第第頁中考數(shù)學(xué)試題分類匯總《相似三角形》練習(xí)題（含答案）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（2，1），D（3，0），△ABC與△DEF位似，原點O是位似中心，則E點的坐標(biāo)是（）A．（7，4） B．（7，3） C．（6，4） D．（6，3）【解答】解：∵A（1，0），D（3，0），∴OA＝1，OD＝3，∵△ABC與△DEF位似，∴AB∥DE，∴＝＝，∴△ABC與△DEF的位似比為1：3，∵點B的坐標(biāo)為（2，1），∴E點的坐標(biāo)為（2×3，1×3），即E點的坐標(biāo)為（6，3），2．如圖，一次函數(shù)y＝2x+3的圖象交y軸于點A，交x軸于點B，點P在線段AB上（不與A，B重合），過點P分別作OB和OA的垂線，垂足分別為C，D．當(dāng)矩形OCPD的面積為1時，點P的坐標(biāo)為（）A．（﹣，2）B．（﹣1，1） C．（﹣，2）或（﹣1，1）D．不存在【解答】解：設(shè)P（m，2m+3），根據(jù)題意，得矩形OCPD的面積：（﹣m）（2m+3）＝1，解方程，得m＝﹣1或m＝﹣，∴P點坐標(biāo)（﹣1，1）或（﹣，2），相似三角形的判定與性質(zhì)3．如圖，在△ABC中，若點D、E分別是AB、AC的中點，S△ABC＝4，則S△ADE＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由中位線定理可得線段DE與BC的比，即可得出△ADE與△ABC的比，又已知△ABC的面積，進(jìn)而即可得出△ADE的面積．【解答】解：∵D，E分別是AB，AC的中點，∴DE：BC＝1：2，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2，即＝，∴S△ADE＝1．4．如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P為CD邊上的動點，當(dāng)△ADP與△BCP相似時，DP＝1或4或2.5．【解答】解：①當(dāng)△APD∽△PBC時，＝，即＝，解得：PD＝1，或PD＝4；②當(dāng)△PAD∽△PBC時，＝，即＝，解得：DP＝2.5．綜上所述，DP的長度是1或4或2.5．5．如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為2和3，∠A＝120°，則圖中陰影部分的面積是．【分析】設(shè)BF與CE相交于點H，利用△BCH和△BGF相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出CH，再求出DH，然后求出AB、GF之間的距離，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解．【解答】解：如圖，設(shè)BF與CE相交于點H，∵CE∥GF，∴△BCH∽△BGF，∴＝，即＝，解得CH＝，∴DH＝CD﹣CH＝2﹣＝，∵∠A＝120°，∴AB、GF之間的距離＝（2+3）×＝，∴陰影部分的面積＝××＝．6．如圖，在△ABC中，若點D、E分別是AB、AC的中點，S△ABC＝4，則S△ADE＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由中位線定理可得線段DE與BC的比，即可得出△ADE與△ABC的比，又已知△ABC的面積，進(jìn)而即可得出△ADE的面積．【解答】解：如圖，∵D，E分別是AB，AC的中點，∴DE：BC＝1：2，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2，即＝，∴S△ADE＝1．7．在△ABC中，已知D、E分別為邊AB、AC的中點，若△ADE的周長為4cm，則△ABC的周長為8cm．【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由于DE是△ADC的中位線，∴＝，∴l(xiāng)△ABC＝8相似三角形的綜合8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．在它的內(nèi)部作一個矩形DEFG，使得DE在邊AB上，F(xiàn)、G分別在邊BC、AC上．設(shè)DE＝x，矩形DEFG的面積為y．（1）寫出圖中的一對相似三角形；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）若、是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，判斷線段MN與（2）中函數(shù)圖象的交點情況，并求出對應(yīng)m的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)FG∥AB，得∠CFG＝∠B，可說明△CFG∽△CBA；（2）作CH⊥AB于H，交FG于P，利用勾股定理得AB＝10，再利用等積法求出CH的長，再利用相似三角形的性質(zhì)表示出EF的長，從而求出y與x的函數(shù)解析式；（3）由點N的坐標(biāo)，可知點N在直線y＝x上運動，且MN∥x軸，根據(jù)函數(shù)圖象即可解決問題．【解答】解：（1）∵FG∥AB，∴∠CFG＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△CFG∽△CBA（答案不唯一）；（2）作CH⊥AB于H，交FG于P，∵AC＝6，BC＝8．由勾股定理得AB＝10，∴，∴CH＝，∵△CFG∽△CBA，∴，∴，解得EF＝，∴y＝（）x＝﹣+；（3）∵，∴點N在直線y＝x上運動，且MN∥x軸，點N在拋物線上時，﹣，解得m＝0或，∴當(dāng)m＜時，線段MN與（2）中函數(shù)圖象有一個交點，∵y＝﹣+的對稱軸為直線x＝5，∴當(dāng)x＝5時，y＝12，當(dāng)m＝12時，m＝24，∴當(dāng)時，線段MN與（2）中函數(shù)圖象有兩個交點，當(dāng)m＝24時，MN與（2）中函數(shù)圖象有一個交點，當(dāng)m＞24時，MN與（2）中函數(shù)圖象沒有交點，綜上：當(dāng)m＜或m＝24時，線段MN與（2）中函數(shù)圖象有一個交點，當(dāng)時，線段MN與（2）中函數(shù)圖象有兩個交點，當(dāng)m＞24時，MN與（2）中函數(shù)圖象沒有交點．9．如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個動點，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點E、F，已知AD＝4．（1）試說明AE2+CF2的值是一個常數(shù)；（2）過點P作PM∥FC交CD于點M，點P在何位置時線段DM最長，并求出此時DM的值．解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，

