第２章質點動力學§2-1牛頓運動定律§2-2動量和動量守恒定律§2-3功、機械能和機械能守恒定律§2-4質點的角動量定理及角動量守恒定律§2-1牛頓運動定律

質點動力學的任務：研究物體之間的相互作用，及這種相互作用引起的物體運動狀態變化的規律。以“力——物體間的相互作用”為中心。

1686年，牛頓在他的《自然哲學的數學原理》一書中發表了牛頓運動三定律。Newton’sLawsofMotion1.牛頓第一定律任何物體都保持靜止或沿一條直線作勻速運動的狀態，除非有力加于其上迫使它改變這種狀態。

2.牛頓第二定律運動的改變和所加的力成正比;并且發生在這力所沿的直線的方向上。3.牛頓第三定律每一個作用總有一個相等的反作用與它對抗；或者說，兩個物體之間的相互作用永遠相等，且指向對方。2.1.1牛頓第一定律(慣性定律)任何物體都保持靜止或勻速直線運動態，直至其它物體所作用的力迫使它改變這種狀態為止。慣性——物體保持其運動狀態不變的特性。即：物體保持其原運動狀態的能力。慣性質量:物體慣性大小的量度引力質量:物體間相互作用的“能力”大小的量度。2.1.2牛頓第二定律物體的動量1、定律的一般表述：物體所受的合外力等于物體動量對時間的變化率。數學描述為：2、定律的常用表述：當物體的質量不變，且速度遠遠小于光速時，物體的加速度同物體所受的合外力成正比，同物體的質量成反比。討論（1）牛頓第二定律是：質點動力學基本方程；（2）僅成立于慣性參照系；（3）力和加速度是瞬時關系。2.1.3牛頓第三定律作用力與反作用力定律注：(1)作用力和反作用力成對，同時存在。

(2)分別作用于兩個物體上，不能抵消。

(3)屬于同一種性質的力。

(4)物體靜止或運動均適用。2.1.4國際單位制(SI)量綱1、七個基本物理量長度(length)L單位：米m時間(time)T單位：秒s

質量(mass)M單位：千克kg電流(electricity)I單位：安培A熱力學溫度T

單位：開爾文K物質的量N單位：摩爾mol發光強度J單位：坎德拉

1960年，第十一屆國際計量大會通過了國際單位制2、導出量：

基本物理量構成不考慮數字因素時，導出量與基本量之間的關系可以用量綱來表示。如其他力學量：用L、M和T分別表示長度、質量和時間三個基本量的量綱，其他力學量Q的量綱與基本量量綱之間的關系可按下列形式表達出來：其中p,q,s為量綱指數。如速度[Q]=LT-1。力——物體間的相互作用2.1.5常見力：１.力的基本類型引力相互作用、電磁相互作用和核力相互作用1)引力相互作用是存在于自然界中一切物體之間的一種作用.它是一種弱力，只有在大質量物體（如地球、太陽、月亮等天體）附近這種作用才有明顯的效應2)電磁相互作用是存在于一切帶電體之間的作用帶電粒子間的電磁力比引力強得多3)核力相互作用是一種只在１０－１５

m的范圍內起作用的相互作用，是短程力2.引力重力2)重力：重力是地球對物體萬有引力的一個分力，另一分力為物體隨地球繞地軸轉動提供的向心力.大小：方向： 垂直地面向下。1)萬有引力定律與宇宙速度萬有引力1.重力不等同于萬有引力。2.常用的重力加速度g常量，只是適用于地球表面3.彈性力

物體發生形變時產生的力。方向：恢復形變的方向。大小：fk=μN其中：μ為滑動摩擦系數4.摩擦力當兩個互相接觸的物體有相對運動或有相對運動的趨勢時，就會產生一種阻礙相對運動或相對運動趨勢的力１）庫侖摩擦定律（１）動摩擦力fk

