例題5圖示為一變截面圓桿ABCD。已知F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN。l1=l3=300mm，l2=400mm。d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。試求：(1)Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ截面的軸力并作軸力圖(2)桿的最大正應力max(3)B截面的位移及AD桿的變形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD解：求支座反力R=-50kNF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDRⅠ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ截面的軸力并作軸力圖F1FN1F2F1FN2F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDRRFN3FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15kN+-2050kNF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDR(2)桿的最大正應力maxAB段：DC段：BC段：FN2=-15kN(-)FN1=20kN（+）FN3=-50kN(-)F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDRmax

=176.8MPa

發生在AB段.(3)B截面的位移及AD桿的變形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDR例題

某汽車的主傳動軸是用40號鋼的電焊鋼管制成，鋼管外徑D=76mm，壁厚t=2.5mm，軸傳遞的轉矩M=1.98kN·m,材料的許用剪應力

[]=100MPa，剪變模量為G=80GPa，軸的許可扭角[′]=2/m.試校核軸的強度和剛度.DdtMM解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉矩軸的內，外徑之比由強度條件

由剛度條件DdtMM將空心軸改為同一材料的實心軸，仍使max=96.1MPad=47.2mm實心軸的直徑為兩軸材料、長度均相同，故兩軸重量比等于兩軸的橫截面積比，

在最大切應力相等的情況下空心圓軸比實心圓軸輕，即節省材料.其截面面積為空心軸的截面面積為練習1

某傳動軸所承受的扭矩T=200Nm，軸的直徑d=40mm，材料的[τ]=40MPa，剪切彈性模量G=80GPa，許可單位長度轉角[φ/]=1?/m。試校核軸的強度和剛度。

傳動軸的轉速為n=500r/min，主動輪A輸入功率P1=400kW，從動輪C，B分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。

(1)試確定AC段的直徑d1和BC段的直徑d2；

(2)若AC和BC兩段選同一直徑，試確定直徑d；

(3)主動輪和從動輪應如何安排才比較合理?解：1.外力偶矩練習211ePTM=nmN7640500400=×=

2.扭矩圖按剛度條件3.直徑d1的選取按強度條件

按剛度條件4.直徑d2的選取按強度條件

5.選同一直徑時

6.將主動輪安裝在兩從動輪之間受力合理例

如圖所示的懸臂梁在自由端受集中荷載F作用,試作此梁的剪力圖和彎矩圖.BAFlx解

(1)將坐標原點取在梁的左端，列出梁的剪力方程和彎矩方程FSxFFlxMq懸臂梁受均布載荷作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：任選一截面x

，寫出剪力和彎矩方程x依方程畫出剪力圖和彎矩圖FSxMxl由剪力圖、彎矩圖可見。最大剪力和彎矩分別為qx例

圖示的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載用.試作此梁的的剪力圖和彎矩圖.解(1)求支反力lqRARBABx(2）列剪力方程和彎矩方程.

剪力圖為一傾斜直線.繪出剪力圖.x=0處，x=l

處,+ql/2ql/2BlqRAAxRB彎矩圖為一條二次拋物線.由lqRAABxRB令得駐點彎矩的極值繪出彎矩圖+l/2由圖可見，此梁在跨中點截面上的彎矩值為最大但此截面上

FS=0兩支座內側橫截面上剪力絕對值為最大lqRAABxRB+ql/2ql/2+l/2解(1)求梁的支反力例圖示的簡支梁在C點處受集中荷載

P作用.試作此梁的剪力圖和彎矩圖.lFABCabRARB因為AC段和CB段的內力方程不同，所以必須分段寫剪力方程和彎矩方程.將坐標原點取在梁的左端由(1)、(3)兩式可知，AC、CB兩段梁的剪力圖各是一條平行于x

