牛頓－萊布尼茲公式第五節微積分學基本公式

如果物體運動的速度函數為v=v(t)，那么，根據定積分的物理意義，在時間區間[a,b]內物體的位移s可以用定積分表示為

另一方面，如果已知該變速直線運動的路程函數為s=s(t)，則在時間區間[a,b]內物體的位移

s=s(b)–s(a)，一、問題的提出變速直線運動中位置函數與速度函數的聯系所以，有：由于，即s(t)是v(t)的原函數，這就是說，定積分等于被積函數v(t)的原函數s(t)在區間[a,b]上的增量s(b)–s(a).猜想二、變上限的定積分如果x是區間[a,b]上任意一點，定積分表示曲線y=f(x)在部分區間[a,x]上曲邊梯形AaxC的面積，如圖中陰影部分所示的面積.當x在區間[a,b]上變化時,陰影部分的曲邊梯形面積也隨之變化，所以變上限定積分yxy=f(x)axbOACB是上限變量x的函數.記作(x)，即≤≤(x)定理1若函數

f(x)在區間

[a,b]

上連續，則變上限的定積分在區間

[a,b]

上可導，并且它的導數等于被積函數在上限處的函數值，即證按導數定義，給自變量x以增量x，x+

x[a,b]，由(x)的定義得對應的函數(x)的量(x)，即(x)=(x+x)-

(x)x+xACbBy=f(x)xyxaO(x)根據積分中值定理知道，在x與x+

x之間至少存在一點x，(x)又因為f(x)在區間[a,b]上連續，所以，當x0時有xx，f(x)

f(x)，從而有(x)故使成立.定理1告訴我們，是函數f(x)在區間[a,b]上的一個原函數，這就肯定了連續函數的原函數是存在的，所以，定理1也稱為原函數存在定理.變上限定積分例1

求(x).解

根據定理1，得例2求函數當時的導數值.解例3

求(x).解

根據定理1，得例4

求F(x).解

根據定理1，得例5求

解例6求解分析：這是型不定式，應用洛必達法則.例7

求

解三、牛頓－萊布尼茲公式定理2

如果函數

f(x)在區間[a,b]上連續，F(x)是

f(x)在區間

[a,b]

上任一原函數，那么（微積分學基本公式）證由定理1知道f(x)在[a,b]上的一個原函數，又由題設知道F(x)也是f(x)在[a,b]上一個原函數，由原函數的性質得知，同一函數的兩個不同原函數只相差一個常數，即把x=a代入①式中，則，常數C=F(a)，于是得①≤≤令x=b代入上式中，移項，得再把積分變量t換成x，為了今后使用該公式方便起見，把②式右端的這樣②式就寫成如下形式：得②注意牛頓—萊布尼茨公式牛頓－萊布尼茨公式提供了計算定積分的簡便的基本方法，即求定積分的值，只要求出被積函數f(x)的一個原函數F(x)，然后計算原函數在區間[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.該公式把計算定積分歸結為求原函數的問題，揭示了定積分與不定積分之間的內在聯系.意義例8

計算解因為所以是的一個原函數，所以例9

計算解因為所以是的一個原函數，所以有例10

計算解

例11

計算解

例12求

解例13計算正弦曲線的面積.解:解：例14

設≤x≤0≤x≤因為(