第7章數字控制器的離散化設計

7.1數字控制器的離散化設計步驟7.2最少拍隨動系統的設計7.3最少拍無紋波隨動系統的設計7.4大林算法

課前準備1.典型信號的Z變換

（1）單位脈沖函數 （2）單位階躍函數 （3）單位速度函數

（4）單位加速度函數（5）典型輸入函數2.Z變換的性質

線性定理延遲定理超前定理初值定理終值定理卷積定理3、采樣系統的穩定性

如果采樣系統Z傳遞函數G(z)的極點zi在Z平面的單位圓內，則采樣系統是穩定的，對于有界的輸入，系統的輸出收斂于某一有限值；

如果某一極點zj在單位圓上，則系統臨界穩定，對于有界的輸入，系統的輸出持續地等幅振蕩；

如果G(z)的極點至少有一個在單位圓外，則采樣系統是不穩定的，對于有界的輸入，系統的輸出發散4差分方程采樣系統的數學模型用差分方程描述。差分方程表示出系統離散輸入與離散輸出之間的函數關系。差分方程由輸出序列y，及其移位序列y(k-1)、y(k-2)、y(k-3)、……，以及輸入序列u(k)，及其移位序列u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、……，所構成。（k=0,1,2,……）序列中k即kT，k=0T為研究開始時刻，kT可以理解為當前時刻，而(k-1)T為前一采樣時刻。例：慣性系統被采樣后的差分方程：5.離散化設計方法

所謂離散化設計方法是指在Z平面上設計的方法，對象可以用離散模型表示，或者用離散化模型的連續對象，根據系統的性能指標要求，以采樣控制理論為基礎，以Z變換為工具，在Z域中直接設計出數字控制器。這種設計法也稱直接設計法或Z域設計法。7.1數字控制器的離散化設計步驟

（1）由H0(s)和G(s)求取廣義對象的脈沖傳遞函數；（2）根據控制系統的性能指標及實現的約束條件構造閉環脈沖傳遞函數；偏差閉環脈沖傳遞函數；3、求取數字控制器的脈沖傳遞函數D(z)4、根據D(z)求取控制算法的遞推計算公式

設數字控制器D(z)的一般形式為：數字控制器的輸出U(z)為：

將上式進行Z反變換得到差分形式的公式得到數字控制器D(z)的計算機控制算法為：

按照上式，就可編寫出控制算法程序。7.2最少拍隨動系統的設計在數字控制系統中，通常把一個采樣周期稱為一拍。所謂最少拍控制，就是要求設計的數字控制器能使閉環系統在典型輸入作用下，經過最少拍數（最少個采樣周期）達到無靜差的穩態。最少拍控制實質上是時間。最優控制，最少拍控制系統也稱為最小調整時間系統或最快響應系統最少拍控制系統設計的要求

（1）對特定的參考輸入信號，在到達穩態后，系統在采樣點的輸出值準確跟隨輸入信號，不存在靜差（2）在各種使系統在有限拍內到達穩態的設計中，系統準確跟蹤輸入信號所需的控制周期數最少（3）數字控制器必須在物理上可以實現（4）閉環系統必須是穩定的 幾種典型輸入信號及其Z變換表達式如下：單位階躍函數：

單位速度函數：

單位加速度函數：

輸入信號的一般表達式式中為不包含因式的的多項式。根據Z變換的終值定理，求系統的穩態誤差，并使其為零（無靜差，即準確性約束條件)，即：

很明顯，要使穩態誤差為零，中必須含有因子，且，要實現最少拍一般取。同樣

要使成為有限項的多項式，應使

為不包含因式的的多項式，應盡可能簡單，故取據此，對于不同的輸入信號，可選擇不同的誤差傳遞函數從而得到最少拍控制器當輸入信號為單位階躍信號時，

，，1.典型輸入下的最少拍控制系統分析

（1）單位階躍輸入（q=1） 輸入函數r(t)=1，其z變換為： 由最少拍控制器設計時選擇的系統閉環傳函為：

誤差函數： 進一步得到系統輸出為：上兩式說明系統只需1拍（一個采樣周期）輸出就能跟蹤輸入，誤差為零，系統進入穩態。（2）單位速度輸入（q=2）

輸入函數r(t)=t，其z變換為：

由最少拍控制系統閉環傳函為：

誤差函數：以上兩式說明，只需兩拍(兩個采樣周期)輸出就能跟蹤輸入，達到穩態，過渡過程結束。進一步得到系統輸出為：（3）單位加速度輸入（q=3）

由最少拍控制系統閉環傳函為：

誤差函數： 系統輸出為：

以上兩式說明，上式說明，只需三拍(三個采樣周期)輸出就能跟蹤輸入，達到穩態。輸入函數r(t)=(1/2)t２，其z變換為：表7-1三種典型輸入的最少拍系統綜上所述，可歸納為如下表所示