軸的直線。xxlFABCabRARB+由(2)、(4)式可知，AC、CB兩段梁的彎矩圖各是一條斜直線。xxlFABCabRARB+在集中荷載作用處的左，右兩側截面上剪力值(圖)有突變。突變值等于集中荷載F。彎矩圖形成尖角，該處彎矩值最大。xxlFABCabRARB++解

求梁的支反力例

圖示的簡支梁在C點處受矩為m的集中力偶作用.試作此梁的的剪力圖和彎矩圖.將坐標原點取在梁的左端.因為梁上沒有橫向外力，所以全梁只有一個剪力方程lABCabRARBm梁上集中力偶作用處左、右兩側橫截面上的彎矩值(圖)發生突變，其突變值等于集中力偶矩的數值。此處剪力圖沒有變化。lABCabRARBm++解：1、支反力2、寫出內力方程1kN/m2kNABCD1m1m2mx1x3x2FAYFBY練習

畫出梁的內力圖。3、根據方程畫內力圖1kN/m2kNABCDFAYFBYxFs(x)x2kN2kN2kN.m2kN.mM(x)例

一簡支梁受兩個力F作用，如圖所示。已知F=25.3kN，有關尺寸如圖所示.試用本節所述關系作此梁的剪力圖和彎矩圖.解(1)求梁的支反力將梁分為AC,CD,DB三段.每一段均屬無載荷區段.BACD2001151265FFRARB231(2)剪力圖每段梁的剪力圖均為水平直線AC段(4)對圖形進行校核在集中力作用的C,D

兩點剪力圖發生突變,突變P=25.3kN.而彎矩圖有尖角.在AC段剪力為正值,彎矩圖為向上傾斜的直線.BACD2001151265FFRARB2314.723.11+23.61.727+在CD和DB段,剪力為負值,彎矩圖為向下傾斜的直線.最大彎矩發生在剪力改變正、負號的C截面處.說明剪力圖和彎矩圖是正確的.例

一簡支梁受均布荷載作用，其集度q=100kN/m,如圖

所示.試用簡易法作此梁的剪力圖和彎矩圖.

解(1)計算梁的支反力RARBEqABCD0.21.612將梁分為AC、CD、DB

三段.AC和DB上無荷載,CD

段有向下的均布荷載.(2)剪力圖+80kN80kNAC段

水平直線CD段

向右下方的斜直線DB段

水平直線最大剪力發生在AC

和DB

段的任一橫截面上.RARBEqABCD0.21.612(3)彎矩圖AC段

向上傾斜的直線CD段

向上凸的二次拋物線其極值點在FS=0的中點E處的橫截面上.DB段

向下傾斜的直線

MB

=

0+161648單位：kN.m全梁的最大彎矩梁跨中E點的橫截面上.RARBEqABCD0.21.612BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN練習

試作出圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力求得A、B

二處的約束力

FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN根據力矩平衡方程

2．確定控制面

在集中力和集中力偶作用處的兩側截面以及支座反力內側截面均為控制面。即A、C、D、E、F、B截面。

EDCF(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO3．建立坐標系建立FS－x

和M－x

坐標系

5．根據微分關系連圖線4．應用截面法確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標在FS－x和M－x

坐標系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS

(kN)O0.89kN=＝1.11kN例

作梁的內力圖.解(1)支座反力為3m4mABCDE4m4mRARBF1=2kNq=1kN/mm=10kN.mF2=2kN將梁分為AC、CD、

DB、BE四段.(2)剪力圖AC

向下斜的直線()CD

向下斜的直線

()

DB

水平直線

(—)EB

水平直線

(—)3m4mABCDE4m4mRARBF1=2kNq=1kN/mm=10kN.mF2=2kNAC

向下斜的直線()

CD

向下斜的直線

()F點剪力為零,令其距A點為x7kN1kN++3kN3kN2kNx=5mx=5m(3)彎矩圖CDACDBBE3m4mABCDE4m4mRARBF1=2kNq=1kN/mm=10kN.mF2=2kN201666+20.5解支座反力為RA