與正壓力N成正比，與兩物體的表觀接觸面積無關（２）當相對速度不很大時，動摩擦力與速度無關；（３）靜摩擦力可在零與一個最大值（稱為最大靜摩擦力）之間變化，視相對滑動趨勢的程度定．最大靜摩擦力fs

也與正壓力N成正比，它一般情況下大于動摩擦力．最大靜摩擦力：大小：fs=μsN其中：μs為最大靜摩擦系數；N為正壓力。２）黏滯阻力流體（液體或氣體）不同層之間由于相對運動而造成的阻力，稱為黏滯阻力或濕摩擦力2.1.6牛頓定律的應用解題步驟：確定研究對象。對于物體系，畫出隔離圖。(2)進行受力分析，畫出示力圖。(3)建立坐標系(4)對各隔離體建立牛頓運動方程(矢量式—分量式)(5)解方程。進行文字運算，然后代入數據求解例1.

在相對地面靜止的流體中,某物體從t=0時刻開始由靜止豎直自由下落。已知阻力的大小與物體相對于流體的運動速率成正比，即：，為常數。物體受的浮力為。求:任意時刻物體的速度和終極速度。

解：取豎直向下為x軸的正方向,如圖所示。這是個一維問題,可用正負號表示矢量的方向。物體在流體中豎直自由下落時,受到重力mg,浮力F和阻力f的作用。xo按牛頓第二定律:，分離變量后積分可得重力和浮力都是恒力，而阻力隨著物體加快下落而增大，最終三個力達到平衡，物體勻速下落，這時的速度稱為終極速度或收尾速度。以vf表示終極速度,令t趨于無窮大,則有xo例2.

t=0時刻,一根長為L的均勻柔軟的細繩通過光滑水平桌面上的光滑小孔由靜止開始下滑.

設繩剛開始下滑時下垂部分長為a。

求:在任意時刻t,繩自桌邊下垂的長度。解：設繩開始下滑后t時刻下垂部分的長度為x(>a)，在桌面上的那段繩受到的支承力和重力抵消，整根繩所受合力為繩的下垂部分所受的重力：根據牛頓第二定律得:分離變量積分于是故任意時刻自桌邊下垂的繩長

例3.

一質量為m

的小球最初位于如圖所示的A點，然后沿半徑為r

的光滑圓弧的內表面ADCB下滑。試求小球在C時的角速度和對圓弧表面的作用力。解：取自然坐標系,小球受力如圖根據牛頓第二定律切向：法向：①②由①式代入②式得小球對圓弧的作用力為第一定律：指出了慣性的存在甲對地：靜止甲對乙：勻速運動符合第一定律甲對丙：加速運動，但沒有受力，第一定律不符合2.1.7慣性系慣性力

慣性參考系(簡稱慣性系):牛頓第一定律適用的參考系

凡相對慣性系做勻速直線運動的參考系都是慣性系地球——近似的慣性參考系，地球有自轉角速度：對一般地面運動足夠精確1.伽利略(G.Galileo)相對性原理設：S系相對S系以v的速度沿x方向作直線運動。時，兩系重合。P點在參照系中的描述分別為:S系OxyzOzyxvvtPS系(1)伽利略坐標變換正變換：(2)伽利略速度變換正變換：逆變換：(3)加速度變換式1.加速平動參考系設有一質量為m的質點，在真實的外力的作用下相對于某一慣性系S產生加速度，則根據牛頓第二定律，有假設另有一參考系S相對于慣性系S以加速度沿直線運動。在S參考系中,質點的加速度是,則將上式代入右式可得S系中假設另有一參考系S相對于慣性系S以加速度沿直線運動。在S參考系中,質點的加速度是,則將上式代入右式可得S系中上式表明,在S系中看，質點受的合外力并不等于，而是多了一項,故牛頓第二定律在非慣性參考系S中不成立。上式可改寫為：若假想在S系中觀察時，除了真實的外力外，質點還受到另外一個力的作用,則質點受到的合外力等于。這樣在S系中就可形式上應用牛頓第二定律了！這種在非慣性系中形式上應用牛頓第二定律而必須引入的假想的力叫做慣性力，記為于是，在加速平動參考系中有:對于其它類型的非慣性系,慣性力有不同形式的表達式。其中，是加速平動參考系相對于慣性系的加速度。——慣性力引入慣性力后，在非慣性系中牛頓第二定律在形式上被恢復了。非慣性系中的牛頓第二定律：合外力虛擬力慣性力不是物體間的相互作用（不能歸結為自然界的四種基本力），但它是確實存在的一種特殊的力，它既無施力者,也無反作用力,不滿足牛頓第三定律。真實力物體間的真實相互作用物體的慣性在非慣性系中的表現§2-2

