第七章圖像投影重建圖像投影重建，一般只從一個物體的多個（軸向）投影圖重建目標圖像的過程。輸入是投影圖，輸出是重建圖。投影重建與計算機層析成像（CT）關系密切。一個X射線源與接受膠片以相反方向運動。章節安排：7.1節介紹典型的投影重建方式，CT、MRI、電阻抗斷層7.2節2-D、3-D投影原理分析討論，給出由拉東變換得到的中心層定理7.3節介紹重建圖像質量較差，但所需要計算量較小的傅里葉反變換重建法7.4節介紹幾種容易用軟件和硬件實現，切效果比較準確清晰的逆投影重建法7.5節介紹代數重建技術，可以通過迭代計算直接得到數值解7.6節討論將變換法和級數展開法相結合的綜合方法圖象投影重建的歷史1971年：第1臺CT機器建成1972年：公布這臺機器（1973年正式使用）1979年：兩個發明人豪斯費爾德（G.H.Hounsfield）和柯馬克（A.M.Cormack）獲得了諾貝爾生理和醫學獎，獲得CT圖象也被認為是第一次通過解決一個屬于逆問題和病態問題（inverseandill-posedproblems）的數學問題來獲得圖象的成功實例圖象投影重建根據一個物體的投影圖重建目標圖象的過程輸入投影圖

（圖象處理）

輸出重建圖

一類特殊的圖象恢復技術投影：退化過程（丟失了沿射線方向的分辨能力）重建：復原過程（恢復了2-D空間的分辨能力）7.1投影重建方式{如果傳感器測量的數據具有物體某種感興趣物理特性在空間分布的積分形式，就可以用投影重建的方法來獲取物體內部、反應不同物理特性的圖像}7.1.1透射斷層成像TCT（簡稱CT），英文為TransmissionComputedTomography，CAT（Computer-AidedTomography，CT）發射源射出的射線穿透物體到達接收器，射線被物體吸收一部分，余下部分被接收器接收。接收器獲得的射線強度實際上反映了物體各部分對射線的吸收情況若物體是均勻的，則：I：穿透物體的射線強度I0：射線源的強度K(s)沿射線方向物體點s的線性衰減系數/因子，L代表輻射的射線物體線性衰減系數7.1.1透射斷層成像圖（a）—（d）分別對應第1—4代CT系統的掃描成像結構示意圖。圓代表擬成像的區域，經過發射源（X射線管）的虛線直線箭頭表示發射源可沿箭頭移動，從一個發射源到另一個發射源的虛線曲線箭頭表示發射源可沿曲線轉動第1代：發射源與接收器一對一，對向移動以覆蓋整個擬成像區域第2代：每個發射源對應若干接收器，對向移動以覆蓋整個擬成像區域第3代：每個發射源指對應一個接收器，發射源不移動，只需轉動第4代：接收器構成完整的圓環，工作中沒有運動，只需發射源轉動第3、4代系統采用扇束投影方式，可盡量縮短投影時間，減少危害7.1.2發射斷層成像ECT（emissioncomputedtomography）發射源在物體內部，接收器在物體外部（通常將放射性離子注入物體內部，從物體外接收其輻射），了解離子在物體內運動情況和分布，從而檢測到與生理有關的狀況/信息主要有兩種：①PET，正電子發射（positronemissiontomography）正電子與負電子相撞湮滅而產生一對光子②SPECT，單光子發射（singlephotonemissionCT）使用在衰減中能產生γ射線的放射性離子。7.1.2發射斷層成像①PET（positronemissiontomography）相對放置的兩個接收器可以確定一條射線衰減時釋放正電子的放射性粒子，放出的正電子很快與負電子相撞湮滅產生一對光子并以相反方向射出，所以相對放置的兩個接收器可以確定一條射線P是投影數據7.1.2發射斷層成像②SPECT（singlephotonemissionCT）將放射性物質注入物體內，不同的材料（如組織或器官）吸收后會發射γ射線，為確定射線方向，要用能阻止射線偏移的準直器來定向采集光子。一定方向的γ射線穿過準直器到達晶體，在那里γ射線光子轉化為電信號。這些電信號提供了光子與晶體作用的位置，放射性物質的3-D分布就轉化為2-D投影圖像。7.1.3反射斷層成像利用投影重建的原理工作。雷達系統獲取的雷達圖是由物體反射的回波所產生的雷達接收器在特定角度所接收到的回波強度是地面反射量在一個掃描段的積分（對比CT）投影重建就是要從這個積分獲得地面（反射強度）的圖象7.1.3反射斷層成像(RCT)非聚焦合成孔徑雷達(SAR)雷達運動，目標靜止，相對運動增加分辨率目標A處回波信號的雙程超前相位：