=81kNRB=29kNmA

=96.5kN.m例

用簡易法作組合梁的剪力圖和彎矩圖.10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAq=20kN/m將梁分為AE，EC，CD，DK，KB

五段。設距K截面為x

的截面上剪力FS=0.即10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAq=20kN/mx=1.4581kN31kN29kN+（-）（-）（+）（+）（-）Fs練習

試畫出圖示有中間鉸梁的剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力從鉸處將梁截開qFDyFDyqaFAyFByMAFAyFByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA80y1y22020120z例題

T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示.鑄鐵的抗拉許用應力為[t]=30MPa,抗壓許用應力為[c]=160MPa.已知截面對形心軸Z的慣性矩為Iz

=763cm4,y1=52mm,校核梁的強度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mRARBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解最大正彎矩在截面C上最大負彎矩在截面B上

B截面C截面80y1y22020120z求截面對中性軸

z

的慣性矩求截面形心z1yz52例題

梁AC如圖所示,梁的A端用一鋼桿AD與梁AC鉸接,在梁受荷載作用前,桿AD內沒有內力,已知梁和桿用同樣的鋼材制成,材料的彈性模量為E,鋼梁橫截面的慣性矩為I,拉桿橫截面的面積為A,其余尺寸見圖,試求鋼桿AD內的拉力FN.a2aABCq2qDlCADBq2qANNADBCq2qNFNA點的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結于A點.即解：這是一次超靜定問題.將AD桿與梁AC之間的連結絞看作多余約束.拉力FN為多余反力.基本靜定系如圖變形幾何方程為根據疊加法A端的撓度為BCq2qFNBCq2qBCFN在例題中已求得可算出:拉桿AD

的伸長為:補充方程為:由此解得:ADBCq2qNFN例題求圖示梁的支反力,并繪梁的剪力圖和彎矩圖.

已知EI=5103kN.m3.4m3m2mABDC30kN20kN/m解：這是一次超靜定問題取支座B

截面上的相對轉動約束為多余約束.基本靜定系為在B

支座截面上安置絞的靜定梁，如圖所示.4m3m2mABDC30kN20kN/m4m3m2mABDC30kN20kN/m多余反力為分別作用于簡支梁AB和BC的B端處的一對彎矩MB.變形相容條件為，簡支梁AB的B截面轉角和BC梁

B

截面的轉角相等.MB由表中查得:4m3m2mABDC30kN20kN/mDAB30kN20kN/mMBC補充方程為:解得:負號表示B截面彎矩與假設相反.4m3m2mABDC30kNDAB30kN20kN/m20kN/mMBC由基本靜定系的平衡方程可求得其余反力在基本靜定系上繪出剪力圖和彎矩圖.4m3m2mABDC30kN20kN/m+-32.0547.9518.4011.64++-25.6831.8023.281.603m-+練習

空心圓桿AB和CD桿焊接成整體結構，受力如圖。AB桿的外徑D=140mm，內、外徑之比α=d/D=0.8，材料的許用應力[]=160MPa。試用第三強度理論校核AB桿的強度。ABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8mABFm解：(1)外力分析將力向AB桿的B截面形心簡化得AB桿為扭轉和平面彎曲的組合變形ABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8mABFm+15kN·m-(2)內力分析--畫扭矩圖和彎矩圖固定端截面為危險截面20kN·m練習圖示一鋼制實心圓軸，軸上的齒輪C

上作用有鉛垂切向力5kN，徑向力1.82kN；齒輪D上作用有水平切向力10kN，徑向力3.64

kN

。齒輪

C

的節圓直徑d1=400mm,齒輪D

的節圓直徑d2=200mm。設許用應力=100MPa，試按第四強度理論求軸的直徑。BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kN解：(1)外力的簡化將每個齒輪上的外力向該軸的截面形心簡化BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kNxyzA