第七章函數逼近用簡單的函數p(x)近似地代替函數f(x)，是計算數學中最基本的概念和方法之一。近似代替又稱為逼近，函數f(x)稱為被逼近的函數，p(x)稱為逼近函數，兩者之差稱為逼近的誤差或余項。如何在給定精度下，求出計算量最小的近似式，這就是函數逼近要解決的問題函數逼近問題的一般提法：對于函數類A中給定的函數f(x)，要求在另一類較簡單的且便于計算的函數類B(

A)中尋找一個函數p(x)，使p(x)與f(x)之差在某種度量意義下最小。

最常用的度量標準：(一)一致逼近以函數f(x)和p(x)的最大誤差作為度量誤差f(x)－p(x)的“大小”的標準

在這種意義下的函數逼近稱為一致逼近或均勻逼近對于任意給定的一個小正數>0，如果存在函數p(x)，使不等式成立，則稱該函數p(x)在區間[a,b]上一致逼近或均勻逼近于函數f(x)。

(二)平方逼近：采用作為度量誤差的“大小”的標準的函數逼近稱為平方逼近或均方逼近。

§1正交多項式一、正交函數系的概念考慮函數系

1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，…

此函數系中任何兩個不同函數的乘積在區間[-

,

]上的積分都等于0！我們稱這個函數中任何兩個函數在[-

,

]上是正交的，并且稱這個函數系為一個正交函數系。若對以上函數系中的每一個函數再分別乘以適當的數，使之成為：那么這個函數系在[-

,

]上不僅保持正交的性質，而且還是標準化的(規范的)1．權函數定義7.1

設

(x)定義在有限或無限區間[a,b]上，如果具有下列性質：(1)

(x)≥0，對任意x

[a,b]，(2)積分存在，(n=0,1,2,…)，(3)對非負的連續函數g(x)若

則在(a,b)上g(x)0稱

(x)為[a,b]上的權函數

2．內積定義7.2

設f(x)，g(x)

C[a,b]，(x)是[a,b]上的權函數，則稱

為f(x)與g(x)在[a,b]上以(x)為權函數的內積。

內積的性質：(1)(f,f)≥0，且(f,f)=0

f=0；(2)(f,g)=(g,f)；

(3)(f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g)；

(4)對任意實數k，(kf,g)=k(f,g)。3．正交性定義7.3

設f(x)，g(x)C[a,b]若則稱f(x)與g(x)在[a,b]上帶權(x)正交。

定義7.4

設在[a,b]上給定函數系，若滿足條件則稱函數系{k(x)}是[a,b]上帶權(x)的正交函數系，若定義7.4中的函數系為多項式函數系，則稱為以(x)為權的在[a,b]上的正交多項式系。并稱pn(x)是[a,b]上帶權(x)的n次正交多項式。特別地，當Ak1時，則稱該函數系為標準正交函數系。二、常用的正交多項式1．切比雪夫(чебыщев)多項式定義7.5

稱多項式為n次的切比雪夫多項式(第一類)。

切比雪夫多項式的性質：

(1)正交性：由{Tn(x)}所組成的序列{Tn(x)}是在區間[-1,1]上帶權

的正交多項式序列。且(2)遞推關系相鄰的三個切比雪夫多項式具有三項遞推關系式：(3)奇偶性：

切比雪夫多項式Tn(x)，當n為奇數時為奇函數；n為偶數時為偶函數。

(4)Tn(x)在區間[-1,1]上有n個不同的零點(5)Tn(x)在[-1,1]上有n+1個不同的極值點使Tn(x)輪流取得最大值1和最小值-1。(6)切比雪夫多項式的極值性質Tn(x)的最高次項系數為2n-1(n=1,2,…)。

定理7.1

在-1≤x≤1上，在首項系數為1的一切n次多項式Hn(x)中與零的偏差最小，且其偏差為即，對于任何，有2．勒讓德(Legendre)多項式定義7.6

多項式稱為n次勒讓德多項式。勒讓德多項式的性質：(1)正交性勒讓德多項式序列{pn(x)}是在[-1,1]上帶權(x)=1的正交多項式序列。(2)遞推關系相鄰的三個勒讓德多項式具有三項遞推關系式：(3)奇偶性：

當n為偶數時，pn(x)為偶函數；當n為奇數時，pn(x)為奇函數。(4)pn(x)的n個零點都是實的、相異的，且全部在區間[-1,1]內部。3．其它常用的正交多項式(1)第二類切比雪夫多項式定義7.7

稱為第二類切比雪夫多項式。①{un(x)}是在區間[-1,1]上帶權函數的正交多項式序列。②相鄰的三項具有遞推關系式：(2)拉蓋爾(Laguerre)多項式定義7.8稱多項式為拉蓋爾多項式。①{Ln(x)}是在區間[0,+∞]上帶權

(x)=e-x

的正交多項式序列。

②相鄰的三項具有遞推關系式：

(3)埃爾米特(Hermite)多項式定義7.9

稱多項式

為埃爾米特多項式。的正交多項式序列。①{Hn(x)}是在區間(-,+)上帶權函數②相鄰的三項具有遞推關系式：§2

最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念定義7.10設函數f(x)是區間[a,b]上的連續函數，對于

任意給定的

>0，如果存在多項式p(x)，使不等式成立，則稱多項式p(x)在區間[a,b]上一致逼近(或均勻逼近)于函數f(x)。維爾斯特拉斯定理若f(x)是區間[a,b]上的連續函數，則對于任意

>0，總存在多項式p(x)，使對一切a≤x≤b有§3最佳平方逼近1．函數系的線性關系定義7.11

若函數，在區間[a,b]上連續，如果關系式

當且僅當時才成立，則稱函數在[a,b]上是線性無關的，否則稱線性相關。設是[a,b]上線性無關的連續函數a0,a1,…,an是任意實數，則并稱是生成集合的一個基底。的全體是C[a,b]的一個子集，記為定理7.3

連續函數在[a,b]上線性無關的充分必要條件是它們的克萊姆(Gram)行列式Gn

0，其中2．廣義多項式設函數系{，…}線性無關，則其有限項的線性組合稱為廣義多項式。二、函數的最佳平方逼近定義7.12

對于給定的函數，若n次多項式滿足關系式則稱S*(x)為f(x)在區間[a,b]上的n次最佳平方逼近多項式。定義7.13對于給定的函數如果存在使

則稱S*(x)為f(x)在區間[a,b]上的最佳平方逼近函數。求最佳平方逼近函數的問題可歸結為求它的系數使多元函數取得極小值。I(a0,a1,…，an)是關于a0,a1,…，an的二次函數，利用多元函數取得極值的必要條件，(k=0,1,2,…,n)得方程組最小二乘！如采