目標B處回波信號雙程超前相位B處回波響應R為目標A與雷達間最近距離，d為B與A間的位移量，v是雷達沿Y軸速度，T是有效積累時間7.1.4電阻抗斷層成像(EIT)（EIT）采用交流電場對物體進行激勵。對電導或電抗的改變比較敏感。將低頻率的電流注入物體內部并測量在物體外表處的電勢場；采用圖象重建算法重建出物體內部區域的電導和電抗的分布或變化的圖象(基于邊界測量值估計場域電導率分布)EIT圖象能反映組織或器官攜帶的病理和生理信息：不同的生物組織或器官在不同的生理、病理條件下其電阻抗特性不同。（圖7.1.5）EIT技術分析數學角度上，EIT和各類CT有類似之處，都需要處理外部信息來獲得反應內部結構的圖像，成像常針對穿過物體的一個2-D截面進行。EIT借助電流的擴散來獲得電導的分布，與各CT不同；成像技術安全、簡便，分辨率較差，分辨率依賴于電極數量，可以同時接觸到物體的電極數量常受到很多限制。缺點是由于非線性的病態問題，如果測量又很小的誤差就有可能對電導的計算產生很大影響。7.1.5磁共振成像（MRI）早期稱核磁共振。質子在磁場中會進動.當一定強度和頻率的共振場信號作用于物體時，質子吸收能量并轉向與磁場相交的朝向質子吸收的能量釋放并被接收器檢測到。根據檢測到的信號就可以確定質子的密度檢測到的信號是MRI信號沿直線的積分。所以檢測目標的工作成了由投影重建的問題每個MRI系統都包括磁場子系統、發射/接收子系統、計算機圖像重建和顯示子系統。磁共振成像根據時變非均勻磁場和射頻磁場及其激勵而產生的磁共振信號來重建物體的自旋密度分布函數磁共振成像（MRI）7.2投影重建原理{各種成象方式在原理不完全相同但有一些共性}7.2.1基本模型將需要投影重建的物質材料限制在一個無限薄的平面上，使得重建圖像在任意點的灰度值正比于射線投影到的那個點所固有的相對線性衰減系數，（f(x,y)代表某種物理量在2-D平面上的分布）7.2.1投影重建圖像示意圖設f(x,y)在以原點為圓心的單位圓Q外為0，現考慮有一條由發射源到接收器的直線在平面上與f(x,y)在Q內相交，這條直線用兩個參數來確定：1，它與原點的距離s；2，它與Y軸的夾角θ。7.2.1基本模型設Q為單位圓，積分上下限分別為t和-t沿直線（s,θ）對f（x,y)的積分(7.2.1)7.2.2拉東變換拉東變換主要用來接方程式（7.2.1）線積分直線l

的方程借助δ函數P和θ定義的圖中直線l的線積分（7.2.4）7.2.2拉東變換中心層定理可以證明，對f(x,y)的2-D傅里葉變換與對f(x,y)先進行拉東變換后再進行1-D傅里葉變換得到的結果相等（7.2.5）7.2.2拉東變換對f(x,y)沿一個固定角度投影結果的1-D傅里葉變換對應f(x,y)的2-D傅里葉變換中沿相同角度的一個剖面/層，如圖7.2.3.7.3傅里葉反變換重建基于變換的重建方法，它是首先在投影中得到應用的方法1.基本步驟和定義(1)建立數學模型，其中已知量和未知量都是連續實數的函數(2)利用反變換公式（可有多個等價的）解未知量(3)調節反變換公式以適應離散、有噪聲應用的需求重建算法：設圖象區被1個直角網格所覆蓋，K為X方向上的點數，L為Y方向上的點數，要通過M×N個測量值g(m△s,n△θ)估計出在K×L個采樣點的f(k△x,l△y)7.3傅里葉反變換重建考慮在s和θ上都均勻采樣的情況M個間距為△

s的射線，N個相差△θ

的角度進行投影保證一系列射線覆蓋單位圓，選取和

此時g(m△s,n△θ)為平行投影的射線數據。7.3傅里葉反變換重建2傅里葉變換投影定理G(R，θ)是

g（s,θ）對應第一個變量s的1-D傅里葉變換F(X,Y)是f(x,y)的2-D傅里葉變換f(x,y)以θ角進行投影的傅里葉變換等于f(x,y)的傅里葉變換在傅里葉空間(R,θ)處的值

