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文檔簡(jiǎn)介

§4.6函數(shù)的凹向，拐點(diǎn)

（一）上凹、下凹的定義（二）凹性的性質(zhì)及判定（三）拐點(diǎn)2/4/20231問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于切線的下方，由大變小圖形上任意弧段位于切線的上方，由小變大2/4/20232（一）凹性定義定義4.2如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)切線的上方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是上凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)切線的下方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是下凹（或凸）的。2/4/20233等價(jià)定義：圖形上任意弧段在弦的下方圖形上任意弧段在弦的上方2/4/20234遞增上凹函數(shù)的切線斜率隨著自變量增加遞增2/4/20235（二）上（下）凹性的判定定理1：(用一階導(dǎo)數(shù)判定)2/4/20236略2/4/20237定理2：(用二階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的凸性)2/4/20238例

判定曲線y=lnx

的上凹，下凹性.解因?yàn)樗栽诤瘮?shù)的定義域所以，曲線是下凹的.2/4/20239解注意到,2/4/202310（三）拐點(diǎn)結(jié)論：（拐點(diǎn)必要條件）定義:連續(xù)曲線上凹和下凹分界點(diǎn).2/4/202311例1求曲線的拐點(diǎn)解解方程得2/4/202312例2.求曲線的拐點(diǎn).

解:不存在上凹下凹點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).2/4/202313求凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)的步驟:1）求出的點(diǎn)和不存在的點(diǎn)每個(gè)區(qū)間上判斷的符號(hào)從而判斷凹凸性.拐點(diǎn).2）以為分界點(diǎn)把定義域劃分成幾個(gè)區(qū)間,2/4/202314例3解上凹下凹上凹拐點(diǎn)拐點(diǎn)2/4/202315止2/4/202316例4問曲線是否有拐點(diǎn)？解顯然，只有x=0是方程的根.但當(dāng)因此點(diǎn)(0,0)不是這曲線的拐點(diǎn).曲線沒有拐點(diǎn)，它在內(nèi)是上凹的.止2/4/202317思考題2/4/202318思考題解答例2/4/202319例5：（用凹性證明不等式）證明：

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