動量和動量守恒定律危急中，此位先生為什么擋住小孩，而不去擋汽車？有機械運動量轉換時，同時考慮質量與速度兩個因素，才能全面地表達物體的運動狀態2.2.1質點和質點系的動量定理1.沖量質點的動量定理牛頓運動定律則或令(1)沖量單位：反映力在時間過程中的累積效應(2)質點動量定理：

質點在運動過程中，所受合外力的沖量等于質點動量的增量。討論：沖量的方向與動量增量的方向一致。動量定理中的動量和沖量都是矢量，符合矢量疊加原理。計算時可采用平行四邊形法則,或把動量和沖量投影在坐標軸上以分量形式進行計算。∵沖量3.沖力當兩個物體碰撞時，它們相互作用的時間很短，相互作用的力很大，而且變化非常迅速，這種力稱為沖力。平均沖力分量式：∵沖量例2-7.飛機以v=300m/s(即1080km/h)的速度飛行,撞到一質量為m=2.0kg的鳥,鳥的長度為l＝0.3m。假設鳥撞上飛機后隨同飛機一起運動,試估算它們相撞時的平均沖力的大小。解:以地面為參考系,把鳥看作質點,因鳥的速度遠小于飛機的,可將它在碰撞前的速度大小近似地取為v0=0m/s,碰撞后的速度大小v＝300m/s。由動量定理可得碰撞經歷的時間就取為飛機飛過鳥的長度l的距離所需的時間，則:對第i個質點寫出動量定理：整個系統：等式兩邊求2.質點系的動量定理xyzO設n個質點構成一個系統根據牛頓第三定律合外力的沖量系統末動量系統初動量質點系的動量定理：即：合外力的沖量等于系統總動量的增量思考：內力的沖量起什么作用？

例2-8.質量m=1kg的質點從O點開始沿半徑R=2m的圓周運動。以O點為自然坐標原點。已知質點的運動方程為m。試求從s到t2=2s這段時間內質點所受合外力的沖量。解：Omv1mv2

例2-9.

如圖用傳送帶A輸送煤粉，料斗口在A上方高h=0.5m處，煤粉自料斗口自由落在A上。設料斗口連續卸煤的流量為q=40kg·s-1，A以v=2.0m·s-1的水平速度勻速向右移動。求裝煤的過程中，煤粉對A的作用力的大小和方向。(不計相對傳送帶靜止的煤粉質量)hA

解：煤粉對A的作用力即單位時間內落下的煤粉給A的平均沖力。這個沖力大小等于煤粉單位時間內的動量改變量，方向與煤粉動量改變量的方向相反。如何求煤粉動量的改變量？xyO時間內落下的煤粉質量為則有設由動量定理可得煤粉所受的平均沖力為與x軸的夾角：煤粉給傳送帶的平均沖力為與x軸的夾角：

例2-10.