f(x,y)在與X軸成θ

角的直線上投影的傅里葉變換是f(x,y)的傅里葉變換在朝向角θ上的1個截面。7.3傅里葉反變換重建3.模型重建

為檢驗重建公式的正確性和把握重建算法中各個參數對重建效果的影響，利用幻影模型進行試驗7.3傅里葉反變換重建圖7.3.2給出的一幅改進的Sheep-Logan頭部模型圖(尺寸115×115,256級灰度)。10個圓/橢圓(見表7.3.1數據)原Sheep-Logan的對比度小，圖中小的橢圓看不清楚，改進圖調整了各個橢圓的密度，使得各個橢圓的對比度有所增強，視覺效果更好一些。7.4逆投影重建7.4.1逆投影重建原理將從各個方向得到的投影逆向返回到該方向的各個位置，如果對多個投影方向都進行這樣的逆投影并疊加結果，就有可能建立平面上的一個分布。（a）分別給出水平投影和逆投影的示意圖，發射源發出均勻射線，由于所穿透物體各處密度不同，各接收器得到的響應不同。（b）給出垂直投影和逆投影的示意圖，與水平方向的效果類似7.4.1逆投影重建原理利用逆投影可以重建原始空間密度分布不同方向逆投影結果疊加逆投影重建的效果（a）表示物體密度分布；（b）、（c）分別表示水平和垂直逆投影結果；（d）表示將水平和垂直逆投影結果疊加的效果；(e)圖表示將更多逆投影結果疊加的效果，隨著逆投影結果不斷疊加，將越來越反映原始物體的密度分布。7.4.2

卷積逆投影重建1.連續公式推導投影定理將每個投影得到的數據像圖像采集那樣擴散回圖像，并不需要像傅里葉方法那樣存儲復頻率空間圖，在極坐標系中取傅里葉反變換：只在有限帶寬|R|<1/(2△s)的情況下對G(R,θ)進行估計（7.4.1）（7.4.2）7.4.2卷積逆投影重建將式(7.4.2)帶入(7.4.1)并交換對s和R的積分次序

（7.4.5）g'(s',θ)是f(x,y)在θ角方向的投影與h(s)的卷積，可稱為在θ方向上卷積了的投影；h(s)稱為卷積函數。因為g'(·)中的參數是一條以θ角通過(x,y)點的射線的參數，所以fw(x,y)是所有與過(x,y)的射線所對應的卷積后投影的積分。（7.4.3）7.4.2卷積逆投影重建2.離散計算對（7.4.5）代表的逆投影過程近似對每個θn需要對K×L個s'計算g'(s',θn').由于K和L一般都很大，直接計算工作量很大，所以卷積過程的近似（分兩步以減少計算量）

離散卷積

一次插值(7.4.6)7.4.2

卷積逆投影重建3.扇束投影重建實際應用中需要盡量縮短投影時間，減少由于物體在投影期間的運動而造成的圖像失真以及對患者的傷害。扇束投影主要有兩種集合測量類型，分別對應第二代和第三代CT系統，使用1個發射器和1組接收器

要在扇形投影的情況下進行重建，可通過將中心投影轉化為平行投影，在用平行投影重建技術進行重建。討論接收器在一段弧上等角度間隔排列的情況，用（s,θ）所指定的一條射線可看做是一組用（α，β）指定的射線中的一條，其中α是該射線與中心射線的離散角，β是源與原點連線和Y軸夾角，它確定了源的方向。線積分g(s,θ)現在記為p(α，β)(對|s|<D,D是源到原點距離)。假設源處于物體外部，所以對所有的|α|<δ,有p(α，β)=0。δ為與目標相切的射線與中心射線的夾角。s=Dsinαθ=α+βg(s,θ)=p(α，β)(7.4.9)設U是從源到需要重建點P的距離（P的位置用r和?表示），ψ是從源到P的連線與中心發射線的夾角，則得到（7.4.10）（7.4.11）（7.4.12）綜合以上各式（7.4.3）改寫為：（7.4.13）將(s,θ)換成(α,β):將式(7.4.2)帶入，并把對β的積分上下限換為2π和0，則上式可分解轉化成兩步：（7.4.15）（7.4.16）（7.4.14）7.4.2卷積逆投影重建傅里葉反變換重建法和卷積逆投影法的比較傅里葉反變換重建法卷積逆投影法2-D傅里葉反變換用直角坐標表示2-D傅里葉反變換用極坐標表示所需計算量比較小，較適合圖像尺寸或數據量較大基本算法容易用軟件和硬件實現，可重建出準確清晰的圖像平行投影時導出的不能在保持原有效率的條件下進行修改以適用于扇形掃描投影平行投影時可用不同的方法修改以適用于扇形掃描投影7.4.3其他逆投影重建方法1.逆投影濾波逆投影濾波器（filteroftheback-projections）先逆投影，再濾波（卷積）對投影進行逆投影操作得到的結果是模糊了的圖像，它是真實圖像與1/(x2+y2)1/2卷積的結果.令對投影結果進行逆投影操作得到的模糊圖像為（7.4.17）真實圖像與模糊圖像由下式聯系（7.4.18）2-D卷積具體推導過程見書本165頁實現逆投影濾波在空域和在頻域的流程分別如圖7.4.7左右部分所示拉東變換傅里葉反變換傅里葉變換逆投影7.4.3其他逆投影重建方法2.濾波逆投影（back-projectionofthefilteredprojections）先對投影濾波，再逆投影

