第二章矩陣及其運算重點：1.矩陣加法、數乘、乘積、轉置

2.方陣的行列式

3.伴隨矩陣

4.逆矩陣

5.矩陣分塊可到以下公共郵箱下載課件：caucla2013@163.com密碼：2013la1.矩陣的定義

由mn個數aij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)排成的m行n列的數表:稱為m行n列的矩陣.簡稱

mn矩陣.簡記為:這mn個數aij稱為矩陣A的元素.A=Amn=(aij)mn=(aij).一、基本概念

設A=(aij)是一個ms矩陣,B=(bij)是一個sn

矩陣,定義矩陣A與矩陣B的乘積C=(cij)是一個mn矩陣,其中6.矩陣與矩陣相乘(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).并把此乘積記作C=AB.5.數與矩陣相乘

數與矩陣A=(aij)的乘積定義為(aij),記作A或A,簡稱為數乘.(注意與數乘行列式的區別)注意：矩陣相乘不滿足交換律4.矩陣的加法

設有兩個同型的mn

矩陣A=(aij)與B=(bij),那末矩陣A與B的和定義為(aij+bij),記作A+B,即

把矩陣A的行列互換,所得到的新矩陣,叫做矩陣A的轉置矩陣,記作AT.7.轉置矩陣(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;轉置矩陣的運算性質

由n

階方陣A的元素所構成的行列式叫做方陣A的行列式,記作|A|或detA.方陣行列式的運算性質(1)|AT|=|A

|;(2)|A|=n|A

|;(3)|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.一個重要結論(7)行列式|

A

|的各個元素的代數余子式Aij

所構成的如下矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣.性質:

(1)AA*

=

A*A

=

|

A

|

E.(2)

對于n

階方陣A,如果存在一個n

階方陣B,使得AB=BA=E則稱矩陣A是可逆的(非奇異的,非退化的),并稱矩陣B為A的逆矩陣.A的逆矩陣記作A-1.10.逆矩陣(2)矩陣A可逆的充要條件是|

A

|

0.(3)若A是可逆矩陣,則(1)若AB=E(或BA=E),則B=A-1.(4)若矩陣A可逆,且

0,則

A

亦可逆,且(5)若A可逆,則A-1亦可逆,且(A-1)-1=

A.(7)若矩陣A可逆,則AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.(6)若A,B為同階可逆方陣,則AB亦可逆,且(AB)-1=

B-1A-1.(8)若矩陣A可逆,則有|

A-1|=|

A

|-1.例4:

求的逆矩陣(

ad

–

bc

0

).

求二階矩陣A的逆可用“兩調一除”的方法,其做法如下:

先將矩陣A中的主對角元素調換其位置,再將次對角元素調換其符號,最后除A的行列式|A|.二階矩陣求逆矩陣的計算對角矩陣的逆矩陣分塊對角陣的逆矩陣類似！逆矩陣的計算方法:(3)初等變換法(2)伴隨矩陣法:低階矩陣(1)定義法;(4)分塊矩陣法;待定系數A為n階方陣,記(A)=a0E+a1A+···+amAm,則(A)稱為方陣A的m次多項式,簡稱矩陣多項式.矩陣多項式可以類似與一般多項式一樣相乘或分解因式.

定義:設A,B都是n階矩陣,若有可逆矩陣P,使P-1AP

=

B

,則稱矩陣A與B相似.也有A

=

PBP-1,相似矩陣有(1).Am

=

PBmP-1.(2).若(A)=a0E+a1A+···+amAm,則(A)=P(B)P-1一、矩陣的運算（加法、數乘、乘法和轉置）2010年期末考試題

(課后題2題)：

求及設三、計算下列各題2012年選考題2012年選考題2011年期末考試題，填空題(4分)(課后題2題)：2011年選考題，填空題(4分)矩陣的n次冪矩陣拆分相乘2012年期末考試題2012年期末考試題二項式法二項式法二、求解矩陣方程2010年期末考試題(8分)(課后題15題)：設求B.2010年選考題2010年期末考題(I)，2011年選考題求解矩陣方程2011年期末考題2008年期末考題設矩陣X滿足關系式求X.2009年期末考題(課后題16題)：設求B.答案：42011年選考題三、計算方陣行列式(逆矩陣、伴隨矩陣)2011年期末考題2009年期末考題二、填空題4.設且存在，則四、逆矩陣課后題22題：設方陣A滿足證明A及A+2E都可逆,并求及.設方陣A滿足證明A及A+2E都可逆,A22009年期末考題2.設A、B均為n階可逆矩陣，且AB=BA，則下列命題不正確的是()(A)(B)(C)(D)2.設n階矩陣A,B,C滿足關系式ABC=E，E為n階單位矩陣，則必有().(A)ACB=E;(B)CBA=E;(C)BAC=E;(D)BCA=E.2008年期末考題(II)DC2012年選考題、課后21題例5(課后題24題)

設n階矩陣A的伴隨矩陣為A*,證明:(1)若|A|=0,則|A*|=0;(2)|A*|=|A|n–1.2010年期末考試(II)

一、填空題(4)設A是n階方陣，且，而是A的伴隨矩陣，則4、設A是n階方陣，且|A|=0,而A*是A的伴隨矩陣，則|A*

|=.02010年期末考試(I)五、伴隨矩陣設A=的伴隨矩陣為A*,則(A*)–1=

2008年期末考題(I)課后題23題：設A可逆，證明其伴隨陣A*也可逆，且.2010年期末考題(I)二、選擇（每題4分，共16分）1、設A與B均為n階方陣，則下列結論中成立的是()|AB|=0,則A=0或B=0;B.|AB|=0,則|A|=0或|B|=0；C.AB=0,則A=0或B=0;

D.AB≠0,則|A|≠0或|B|≠0；

B1.設則|AB|=().