又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，∴∠ABE=∠BCF，

∵在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE=BF，

∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數(shù)；（2）設(shè)AP=x，則PD=4-x，

由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，

∴△PDM∽△BAP，當(dāng)x=2時，即點P是AD的中點時，DM有最大值為1．10．如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AF平分∠BAC，交BD于點E，交BC于點F，若BE＝BF＝2，則AD＝2+2．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得AD＝DE，設(shè)∠BEF＝∠AFD＝∠DAF＝x，又AF平分∠BAC，得∠BAF＝∠CAF，設(shè)∠BAF＝∠CAF＝y(tǒng)，則∠DAC＝∠DAF﹣∠EAF＝x﹣y，然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BFE，∵BE＝BF＝2，∴∠BEF＝∠BFE，∵∠BEF＝∠AED＝∠BFE＝∠DAF，∴AD＝DE，設(shè)∠BEF＝∠AFD＝∠DAF＝x，又AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF，設(shè)∠BAF＝∠CAF＝y(tǒng)，則∠DAC＝∠DAF﹣∠EAF＝x﹣y，∵∠ABD＝∠AED﹣∠BAF，∴x﹣y＝∠DAC，∠ADO＝∠ADB，∴△ADO∽△BDA，設(shè)AD＝DF＝m，∴，∴BD＝BE+DE＝2+m，∴DO＝BD＝（2+m），∴，∴2m2＝（2+m）2＝m2+4m+4，即m2﹣4m﹣4＝0，∴m1＝2+2，m2＝2﹣2（舍去），經(jīng)檢驗m＝2+2是分式方程的解，∴AD＝2+2．11．如圖，在?ABCD中，E為AB延長線上一點，F(xiàn)為AD上一點，∠DEF＝∠C．若DE＝4，AF＝，則BC的長是（）A． B． C．6 D．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC，∠A＝∠C，結(jié)合已知得出△DFE∽△DEA，利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合題意求出AD的長度，即可得出BC的長度．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，∵∠DEF＝∠C，∴∠DEF＝∠A，∵∠EDF＝∠ADE，∴△DFE∽△DEA，∴，∵DE＝4，AF＝，∴DF＝AD﹣AF＝AD﹣，∴，∴42＝（AD一）?AD，∴AD＝或AD＝﹣3（舍去），∴BC的長是，相似三角形的應(yīng)用12．如圖，為了測量操場上一棵大樹的高度，小明拿來一面鏡子平放在離樹根部5m的地面上，然后沿著樹根和鏡子所在的直線后退，當(dāng)后退1m時，正好在鏡中看見樹的頂端．若小明的眼睛到地面的距離為1.5m，則大樹的高度是7.5m．【分析】入射角等于反射角，兩個直角相等，那么圖中的兩個三角形相似，利用對應(yīng)邊成比例可求得樹高．【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△ABC∽△DBE，∴BC：BE＝AC：DE，即1：5＝1.5：DE，∴DE＝7.5（m），13．小明的身高為1.6m，某一時刻他在陽光下的影子長為2m，與他鄰近的一棵樹的影長為10m，則這棵樹的高為8m．【解答】解：設(shè)這棵樹的高度為xm，根據(jù)相同時刻的物高與影長成比例，則可列比例為：，解得x＝8．14