基本思路：每個投影中的衰減（由目標吸收造成）與沿每個投影的目標結構有關，如果僅從一個投影是無法獲得沿該方向各個位置的吸收的，但可以把對吸收值的測量平均分布到該方向上，要是能對多個方向中的每個都進行這樣的分派，則將吸收值疊加起來就可得到反映目標結構的特征值。這種重建方法與收集足夠多的投影并進行傅里葉空間重建是等價的，但計算量要少得多。濾波逆投影方法可看做拉東反變換的一種近似的計算機實現方法。它利用傅里葉反變換將對q函數的計算轉化為對徑向量s的計算，在空域和頻域的實現流程分別如圖所示。拉東變換傅里葉變換傅里葉反變換逆投影7.5代數重建技術1.重建模型

代數重建技術也稱迭代算法或優化技術，它從一開始就在離散域中建模，且求解是迭代進行的。y：測量矢量x：圖像矢量1.重建模型將要重建的目標放在一個直角坐標網格中，發射源和接收器都是點狀的，他們之間連線對應一條射線，將每個像素按掃描次序排為1到N（網格總數）第i條射線與第j個象素相交段的長度aij，代表對第j個象素沿第i條射線的貢獻的權值.（如圖）重建的輸入數據是沿每條射線的投影積分，在沿射線方向上每個像素位置對線性衰減系數貢獻的求和值就等于測量到的吸收數值，即投影結果。在投影已知的情況下，對每條射線的積分都能提供一個方程，合起來構成一組齊次方程，未知數的數量就是圖像平面中像素的數量，方程的數量就是線積分的數量。重建看做是解一組齊次方程組。如果用yi表示沿射線方向上的總吸收測量值，則（7.5.1）寫成矩陣形式：y=Ax(7.5.2)y：測量矢量x：圖像矢量A是M×N投影矩陣，為獲得高質量的圖像，M和N都需要在105量級，，所以A是一個非常大的矩陣，但由于對每條射線來說，它只與很少的像素相交，因此A中長只有少于1%的元素不為0.7.5代數重建技術2.無松弛的代數重建技術首先初始化一個圖像矢量x作為迭代起點，然后如下迭代：

思路：每次取1條射線，改變圖象中與該線相交象素的灰度值，從而把當前的圖象矢量x

(k)更新為x

(k+1)。具體運算中就是將測量值與由當前算得的投影數據的差正比于aij重新分配到（該射線的）各個象素上去。（7.5.3）7.5代數重建技術3.松弛的代數重建技術將無松弛的代數重建技術推廣，迭代表達式：

r是松弛系數，它控制了收斂的速度r的取值一般在0~2之間，當r=1時，式(7.5.4)變成式(7.5.3)；當r很小時，式(7.5.4)變成與傳統的最小平方解等價。（7.5.4）7.5代數重建技術4.級數法的一些特點前面介紹的代數重建技術都利用了級數展開的方法，一般變化法比級數法所需要的計算量小得多，因而大多數實用系統都采用變換法。但級數法有一些獨特的優點：(1)由于在空域中比較靈活，所以容易調整以適應新的應用(2)能重建出較高對比度的圖象（對密度突變的材料）(3)借助多次迭代可從較少數量的投影（<10）重建圖象(4)比變換法更適合于ECT(5)比變換法更適合于3-D重建問題(6)比變換法更適合于不完整投影情況7.6綜合重建方法“綜合”

有時體現在公式的推導里，有時體現在實現的方法上，還有時體現在實際的應用中綜合重建法一些例子：

(1)迭代變換法（iterativetransform）(2)迭代重建重投影（iterativer