最少拍控制器的設計是使系統對某一典型輸入的響應為最少拍，但對于其它典型輸入不一定為最少拍，甚至會引起大的超調和靜差。一般來說，針對一種典型的輸入函數R(z)設計，得到系統的閉環脈沖傳遞函數Ф(z)，用于次數較低的輸入函數R(z)時，系統將出現較大的超調，響應時間也會增，但在采樣時刻的誤差為零。反之，當一種典型的最少拍特性用于次數較高的輸入函數時，輸出將不能完全跟蹤輸入以致產生穩態誤差。由此可見，一種典型的最少拍閉環脈沖傳遞函數Ф(z)只適應一種特定的輸入而不能適應于各種輸入。以下面例題為例，具體分析一下：2.最少拍控制器對典型輸入的適應性差【例7-1】圖7-1所示系統，

有設計最少拍數字控制器。

解：

1）按輸入信號為單位速度輸入來設計最少拍數字控制器

現考察此時的輸出：輸出響應曲線如圖7-2所示。當不變，輸入信號變為其他函數時，有如下分析：2）只改變輸入信號為單位階躍信號：即：輸出響應曲線如圖7-3所示。可見，按單位速度輸入設計的最小拍系統，當輸入信號為單位階躍信號時，經過2個采樣周期，Y(KT)=R(KT)，但在K=1時，將有100%的超調量。即：輸入系列：輸出響應曲線如圖7-4所示。可見，按單位速度輸入設計的3）只改變輸入信號為單位加速度信號：

最小拍系統，當輸入信號為單位加速度信號時，輸出響應與輸入之間總存在偏差。

圖7-4單位加速度輸入時最少拍系統響應曲線

7-2單位速度輸入時最少拍系統響應曲線圖7-3單位階躍輸入時最少拍系統響應曲線圖

3.最少拍控制系統輸出量在采樣點之間存在波紋【例7-2】圖7-1所示系統，有設計最少拍調節器，并畫出數字控制器輸出控制量和系統輸出波形。解：若輸入信號為單位階躍信號，根據式（7-14）可得：現考察此時的輸出序列：偏差：故

可見當經過一個采樣周期后（ts=1s）系統穩態無靜差。控制量：4.最少拍系統的其他局限性（1）最少拍控制器對參數變化過于敏感

（2）控制作用易超出范圍畫出系統數字控制器輸出控制量和系統輸出波形如圖7-5所示。閉環系統的穩定性，是由的極點在Z平面的分布決定的，的零點對系統的快速性也將產生一定的影響。而的零、極點對有直接的影響。的極點應全部在單位圓內。

為了保證閉環系統穩定，其閉環脈沖傳遞函數5.最少拍數字控制器的限制條件

（1）當

含有單位圓上或圓外的極點時，將這些極點作為

（2）當含有單位圓上或圓外的零點時，

將這些零點作為

的零點；

（3）當含有純滯后環節時，則在的分子中含有

因子。

的零點；

由式【例7-3】設最少拍隨動系統，被控對象的傳遞函數，采樣周期設計單位階躍函數輸入時的最少拍數字控制器。解：該系統廣義對象的脈沖傳遞函數上式中包含有和單位圓外零點為滿足限制條件(2)、條件(3)，要求閉環脈沖傳遞函數中含有項及的因子。又因為式中含有一個極點(Z=1)在單位圓上，因此，根據限制條件(1)，必須有一個的零點。