一顆子彈在槍筒里前進時所受的合力大小為F=400-4105t/3(SI),子彈從槍口射出時的速率為300ms-1。設子彈離開槍口處合力剛好為零。求：(1)子彈走完槍筒全長所用的時間t。(2)子彈在槍筒中所受力的沖量I。(3)子彈的質量。解:(1)(2)(3)令例2-11.一鉛直懸掛著的勻質柔軟細繩長為L,下端剛好觸及水平桌面,現松開繩的上端,讓繩落到桌面上。試證明:在繩下落的過程中,任意時刻作用于桌面的壓力N,等于已落到桌面上的繩重G的三倍。解：考慮dy段的下落過程:依牛頓第三定律,dy段對桌面的作用力大小亦為F:Oyy+dyydy即：動量守恒定律為系統所受合外力為零時，系統的總動量保持不變。時，動量的矢量性：系統的總動量不變是指系統內各物體動量的矢量和不變，而不是指其中某一個物體的動量不變。系統動量守恒，但每個質點的動量可能變化。2.2.2動量守恒定律時1.動量守恒定律幾點說明：(5)動量守恒定律是物理學中最普遍、最基本的定律之一(2)系統動量守恒的條件：①系統不受外力；②合外力=0；(3)

若系統所受外力的矢量和≠0，但合外力在某個坐標軸上的分矢量為零，動量守恒可在某一方向上成立。(1)

動量守恒定律只適用于慣性系。(4)內力>>外力。在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時間極短的過程中，內力>>外力,可略去外力。認為系統動量守恒例2-12.水平光滑冰面上有一小車,長度為L,質量為

M。車的一端有一質量為m的人,人和車原來均靜止。若人從車的一端走到另一端,

求:人和車各移動的距離。解:設人速為u,車速為v。系統在水平方向上動量守恒，Mv+mu=0車地人地人地人車車地人地車地人車§2-3功、機械能

和機械能守恒定律2.3.1功功率度量能量轉換的基本物理量，描寫力對空間積累作用。１．功(work)１）恒力的功ab定義：矢量式作用在沿直線運動質點上的恒力F，在力作用點位移上作的功，等于力和位移的標積。0</2

dW

>0/2<

dW

<0功是標量，但有正負之分２）變力的功ABO單位：J（eV）1eV=1.610-19J直角坐標系中合力作功=各力作功的代數和W1W2WN示功圖(功的圖示法)

假設物體沿x軸運動，外力在該方向的分力所做的功可用右圖中曲線下面的面積表示。力

位移曲線下的面積表示力F所作的功的大小注意：①功是標量(代數量)W>0力對物體做功W<0物體反抗阻力做功W=0力作用點無位移力與位移相互垂直②功是過程量與力作用點的位移相關與參考系的選擇相關討論：(1)一對相互作用力的功一對作用力與反作用力做功的代數和不一定為零。因為，力作用點的位移不一定相同。(2)什么條件下,一對內力做功為零?

作用點無相對位移。

相互作用力與相對位移垂直。例2-5.一質點做圓周運動，有一力作用于質點，在質點由原點至P(0，2R)點過程中，力做的功W=？C

.xyOPRm解：例2-6.

設作用力的方向沿

Ox

軸，其大小與x

的關系如圖所示，物體在此作用力的作用下沿Ox

軸運動。求物體從O運動到2m的過程中，此作用力作的功W。

解：方法1示功面積求解方法2由圖寫出作用力F與位移x的數值關系，積分求解O21x/mF/NFW=1J例:

一人從10m深的井中提水.起始時桶中裝有10kg的水，桶的質量為1kg，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水.求水桶勻速地從井中提到井口，人所作的功.解：選鉛直向上為坐標y軸的方向，井中水面處為原點,由題意知，人勻速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量P.F=P=P0-ky=mg-0.2gy=107.8-1.96y（N）

人的拉力所作的為：3)功率(power)——反映作功快慢程度的物理量單位時間內力所作的功稱為功率。定義：(1)平均功率(2)瞬時功率瞬時功率等于力和速度的標積。功率的單位(SI)：瓦特（W)2.常見力的作功1)重力的功水平基準面物體從a到b重力做的總功：結論：重力對小球做的功只與小球的始末位置有關，與小球的運動路徑無關。2)彈性力的功彈性力彈性力的功為結論：彈性力做的功只與始末位置有關，與運動路徑無關。3)萬有引力的功OMm結論：萬有引力作功與路徑無關只與始末位置有關,與運動路徑無關.作功與路徑無關，只與始末位置有關保守力A（B）保守力沿任意閉合路徑所做的功為零。

