第10章能量法第10章能量法

10.1概述

10.2桿件應變能的計算

10.3應變能的一般表達式

10.4互等定理

10.5卡氏定理

10.6虛功原理單位載荷法

10.7莫爾定理

10.8計算莫爾積分的圖乘法10.1

概述能量法具有下列優點：

（1）應用簡單、方便等。

（2）公式統一，適用于計算機編程計算和分析。

對于復雜的超靜定結構，工程上常采用能量原理來進行結構的分析和計算。在彈性變形的過程中，忽略其它形式的能量如動能、熱能等的損失，認為外力功W全部轉變成應變能V,即

在彈性范圍內，彈性體在外力作用下發生變形而在體內積蓄的能量，稱為彈性應變能，簡稱應變能。10.2桿件應變能的計算一、軸向拉伸與壓縮

軸向力F所做的功為桿件的應變能為若桿件為等截面直桿且軸向力僅作用于桿兩端時，有10.2桿件應變能的計算應變能為

若桿件為階梯桿或有軸向力作用于桿中間部分時，應變能為若桿件為連續變截面桿或軸向力沿軸線分布時，應變能為10.2

桿件應變能的計算二、扭轉扭轉力偶矩所做的功圓軸在扭轉時的應變能為10.2桿件應變能的計算若圓軸為階梯軸或扭轉力偶矩作用于軸中間部分時，應變能為若圓軸為等直圓軸且扭轉力偶矩僅作用于軸兩端時，應變能為

若圓軸為連續變截面軸或扭轉力偶矩沿軸線分布時，應變能為

10.2桿件應變能的計算三、純彎曲彎曲力偶矩Me所做的功梁的應變能為若梁為等截面梁時，有梁的應變能為10.2桿件應變能的計算dx微段的彎曲應變能為四、橫力彎曲整個梁的彎曲應變能為

10.2桿件應變能的計算切應力為故剪切應變能密度為梁的剪切應變能為10.2桿件應變能的計算引入記號

k只與梁的橫截面形狀有關，稱為截面的剪切形狀系數。矩形截面，；圓形截面，；薄壁圓環截面k=2。10.2桿件應變能的計算橫力彎曲時梁的應變能為彎曲應變能和剪切應變能之和，即對于細長梁，剪切應變能與彎曲應變能相比，一般很小，可以忽略不計，所以只需計算彎曲應變能。但對于短梁，應考慮剪切應變能。

10.2桿件應變能的計算式中，F為廣義力，δ為與廣義力對應的廣義位移。

功及應變能可統一寫成對于非線性彈性問題，應變能的計算公式為10.2桿件應變能的計算例10.1圖示懸臂梁承受集中力與集中力偶矩的作用。試計算梁的應變能。設彎曲剛度為常數。xl解：建立圖示坐標系，彎矩方程為梁的應變能為10.2桿件應變能的計算當梁上只作用橫向力F時，其應變能為當梁上只作用彎曲力偶矩Me時，其應變能為在產生同種變形的外力作用下彈性體的應變能不能由各個外力單獨作用下的應變能疊加求得。顯然10.2桿件應變能的計算例10.2試求圖示矩形截面簡支梁的彎曲應變能和剪切應變能，并比較之。

解：由于左、右兩段對稱，所以全梁應變能能等于段的兩倍。AC段內的剪力和彎矩分別為梁的彎曲應變能和剪切應變能分別為

10.2桿件應變能的計算對于矩形截面梁，再利用，得取μ=0.3，當h=0.2l時，V2

:V1=0.125；當h=0.1l

時，V2:V1=0.0312；當h=0.05l時，V2:V1=0.0078。對于粗短梁應考慮剪切應變能，對于細長梁可忽略不計剪切應變能。10.3應變能的一般表達式彈性體(線性或非線性)在變形過程中儲存應變能的數值，只決定于外力和位移的最終值，而與加載的次序無關。前提：小變形，線彈性各個外力可以表示為kF1、kF2、…、kFn相應的位移可以表示為k1、k2、…、kn10.3應變能的一般表達式外力在此位移增量上做的功分別為

如參數k有一個增量dk，位移的相應增量分別為1dk、2dk、…、ndk彈性體的應變能為線彈性體的應變能等于每一外力與其相應位移乘積的二分之一的總和。這一結論稱為克拉貝依隆(Clapeyron)原理。