故可得（注意和中的最高次冪必須相等，因為式中，a、b為待定系數。由上述方程組可得；比較等式兩邊的系數，可得；由此可解得待定系數，。代人方程組，則于是，可求出數字控制器的脈沖傳遞函數上述控制器在物理上是可以實現的。離散系統經過數字校正后，在單位階躍作用下，系統輸出響應的z變換為由此可得，由于閉環z傳遞函數包含了單位圓外零點，所以系統的調節時間延長到兩拍(1s)。7.3最少拍無紋波隨動系統的設計1.最少拍有紋波隨動系統存在的問題1）系統的輸出響應在采樣點之間有波紋存在，輸出波紋不僅影響系統質量（如過大的超調和持續振蕩），而且還會增加機械磨損和功率消耗。2）系統對輸入信號的變化適應能力比較差。3）對參數變化過于敏感。系統參數一旦變化，就不能再滿足控制要求。2.產生紋波的原因1）采樣系統的極點與穩定性和動態響應的關系2）產生紋波的原因數字控制器的輸出序列經若干拍數后，不為常值或零，而是振蕩收斂的。作用在保持器的輸入端，保持器的輸出也必然波動，使系統輸出在采樣點之間產生紋波。非采樣時刻的紋波現象不僅造成系統在非采樣時刻有偏差，而且浪費執行機構的功率，增加機械磨損。而控制量序列值不穩定，是因為控制量含有左半平面單位圓內非零極點。根據圖7-11所示極點分布與瞬態響應的關系，左半平面單位圓內非零極點雖然是穩定的，但對應的時域響應是振蕩收斂的。

3）最少拍無紋波設計就是要求在典型輸入信號的作用下，經過有限拍，系統達到穩定，并且在采樣點之間沒有紋波，輸出誤差為零，控制量保持恒定。3.消除紋波的附加條件最少拍無紋波系統的設計，是在最少拍控制存在波紋時，對期望閉環響應進行修正，以達到消除采樣點之間波紋的目的。除了按照上一節選擇以保證控制器的可實現性和閉環系統的穩定性之外，還應將被控對象在單位圓內的非零零點包括在以便在控制量的Z變換中消除引起振蕩的所有極點。無紋波系統的調整時間比有紋波系統的調整時間增加若干拍，

增加的拍數等于在單位圓內的零點數目。中，4.最少拍無紋波隨動系統的設計舉例

由消除紋波的附加條件可確定最少拍無紋波的方法如下：

1）先按有紋波設計方法確定；

2）再按無紋波附加條件確定。

【例7-4】設最少拍隨動系統，被控對象的傳遞函數采樣周期解：（1）最少拍有紋波設計該系統廣義對象的脈沖傳遞函數。設計單位階躍函數輸入時的最少拍無紋波數字控制器控制量和系統輸出波形如圖7-12所示，可見控制量不穩定，將使系統輸出出現紋波。（2）無波紋控制器設計具有的因子，零點和單位圓上的極點。根據前面的分析，應包含的因子和的全部零點，

應由的不穩定極點和的階次決定，所以有式中，a、b為待定系數。由（1）可見，由上述方程組可得比較等式兩邊的系數，可得由此可解得待定系數；。代人方程組，則為了檢驗以上設計的是否仍然有波紋存在，我們來看一下控制量。可見，系統經過兩拍以后，所以本系統設計是無紋波的。離散系統經過數字校正后，在單位階躍作用下，系統輸出響應的z變換為由此可得，

（a）控制器輸出（b）系統輸出可見控制量穩定，將使系統輸出無紋波。無紋波系統的調整時間比有紋波系統的調整時間增加一拍，增加的拍數正好等于在單位圓內的零點數目。7.4大林算法.在工業過程(如熱工、化工)控制中，由于物料或能量的傳輸延遲，許多被控制對象具有純滯后性質。對象的這種純滯后性質常引起系統產生超調或者振蕩。

.在控制系統設計中，對這類純滯后對象的控制，快速性是次要的，主要要求系統沒有超調或很少的超調。

.史密斯(Smith)預估控制和達林（Dahlin）算法就是專門針對工業生產過程中含有純滯后控制對象的控制算法。

.達林算法的設計目標是：設計控制器使系統期望的閉環傳遞函數等價于純滯后環節和一階慣性環節的串聯。7.4.1大林算法的基本形式大林算法的設計目標：設計一個合適的數字控制器，使整個閉環系統的傳遞函數相當于一個帶有純滯后的一階慣性環節，并期望整個閉環系統的純滯后時間和被控對象的純滯后時間相同。

