平穩時間序列預測第一頁，共六十八頁，2022年，8月28日第一節平穩時間序列預測的概念返回本節首頁下一頁上一頁第二頁，共六十八頁，2022年，8月28日一、最小均方誤差預測概念

二、平穩ARMA模型最小均方誤預測的推導

第二節最小均方誤預測(正交投影預測)返回本節首頁下一頁上一頁第三頁，共六十八頁，2022年，8月28日一、最小均方誤差預測概念（若預測函數是線性的，則稱線性最小均方誤預測）返回本節首頁下一頁上一頁第四頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、平穩ARMA模型最小均方誤預測的推導返回本節首頁下一頁上一頁第五頁，共六十八頁，2022年，8月28日由于預測只能建立在到t時刻為止的可用信息的基礎上，因此，根據最小均方誤預測的第二個準則，以及平穩可逆序列可以表示成傳遞函數形式的論斷，可以將預測值表示成能夠估計的項at，at-1，……，的加權和的形式：第六頁，共六十八頁，2022年，8月28日由上得以t為原點，向前l步的預測誤差為：由于at是白噪聲，故有：第七頁，共六十八頁，2022年，8月28日因此可得xt+l的最小均方誤預測為：預測誤差為：誤差方差為：第八頁，共六十八頁，2022年，8月28日由上推導可知，（1）最小均方誤預測誤差的方差和預測步長l有關，而和預測的時間原點無關。（2）預測步長l越大，預測誤差的方差也越大，即預測的準確性越差。第九頁，共六十八頁，2022年，8月28日上述最小均方誤預測公式中包含有無窮項求和，而在實際中我們只可能有有限的數據，因此，只能用充分多項的有窮和近似，即：第十頁，共六十八頁，2022年，8月28日第三節條件期望預測一、條件期望預測的一般公式二、用條件期望進行預測三、ARMA(p,q)模型條件期望預測的一般結果四、ARMA(p,q)條件期望預測的置信區間返回本節首頁下一頁上一頁第十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日一、條件期望預測的一般公式用公式表示如下：返回本節首頁下一頁上一頁第十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日有關xt和at的條件期望有如下性質：第十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日由于：利用條件期望的性質，對上式兩端求條件期望，得xt+l的條件期望預測為：可見，xt+l的條件期望預測和它的最小均方誤預測是一致的。第十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、用條件期望進行預測1.AR(1)模型的條件期望預測(參見P130)設xt適合如下AR(1)模型:(1)以t為原點，向前一步預測公式(l=1)返回本節首頁下一頁上一頁第十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)向前二步預測公式(l=2)(3)向前l步預測公式(l≥2)第十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日由上推導可見，對于l>0，條件期望預測值滿足如下差分方程：第十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日2、AR(2)模型的條件期望預測設xt適合如下AR(2)模型:(1)以t為原點，向前一步預測公式(l=1)第十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)向前二步預測公式(l=2)(3)向前l步預測公式(l≥3)第十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日可見，當l>1時，AR(2)預測值可由如下差分方程求出：(預測值的一般解略)第二十頁，共六十八頁，2022年，8月28日3、ARMA(1,1)模型的條件期望預測設(1)向前一步預測(l=1)第二十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)向前二步預測(l=2)(3)向前l步預測公式(l≥2)第二十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日可見，當l>1時，ARMA(1,1)預測值也是由如下差分方程決定的。解得：由于：所以：因此：第二十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日4、MA(1)模型的條件期望預測設(1)向前一步預測(l=1)第二十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)向前二步預測(l=2)(3)向前l步預測公式(l≥2)第二十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日設：（1）向前一步預測(l=1)：對上式兩端求條件期望得：三、ARMA(p,q)模型條件期望預測的一般結果返回本節首頁下一頁上一頁第二十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)向前二步預測公式(l=2)(3)向前l步預測公式(l≤p，且l≤q)第二十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日(3)向前l步預測公式(l>p，且l>q)第二十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日由推導可以看出，對于ARMA(p,q)模型的向前l步預測(l>p，且l>q)，預測結果滿足如下差分方程：（預測值解的一般形式參見課本P134）由解的一般形式可以看出，對于ARMA(p,q)模型，自回歸部分決定了預測函數的形式，而滑動平均部分則用于確定預測函數中的系數。第二十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日預測舉例：例1：利用對zl14所建立的模型進行預測。先對原序列零均值化，然后建模如下：已知：第三十頁，共六十八頁，2022年，8月28日解：第三十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日同理：第三十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日當時，預測值滿由模型自回歸部分決定的差分方程：解此差分方程即可求出預測函數。第三十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日前已證明，條件期望預測與最小均方誤預測是一致的，因此，預測誤差和誤差方差也是相同的。因此，條件期望的預測誤差為：四、ARMA(p,q)條件期望預測的置信區間返回本節首頁下一頁上一頁第三十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日預測誤差的方差為：其中：第三十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日l=1時的預測誤差為：于是有：可見ARMA模型中白噪聲項at其實就是以xt-1為原點，向前一步預測誤差。預測誤差和白噪聲項的關系：再由預測誤差方差的公式得：可見：向前一步預測誤差的方差其實就是白噪聲項的方差。第三十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日預測誤差的置信區間：對于正態過程，預測誤差的分布為：所以：對xt+l預測的95%的置信區間為：因此：第三十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日根據預測置信區間的公式得：可見：隨著預測步長的加大，預測誤差的置信區間也越大，預測結果越不準確。第三十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日例1：zl14磨輪剖面數據，所建模型如下：第三十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日于是以t=250為原點，向前一步、二步、三步預測的95%的置信區間分別為：第四十頁，共六十八頁，2022年，8月28日所以對于原序列，以t=250為原點向前一步，二步、三步的預測分別為：第四十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2.對ARMA21.wf1文件中的序列x建模如下：已知：模型的剩余平方和為260.04。第四十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日（1）求預測值解：a250未知，故需先將其求出。由已知數據得：第四十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日同理：因此：第四十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日第四十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日（2）求預測值的95%的置信區間：由ARMA(2,1)模型的格林函數得：第四十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日所以預測值的95%的置信區間為：第四十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日在Eviews中利用ARMA模型進行預測。（1）Eviews中進行預測時的兩個選項。Dynamic—動態預測。（含義）Static—一步超前預測。（含義）對于ARMA模型：若對序列進行擬合分析(即追溯預測)，則選static。若向前l步預測，則要選dynamic，并且要先對工作區間、樣本區間進行調整如下：