10.3應變能的一般表達式組合變形在產生不同種類變形的外力作用下彈性體的應變能可由各個外力單獨作用下的應變能疊加求得。微段內的應變能為10.3應變能的一般表達式通過積分，即可求出整個桿件的總應變能上式是針對圓截面桿件。若截面為非圓截面，則將上式中右邊第二項中的Ip應改為It。若桿件為細長桿件，上式第四項可以略去。10.3應變能的一般表達式例10.3在剛架ABC自由端C處作用集中力F，如圖10.10所示。已知剛架的抗彎剛度EI和抗拉壓剛度EA為常量，不計剪力對變形的影響，試求剛架的應變能，并求C點的鉛垂位移。解：(1)計算剛架的應變能剛架的應變能由桿件AB和桿件BC應變能組成，即10.3應變能的一般表達式選擇如示坐標系，則AB桿的軸力方程和彎矩方程分別為BC桿的軸力方程和彎矩方程分別為剛架的總應變能為

10.3應變能的一般表達式(2)計算C點的鉛垂位移根據能量原理，得10.3應變能的一般表達式(3)

討論C點的鉛垂位移由兩部分組成：一部分是彎曲引起的位移yC1和軸力引起的位移yC2，它們分別為對于細長桿件，慣性半徑i遠小于桿件的長度l。通常忽略剛架類結構中軸力和剪力對位移的影響。10.4互等定理一、功的互等定理(1)先加F1再加F2，梁內的應變能(2)先加F2再加F1，梁內的應變能10.4

互等定理上式表明，力F1在由力F2引起的位移12上所作的功等于力F2在由力F1引起的位移21上所作的功。第一組力在第二組力引起的位移上做的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上做的功。這就是功的互等定理。10.4互等定理二、位移互等定理在中，令F1＝F2

，則有力F2引起力F1(大小與F2相等)作用點沿F1方向的位移12，等于力F1引起力F2作用點沿單位力F2方向的位移21。這就是位移互等定理。

10.4互等定理例10.4如圖a所示連續梁AD。當支座A下沉時，引起D端的撓度為(如圖b)。若無支座下沉，當D端向下作用集中力F時(如圖c)，求支座Ａ的反力。解:把圖b所示受力看作第一組力，把圖c所示受力看作第二組力，則第一組力在第二組力引起的位移上所做的功為零，而第二組力在第一組力引起的位移上做的功為RA+F。故有10.5

卡式定理任一外力Fi有一個增量dFi，則應變能V的相應增量為梁的應變能為當先作用dFi，在作用F1、F2、…、Fi…、Fn彈性體的應變能為10.5卡式定理略去二階微量，得應變能對任一外力Fi的偏導數，等于Fi作用點Fi方向的位移，這就是卡氏第二定理，通常稱為卡氏定理。注:卡氏定理只適用于線彈性結構。

10.5卡式定理

下面把卡氏定理應用于幾種特殊情況。梁彎曲桁架桿件受拉壓圓軸扭轉組合變形10.5卡式定理

例10.5圖示外伸梁的抗彎剛度EI已知，求外伸端C的撓度wC和左端截面A的轉角θA。解：建立圖示坐標系在BC段內在AB段內10.5卡式定理根據卡氏定理，外伸端C的撓度Wc為

10.5卡式定理這里wC和θA皆為正號，表示它們的方向分別與F和MC相同。左端截面A的轉角θA為10.5卡式定理例10.6

試求圖示平面剛架截面A的轉角。EI為已知解：設想在截面A上增加一個力偶矩ma(如圖b)，ma稱為附加力偶矩。此時，在q和ma共同作用下的支座反力為(a)DBC(b)BCD10.5卡式定理在AB段內

在DA段內在CB段內10.5卡式定理根據卡氏定理，截面的轉角為

在上式中令ma=0，就可以求得僅在q作用下截面A的轉角為10.6虛功原理單位載荷法

一、虛功原理虛位移虛位移表示是其它因素引起的位移，以區別桿件原有外力引起的位移。(2)虛功桿件上的力在虛位移上做的功稱為虛功。虛位移應滿足邊界條件和連續光滑條件，并符合小變形要求。10.6虛功原理單位載荷法外力在虛位移上做的總虛功為F1，F2，F3，…表示作用于桿件上的廣義集中外力。v1*，v2*，v3*，…表示集中外力作用點處沿其方向的虛位移。q(x)，…表示作用于桿件上的廣義分布外力。v*(x)，…表示分布外力作用處沿其方向的虛位移。