通常認為對象與一個零階保持器串聯，相對應的整個閉環系統的脈沖傳遞函數為：

為閉環系統的時間常數。假若已知被控對象的廣義脈沖傳遞函數就可求出數字控制器的脈沖傳遞函數下面就具體環節的大林算法做簡單說明（1）、一階慣性環節的達林算法當被控對象為帶純滯后的一階慣性環節時可以得到達林算法的數字控制器為：當被控對象為帶純滯后的二階慣性環節時其中：可以得到達林算法的數字控制器為：（2）二階慣性環節的達林算法

所謂振鈴（Ringing）現象，是指數字控制器的輸出u(k)以1/2采樣頻率（2T采樣周期）大幅度上下擺動。振鈴現象對系統的輸出幾乎無影響，但會增加執行機構的磨損，并影響多參數系統的穩定性。7.4.2振鈴現象及其消除方法

振鈴現象與被控對象的特性、閉環時間常數、采樣時間、純滯后時間的大小等有關。系統的輸出Y(z)和數字控制器的輸出U(z)間有下列關系：

Y(z)=

U(z)G1(z)系統的輸出Y(z)和輸入函數的R(z)之間有下列關系：Y(z)=

Ф(z)R(z)則數字控制器的輸出U(z)與輸入函數的R(z)之間的關系：其中，表達了數字控制器的輸出與輸入函數在閉環時的關系，是分析振鈴現象的基礎。1.振鈴現象的分析根據圖7-11所示極點位置與相應的脈沖響應圖，分析在平面負實軸上的極點分布情況，就可得出振鈴現象的有關結論：（1）極點距離越近，振鈴現象越嚴重；（2）單位圓內右半平面的零點會加劇振鈴現象；（3）單位圓內右半平面的極點會減弱振鈴現象。對于單位階躍輸入信號含有極點z=1。如果的極點在負實軸上，且與z=-1接近，則數字控制器的輸出序列u(k)中將含有這兩個極點造成的瞬態項，且瞬態項的符號在不同時刻不相同，可能疊加也可能抵消（當兩瞬態項符號相同時，數字控制器的輸出控制作用加強；符號相反時，控制作用減弱），從而造成數字控制器的輸出序列大幅度波動。極點距離z=-1越近，振鈴現象越嚴重。假設含有1/(z-a)因子（a<0），即有z=a極點。則輸出序列u(k)必有分量：

因為a<0，當k-1為奇數時，u(k)為負，使控制作用減弱；當k-1為偶數時，u(k)為正，使控制作用加強。這就是輸出的控制量兩倍采樣周期振蕩的原因。也說明振零現象產生的原因是φm(z)有負實軸上接近z=-1的極點。下面就具體環節來分析一下：

①帶純滯后的一階慣性環節 被控對象為帶純滯后的一階慣性環節時

求得極點顯然是大于零的。故在帶純滯后的一階慣性環節組成的系統中，數字控制器輸出對輸入的脈沖傳遞函數不存在負實軸上的極點，這種系統不存在振鈴現象。若式不滿足，在這時就會發生振鈴現象。

被控制對象為帶純滯后的二階慣性環節時，有兩個極點，第一個極點在 不會引起振鈴現象。第二個極點在在T→0時，有說明會出現左半平面與z=-1相近的極點，這一極點將引起振鈴現象。②帶純滯后的二階慣性環節

振鈴幅度(RA)用來衡量振鈴強烈的程度。常用單位階躍作用下數字控制器第0拍輸出量與第1拍輸出量的差值來衡量振鈴現象強烈的程度。

2.振鈴幅度式中RA≤0，則無振鈴現象；RA>0，則存在振鈴現象，且RA值越大，振鈴現象越嚴重。單位階躍輸入下對帶純滯后的二階慣性環節時，方法1：找出D(z)中引起振鈴的因子(z=-1附近的極點)，令其中的z=1。根據終值定理，這樣處理不影響輸出量的穩態值但瞬態特性會變化，數字控制器的動態性能也會影響。方法2：從保證閉環系統的特性出發，選擇合適的采樣周期T及系統閉環時間常數，使系統振鈴幅度抑制在最低限度內，數字控制器的輸出避免產生強烈的振鈴現象。

3.振鈴現象的消除7.4.3大林算法的設計步驟（1）根據系統的性能，確定閉環系統的參數（3）確定純