(1)expand@firstt+l(2)smplt+1t+l具體操作見演示。第四十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)通過Eviews計算預測置信區間。第四十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日例：根據磨輪剖面數據zl14.wf1，(1)建立模型。(2)模型追溯預測分析。(3)進行外推預測(l=3).第五十頁，共六十八頁，2022年，8月28日第四節適時修正預測一、問題的提出二、適時修正預測公式返回本節首頁下一頁上一頁第五十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日一、問題的提出返回本節首頁下一頁上一頁第五十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、適時修正預測公式1、適時修正預測公式的推導（1）適時修正預測公式返回本節首頁下一頁上一頁第五十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日2、適時修正預測公式的推導：第五十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日綜合上述推導，可得適時修正預測公式為：上述公式說明：新的預測值是在舊的預測值的基礎上，加上一個修正項推算出來的，而這一個修正項比例于舊的一步預測誤差，比例系數隨著預測超前步數的變化而變化。第五十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日例：對于zl14磨輪剖面數據，解：適時修正預測公式為：所以：第五十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日第五節指數平滑預測與ARMA模型一、一次指數平滑預測的原理二、ARIMA(0,1,1)模型的預測返回本節首頁下一頁上一頁第五十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日一、一次指數平滑預測的原理一次指數平滑預測的基本公式為：其中：0<α<1為平滑系數。將上述公式展開得：如此展開下去可得：返回本節首頁下一頁上一頁第五十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日設有ARIMA(0,1,1)模型如下:將其表示成逆轉形式得：返回本節首頁下一頁上一頁二、ARIMA(0,1,1)模型的預測第五十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日上式即為:對其作向前一步預測可得：令1-θ=α，上式可變為：其中，α=1-θ<1第六十頁，共六十八頁，2022年，8月28日由上述推導推可見：（1）一次指數平滑是ARIMA(0,1,1)模型預測的特例，且ARIMA模型提供了最優方式預測所需要的權數。（2）ARIMA預測也是最小均方誤預測，但一次指數平滑預測卻不具有這種最優特性。（3）對于ARIMA預測，僅對可逆過程才是有意義的，對于ARIMA(0,1,1)就是要求|θ|<1。（4）只有原序列適合于ARIMA(0,1,1)模型時，采用一次指數平滑預測才是合適的。第六十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日所謂傳遞形式：就是將序列xt的當前值，表示為當前沖擊值at

與過去沖擊值at-i(i=1,2,3…)的線性組合。即:其中，系數函數Gj叫做記憶函數，又叫格林函數(Green’sfunction)。（參見P47、48）附：ARMA模型的傳遞形式和逆轉形式第六十