山西省長治市開發區中學2023年高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若集合A=，B=，則（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C2.已知定義在R上的奇函數和偶函數滿足，若，則A.

B.

C.

D.參考答案：B3.已知復數z滿足（1+i）z=2i，則z=（） A．－1＋i B． －1－i C． 1＋i D． 1－i參考答案：C略4.執行右面的框圖，若輸入的是，則輸出的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B第一次循環：，第二次循環：，第三次循環：，第四次循環：，第五次循環：，第六次循環：此時條件不成立，輸出，選B.5.函數的圖像大致是（

）參考答案：B6.如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=1，動點P、Q分別在線段C1D、AC上，則線段PQ長度的最小值時（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】空間向量的夾角與距離求解公式．【分析】設，，（λ，μ∈）．可得=（0，λ，2λ），=+μ=（1﹣μ，μ，0）．利用向量模的計算公式可得=|（1﹣μ，μ﹣λ，﹣2λ）|=，再利用實數的性質、二次函數的單調性即可得出．【解答】解：設，，（λ，μ∈）．∴=（0，λ，2λ），=+μ=（1，0，0）+μ（﹣1，1，0）=（1﹣μ，μ，0）．∴=|（1﹣μ，μ﹣λ，﹣2λ）|===，當且僅當，，即λ=，時取等號．∴線段PQ長度的最小值為．故選：C．7.已知等比數列{an}的各項均為正數，前n項和為Sn，若，則A.4

B.

10

C.

16

D.

32

參考答案：C由得，解得，從而. 故選C.8.函數的值域為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C9.給出以下四個命題：①如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行，②如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面③如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行，④如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.其中真命題的個數是A.4

B.3

C.2

D.1參考答案：B略10.已知函數f(x)=sin2x﹣cos2x的圖象在區間[0，]和[2a，]上均單調遞增，則正數a的取值范圍是（）A．[，]B．[，π]C．[，π] D．[，]參考答案：B【考點】正弦函數的單調性；三角函數中的恒等變換應用．【分析】求解出函數的單調增區間，根據在區間和上均單調遞增建立關系可得答案．【解答】解：由函數=2sin（2x﹣），令2x﹣得：≤x≤，k∈Z．當k=0時，可得增區間為[，]，∵在區間和上均單調遞增則，∴0＜a≤π．當k=1時，可得增區間為[，]，則2a，∴a．綜上可得：π≥a．故選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，,點是線段上的動點，則的最大值為_______.參考答案：3【考點】數量積的應用【試題解析】,所以當M,N重合時，

最大，為

又設

所以

顯然當時，最大為3.

故的最大值為3.12.二項式（x+y）5的展開式中，含x2y3的項的系數是a，若m，n滿足，則u=m﹣2n的取值范圍是．參考答案：【考點】7C：簡單線性規劃；DB：二項式系數的性質．【分析】首先求出a，然后畫出可行域，利用目標函數的幾何意義求最值．【解答】解：二項式（x+y）5的展開式中，x2y3的項的系數是a==10，所以，對應的可行域如圖：由目標函數變形為n=，當此直線經過C（）時u最小為，經過B（4，0）時u最大為4，所以u的取值范圍為；故答案為：．13.若雙曲線的左焦點為，右頂點為，為的左支上一點，且，則的離心率是

．參考答案：414.已知拋物線的焦點為F，P是的準線上一點，Q是直線PF與的一個交點．若則直線PF的方程為

。參考答案：或

15.已知角α的頂點在坐原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓的交點為A，則=

（用數值表示）參考答案：16.在矩形中，邊、的長分別為2、1，若、分別是邊、上的點，且滿足，則的取值范圍是

參考答案：[1,4].設=（0≤≤1），則=,=，則===+++,又∵=0，∴=，∵0≤≤1，∴1≤≤4，即的取值范圍是[1,4].17.已知A（3，2）、B（1，0），P（x，y）滿足=x1+x2（O是坐標原點），若x1+x2=1，則P點坐標滿足的方程是

．參考答案：x﹣y﹣1=0【考點】直線的兩點式方程；向量在幾何中的應用．【專題】計算題．【分析】根據=x1+x2得出（x，y）=（3x1+x2，2x1），得到x﹣y=x1+x2=1．【解答】解：∵=x1+x2∴（x，y）=（3x1，2x1）+（x2，0）=（3x1+x2，2x1），∴x=3x1+x2，y=2x1，∴x﹣y=x1+x2=1，故P點坐標滿足的方程是x﹣y﹣1=0，故答案為：x﹣y﹣1=0．【點評】本題考查兩個向量數量積公式的應用，兩個向量坐標形式的運算．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設為實數，函數。(1)若，求的取值范圍；

(2)求的最小值；(3)設函數，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集。參考答案：略19.全集求集合.參考答案：略20.（本小題滿分12分）已知，函數.設，記曲線在點處的切線為，與軸的交點是，為坐標原點.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍.參考答案：Ⅰ)解：曲線在點處的切線的方程為令，得

……………4分(Ⅱ)在上恒成立設，

令，解得，

當時，取極大值10當,即時，，滿足題設要求；20當，即，，若，解得.綜上，實數的取值范圍為.

…………12分21.如圖，點A是以線段BC為直徑的圓O上一點，AD⊥BC于點D，過點B作圓O的切線，與CA的延長線相交于點E，點G是AD的中點，連接CG并延長與BE相交于點F，延長AF與CB的延長線相交于點P．（1）求證：BF=EF；（2）求證：PA是圓O的切線．參考答案：【考點】與圓有關的比例線段；圓的切線的判定定理的證明．【專題】計算題；直線與圓．【分析】（1）利用平行線截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到對應線段成比例，再結合已知條件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜邊上的中線的性質和等邊對等角，得到∠FAO=∠EBO，結合BE是圓的切線，得到PA⊥OA，從而得到PA是圓O的切線．【解答】證明：（1）∵BC是圓O的直徑，BE是圓O的切線，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中點，即DG=AG．∴BF=EF．（2）連接AO，AB．∵BC是圓O的直徑，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜邊BE的中點，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圓O的切線，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圓的切線判定定理，得PA是圓O的切線．【點評】本題求證直線是圓的切線，著重考查了直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質和圓的切線判定定理等知識，屬于中檔題．22.某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出60名學生，將其數學成績（均為整數）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求第四小組的頻率，補全這個頻率分布直方圖；并估計該校學生的數學成績的中位數．（2）從數學成績是70分以上（包括70分）的學生中選兩人，求他們在同一分數段的概率．（3）假設從全市參加高一年級期末考試的學生中，任意抽取4個學生，設這四個學生中數學成績為80分以上（包括80分）的人數為X，（以該校學生的成績的頻率估計概率），求X的分布列和數學期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機變量及其分布列．【專題】概率與統計．【分析】（1）通過各組的頻率和等于1，求出第四組的頻率，考查直方圖，求出中位數即可．（2）分別求出[70，80），[80，90），[90，100]”的人數是18，15，3．然后利用古典概型概率求解即可．（3）判斷概率類型X～B（4，0.3），即可寫出分布列求解期望即可．【解答】解：（1）因為各組的頻率和等于1，故第四組的頻率：f4=1﹣（0.025+0.015*2+0.01+0.005）*10=0.