10.6虛功原理單位載荷法在微段的虛變形過程中，內力做的虛功為d(l)*為微段兩端截面的相對軸向位移。d*為微段兩端截面的相對轉角。d*為微段兩端截面的相對錯動。dφ*為微段兩端截面的相對扭轉角。10.6虛功原理單位載荷法總虛功為故有在虛位移中外力做的虛功等于內力在相應虛變形上做的虛功。這就是虛功原理。虛功原理既適用于線彈性材料，也適用于非線性彈性材料。10.6虛功原理單位載荷法例10.7

試求圖示桁架各桿的內力。設各桿的橫截面面積、材料相同，且是線彈性的。解：由于結構和載荷均對稱，A點只有鉛垂位移v。由此引起桿1和桿2(桿3)的伸長分別為由物理關系可以求出三桿的內力分別為10.6虛功原理單位載荷法設節點A有一虛位移v。外力在此虛位移上做的虛功為Fv。桿1的內力虛功為

桿2和桿3的內力虛功均為整個桿件的內力虛功為由虛功原理得10.6虛功原理單位載荷法10.6虛功原理單位載荷法二、單位載荷法求剛架A點沿某一方向aa的位移為。把剛架在原有外力作用下的位移(圖a)作為虛位移。由虛功原理在單位力作用下，剛架的軸力、彎矩和剪力分別為

10.6虛功原理單位載荷法桿件軸向拉伸或壓縮桿件的彎曲桿件扭轉10.6虛功原理單位載荷法例10.8圖a所示集中力作用于簡支梁，梁跨度中點，材料的應力-應變關系為。式中C為常量，σ和ε皆取絕對值。求集中力F作用點D的鉛垂位移。解：彎曲變形時，梁內離中性層為y處的應變為由應力-應變關系得10.6虛功原理單位載荷法引入記號橫截面上彎矩為式中

10.6虛功原理單位載荷法故有在D點作用鉛垂向下的單位力(圖b)，其彎矩為D的鉛垂位移為10.7莫爾定理若材料是線彈性的，則桿件的彎曲、拉伸(或壓縮)和扭轉變形分別為單位載荷法相應的位移計算公式可以寫為彎曲扭轉桁架10.7莫爾定理對于組合變形：用上面公式求解位移的方法稱為莫爾積分法或稱為莫爾定理。若求結構上兩點的相對線位移，則在這兩點上沿它們的連線作用一對方向相反的單位力，然后利用莫爾定理計算，就可以求得相對位移。若求結構上兩截面的相對轉角，則在這兩個截面上作用一對方向相反的單位力偶矩，然后利用莫爾定理計算，就可以求得相對轉角。10.7莫爾定理例10.9圖a所示剛架的自由端A作用集中載荷F。剛架各段的抗彎剛度為EI。若不計軸力和剪力對位移的影響，試計算A點的垂直位移yA及截面B的轉角θB。解：(1)計算A點的垂直位移yA取坐標如圖所示，在A點作用鉛垂向下的單位力(圖b)。則有10.7莫爾定理

10.7莫爾定理如考慮軸力對點位移的影響，在上式中應再增加一項為了便于比較，設a=l

，則A點因彎矩引起的垂直位移為對于細長桿件，這個比值是一個很小的數值，例如當截面是邊長為b的正方形，且l=10b時，以上比值變為yA1和yA之比是10.7莫爾定理(2)計算截面B的轉角θB顯然，和yA比較，yA1可以省略。式中負號表示θB的方向與所加單位力偶矩的方向相反。在截面B上作用一個單位力偶矩(圖c)，則有對于等直桿，EI=const，可以提到積分號外，故只需計算積分在和兩個函數中，只要有一個是線性的，以上積分就可簡化。在應用莫爾定理求位移時，需計算下列形式的積分10.8計算莫爾積分圖乘法10.8計算莫爾積分圖乘法其中：代表圖的面積，xC

代表圖中形心C的橫坐標。圖示為某直桿AB的圖和圖。所以所以10.8計算莫爾積分圖乘法右圖中給出了幾種常用圖形的面積ω及其形心位置的計算公式。其中拋物線頂點的切線與基線平行或與基線重合。

10.8計算莫爾積分圖乘法(2)M圖和圖位于同側時,為正，反之,為負；注意：(1)圖乘法僅適用于等直截面桿；(3)當M圖或由幾段線段組成，則應以其轉折點為界，把彎矩圖分成幾段逐段使用圖乘法，然后求其代數和；(4)當桿件上M圖比較復雜，不方便應用圖乘法時，