A1和B1不全被選中的概率為eq\f(8,9).[再練一題]3．某射手在一次射擊中射中10環、9環、8環、7環、7環以下的概率分別為、、、、.計算這個射手在一次射擊中：(1)射中10環或9環的概率；(2)至少射中7環的概率；(3)射中環數不足8環的概率．【解】設“射中10環”“射中9環”“射中8環”“射中7環”“射中7環以下”的事件分別為A、B、C、D、E，(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即射中10環或9環的概率為.(2)法一P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝，即至少射中7環的概率為.法二射中環數小于7為至少射中7環的對立事件，所以所求事件的概率為1－P(E)＝1－＝.(3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝＋＝，即射中環數不足8環的概率為.數形結合思想在概率中的應用數形結合思想的實質就是把抽象的數學語言、數量關系和直觀的圖形結合起來．包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面．在本節中把幾何概型問題利用坐標系轉化成圖形問題(或符合條件的點集問題)去解決．甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一個人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率．【精彩點撥】利用幾何概型求概率即可．【規范解答】以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間，則兩人能夠會面的充要條件是|x－y|≤15.如圖平面直角坐標系下，(x，y)的所有可能結果是邊長為60的正方形，而事件A“兩人能夠會面”的可能結果由圖中的陰影部分表示，由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(SA,S)＝eq\f(602－452,602)＝eq\f(7,16).[再練一題]4．三個人玩傳球游戲，每個人都等可能地傳給另兩人(不自傳)，若從A發球算起，經4次傳球又回到A手中的概率是多少？【解】記三人為A，B，C，則4次傳球的所有可能可用樹狀圖方式列出，每一個分支為一種傳球方案，則基本事件的總數為16，而又回到A手中的事件個數為6個，根據古典概型概率公式得P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).1．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球．從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為______．【解析】由古典概型概率公式，得所求事件的概率為P＝eq\f(C\o\al(2,4)－C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6).【答案】eq\f(5,6)2．從1,2,3,6這4個數中一次隨機地取2個數，則所取2個數的乘積為6的概率是________．【解析】取兩個數的所有情況有：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6種情況．乘積為6的情況有：(1,6)，(2,3)，共2種情況．所求事件的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)3．現有某類病毒記作XmYn，其中正整數m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數的概率為________．【解析】因為正整數m，n滿足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值一共有7×9＝63(種)，其中m，n都取到奇數的情況有4×5＝20(種)，因此所求概率為P＝eq\f(20,63).【答案】eq\f(20,63)4．將一顆質地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現向上的點數之和小于10的概率是________．【解析】畫出示意圖，由圖易知先后拋擲2次，共有36種不同的等可能的結果，點數之和小于10的結果有30種，不小于10的結果有6種．法一：所求概率P＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).法二：所求概率P＝1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).【答案】eq\f(5,6)5．在[－1,1]上隨機地取一個數k，則