重力、彈性力、萬有引力、靜電力4）摩擦力的功為滑動摩擦系數摩擦力的功與質點運動的路徑有關。摩擦力為非保守力2.3.2動能質點的動能定理動能質點因有速度而具有的作功本領單位：焦耳(J)2.質點的動能定理(theoremofkineticenergy)

牛頓第二定律的積分形式之一合外力對質點所做的功等于質點動能的增量注意：（1）動能是標量，是狀態量v的單值函數,也是狀態量；（2）功與動能的本質區別：它們的單位和量綱相同，但功是過程量，動能是狀態量。功是能量變化的量度；（3）動能定理由牛頓第二定律導出，只適用于慣性參考系，動能也與參考系有關。2.3.3質點系動能定理把質點動能定理應用于質點系內所有質點并把所得方程相加有:

(1)內力和為零,內力功的和是否為零？不一定為零ABABSL(2)內力的功也能改變系統的動能例:炸彈爆炸，過程內力和為零，但內力所做的功轉化為彈片的動能。2.3.4勢能勢能差1.保守力和保守力場作功只與物體的始末位置有關，與物體的運動路徑無關的力——保守力若質點在某一部分空間內的任何位置，都受到一個大小和方向完全確定的保守力的作用．我們稱這部分空間存在著保守力場保守力作功與路徑無關，只取決于系統的始末位置。存在由位置決定的能量EP—勢能函數2.勢能保守力做的功等于勢能增量的負值凡保守力的功均可表示為與相互作用物體相對位置有關的某函數在始末位置的值之差，將該函數定義為此物體系的勢能，是狀態函數。

１）質點系的勢能注：勢能是相對的

2）幾種勢能xzy0設地面為勢能零點，P點的重力勢能（1）重力勢能把勢能零點為彈簧原長０處OXMkx(2)彈性勢能(3)萬有引力勢能為勢能零點3.幾種常見和勢能曲線保守力重力勢能曲線hEpO彈力xEpO引力rrEpO勢能零點x=0h=0質點mgh勢能(EP)RMm2R例:

以地球和物體為系統以無窮遠為勢能零點寫出系統的引力勢能.2.地面ER=01.無窮遠

E=0解:2.3.5功能原理機械能守恒定律1.根據質點系的動能定理其中=動能+勢能——機械能質點系所受外力和非保守內力做功的總和等于質點系機械能的增量。-------質點系的功能原理1）當各微元過程都滿足時２.機械能守恒定律系統機械能守恒。2）當過程滿足時，系統初、末態機械能相等。機械能守恒定律:當作用于質點系的外力和非保守內力不作功時，質點系的總機械能守恒。能量守恒定律：在孤立系統內，無論發生什么變化過程，各種形式的能量可以互相轉換，但系統的總能量保持不變。例:長為l的均質鏈條，部分置于水平面上，另一部分自然下垂,已知鏈條與水平面間靜摩擦系數為0,滑動摩擦系數為Oy求:滿足什么條件時，鏈條將開始滑動(2)若下垂部分長度為b時，鏈條自靜止開始滑動，當鏈條末端剛剛滑離桌面時，其速度等于多少？解:(1)以鏈條的水平部分為研究對象，設鏈條每單位長度的質量為，沿鉛垂向下取Oy

軸。例當y>b0

，拉力大于最大靜摩擦力時，鏈條將開始滑動。設鏈條下落長度y=b0

時，處于臨界狀態Oy

(2)以整個鏈條為研究對象，鏈條在運動過程中各部分之間相互作用的內力的功之和為零，摩擦力的功重力的功根據動能定理有例雪橇從高50m的山頂A點沿冰道由靜止下滑,坡道AB長為500m．滑至點B后，又沿水平冰道繼續滑行，滑行若干米后停止在C處.若μ=0.050．求雪橇沿水平冰道滑行的路程.功能原理的應用s’解: