第13頁第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1.一元二次方程的定義〔1〕一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．〔2〕概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是2．〔3〕判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后〞；“一個未知數〞；“未知數的最高次數是2〞；“二次項的系數不等于0〞；“整式方程〞．2.一元二次方程的一般形式〔1〕一般地，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕．這種形式叫一元二次方程的一般形式．

其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項；c叫做常數項．一次項系數b和常數項c可取任意實數，二次項系數a是不等于0的實數，這是因為當a=0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．

〔2〕要確定二次項系數，一次項系數和常數項，必須先把一元二次方程化成一般形式．3.一元二次方程的解〔1〕一元二次方程的解〔根〕的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．

〔2〕一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的兩實數根，那么以下兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．

ax12+bx1+c=0〔a≠0〕，ax22+bx2+c=0〔a≠0〕．一．選擇題〔共15小題〕1．以下方程是關于x的一元二次方程的是〔〕A．x2+=1 B．ax2+bx+c=0 C．〔x+1〕〔x+2〕=1 D．3x2﹣2xy﹣5y=02．以下方程中是一元二次方程的為〔〕A．x2+y=3 B．x2﹣2x+5=0 C． D．x﹣2y=93．假設關于x的方程〔a+1〕x2﹣2x﹣1=0是一元二次方程，那么a的取值范圍是〔〕A．a≠﹣1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠04．假設關于x的方程〔m﹣2〕x2+mx﹣1=0是一元二次方程，那么m的取值范圍是〔〕A．m≠2 B．m=2 C．m≥2 D．m≠05．假設方程〔m﹣1〕xm2+1﹣〔m+1〕x﹣2=0是關于x的一元二次方程，那么m的值為〔〕A．0 B．±1 C．1 D．﹣16．假設關于x的方程ax2﹣3x=2x2﹣2是一元二次方程，那么a的值不能為〔〕A．2 B．﹣2 C．0 D．37．將一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式為〔〕A．3x2﹣4x+2=0 B．3x2﹣4x﹣2=0 C．3x2+4x+2=0 D．3x2+4x﹣2=08．一元二次方程3x2﹣3x=x+2化為一般形式ax2+bx+c=0后，a、b、c的值分別是〔〕A．3、﹣4、﹣2 B．3、﹣3、2 C．3、﹣2、2 D．3、﹣4、29．假設關于x的一元二次方程〔m﹣2〕x2+3x+m2﹣3m+2=0的常數項為0，那么m等于〔〕A．0 B．1 C．2 D．1或210．將一元二次方程3x2+1=6x化為一般形式后，常數項為1，二次項系數和一次項系數分別為〔〕A．3，﹣6 B．3，6 C．3，1 D．3x2，﹣6x11．關于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一個根是0，那么a的值為〔〕A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．312．關于x的一元二次方程〔a﹣1〕x2+x+a2﹣1=0的一個根0，那么a值為〔〕A．1 B．﹣1 C．±1 D．013．假設x=1是方程ax2+bx+c=0的解，那么〔〕A．a+b+c=1 B．a﹣b+c=0 C．a+b+c=0 D．a﹣b﹣c=014．假設關于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，那么2023+2a﹣b的值是〔〕A．2023 B．2023 C．2023 D．202315．α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的兩個實數根，那么α3+8β+6的值為〔〕A．﹣1 B．2 C．22 D．30二．填空題〔共8小題〕16．假設〔m﹣2〕﹣mx+1=0是一元二次方程，那么m的值為．17．假設關于x的方程〔a+3〕x|a|﹣1﹣3x+2=0是一元二次方程，那么a的值為．18．一元二次方程3x〔x﹣3〕=2x2+1化為一般形式為．19．一元二次方程〔2+x〕〔3x﹣4〕=5的二次項系數是，一次項系數是，常數項是．20．一元二次方程x2+px﹣2=0的一個根為2，那么p的值．21．假設2n〔n≠0〕是關于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，那么m﹣n的值為．22．假設關于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一個根是2，那么m+n=．23．假設m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一個根，那么6m2﹣9m+2023的值為．三．解答題〔共7小題〕24．關于x的方程〔m2﹣1〕x2+〔m﹣1〕x﹣2=0．〔1〕當m為何值時，該方程為一元二次方程？〔2〕當m為何值時，該方程為一元一次方程？25．方程是一元二次方程，試求代數式m2+2m﹣4的值．26．把方程〔3x+2〕〔x﹣3〕=2x﹣6，化成一般形式，并寫出它的二次項系數，一次項系數和常數項．27．假設關于x的二次方程〔m+1〕x2+5x+m2﹣3m=4的常數項為0，求m的值．28．假設x=﹣2是關于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一個根，求a的值．29．2是關于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一個根，而這個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長．〔1〕求m的值；〔2〕求△ABC的周長．30．m是方程x2﹣x﹣2=0的一個實數根，求代數式〔m2﹣m〕〔m﹣+1〕的值．

參考答案與試題解析一．選擇題〔共15小題〕1．以下方程是關于x的一元二次方程的是〔〕A．x2+=1 B．ax2+bx+c=0 C．〔x+1〕〔x+2〕=1 D．3x2﹣2xy﹣5y=0【解答】解：A、x2+=1是分式方程，故此選項錯誤；B、ax2+bx+c=0〔a≠0〕，故此選項錯誤；C、〔x+1〕〔x+2〕=1是一元二次方程，故此選項正確；D、3x2﹣2xy﹣5y=0是二元二次方程，故此選項錯誤．應選：C．2．以下方程中是一元二次方程的為〔〕A．x2+y=3 B．x2﹣2x+5=0 C． D．x﹣2y=9【解答】解：A、x2+y=3，是二元二次方程，故此選項錯誤；B、x2﹣2x+5=0，是一元二次方程，故此選項正確；C、x2﹣=4是分式方程，故此選項錯誤；D、x﹣2y=9是二元一次方程，故此選項錯誤；應選：B．3．假設關于x的方程〔a+1〕x2﹣2x﹣1=0是一元二次方程，那么a的取值范圍是〔〕A．a≠﹣1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0【解答】解：由題意可知：a+1≠0，∴a≠﹣1應選：A．4．假設關于x的方程〔m﹣2〕x2+mx﹣1=0是一元二次方程，那么m的取值范圍是〔〕A．m≠2 B．m=2 C．m≥2 D．m≠0【解答】解：由題意，得m﹣2≠0，m≠2，應選：A．5．假設方程〔m﹣1〕xm2+1﹣〔m+1〕x﹣2=0是關于x的一元二次方程，那么m的值為〔〕A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【解答】解：由題意得：m2+1=2，m﹣1≠0，解得m=﹣1，應選：D．6．假設關于x的方程ax2﹣3x=2x2﹣2是一元二次方程，那么a的值不能為〔〕A．2 B．﹣2 C．0 D．3【解答】解：∵關于x的方程ax2﹣3x=2x2﹣2是一元二次方程，∴〔a﹣2〕x2﹣3x+2=0是一元二次方程，∴a﹣2≠0．∴a≠2．應選：A．7．將一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式為〔〕A．3x2﹣4x+2=0 B．3x2﹣4x﹣2=0 C．3x2+4x+2=0 D．3x2+4x﹣2=0【解答】解：方程整理得：3x2﹣4x+2=0，應選：A．8．一元二次方程3x2﹣3x=x+2化為一般形式ax2+bx+c=0后，a、b、c的值分別是〔〕A．3、﹣4、﹣2 B．3、﹣3、2 C．3、﹣2、2 D．3、﹣4、2【解答】解：一元二次方程3x2﹣3x=x+2化為一般形式ax2+bx+c=0后，3x2﹣4x﹣2=0，那么a=3，b=﹣4，c=﹣2．應選：A．9．假設關于x的一元二次方程〔m﹣2〕x2+3x+m2﹣3m+2=0的常數項為0，那么m等于〔〕A．0 B．1 C．2 D．1或2【解答】解：∵關于x的一元二次方程〔m﹣2〕x2+3x+m2﹣3m+2=0的常數項為0，∴m2﹣3m+2=0，m﹣2≠0，解得：m=1．應選：B．10．將一元二次方程3x2+1=6x化為一般形式后，常數項為1，二次項系數和一次項系數分別為〔〕A．3，﹣6 B．3，6 C．3，1 D．3x2，﹣6x【解答】解：一元二次方程3x2+1=6x化為一般形式是3x2﹣6x+1=0，各項的系數分別是：3，﹣6．應選：A．11．關于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一個根是0，那么a的值為〔〕A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一個根是0，∴02+a2﹣1=0，解得，a=±1，應選：C．12．關于x的一元二次方程〔a﹣1〕x2+x+a2﹣1=0的一個根0，那么a值為〔〕A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【解答】解：把x=0代入方程得：a2﹣1=0，解得：a=±1，∵〔a﹣1〕x2+x+a2﹣1=0是關于x的一元二次方程，∴a﹣1≠0，即a≠1，∴a的值是﹣1．應選：B．13．假設x=1是方程ax2+bx+c=0的解，那么〔〕A．a+b+c=1 B．a﹣b+c=0 C．a+b+c=0 D．a﹣b﹣c=0【解答】解：把x=1代入ax2+bx+c=0，可得：a+b+c=0；應選：C．14．假設關于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，那么2023+2a﹣b的值是〔〕A．2023 B．2023 C．2023 D．2023【解答】解：∵關于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，∴4a﹣2b+4=0，那么2a﹣b=﹣2，∴2023+2a﹣b=2023+〔2a﹣b〕=2023+〔﹣2〕=2023．應選：B．15．α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的兩個實數根，那么α3+8β+6的值為〔〕A．﹣1 B．2 C．22 D．30【解答】解：方法一：方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的兩個實數根，∴①當α=1+，β=1﹣時，α3+8β+6，=〔1+〕3+8〔1﹣〕+6，=16+8+8﹣8+6，=30；②當α=1﹣，β=1+時，α3+8β+6，=〔1﹣〕3+8〔1+〕+6，=16﹣8+8+8+6，=30．方法二：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的兩個實數根，∴α+β=2，α2﹣2α﹣4=0，∴α2=2α+4∴α3+8β+6=α?α2+8β+6=α?〔2α+4〕+8β+6=2α2+4α+8β+6=2〔2α+4〕+4α+8β+6=8α+8β+14=8〔α+β〕+14=30，應選：D．二．填空題〔共8小題〕16．假設〔m﹣2〕﹣mx+1=0是一元二次方程，那么m的值為﹣2．【解答】解：根據題意得：，解得：m=﹣2．故答案是：﹣2．17．假設關于x的方程〔a+3〕x|a|﹣1﹣3x+2=0是一元二次方程，那么a的值為3．【解答】解：由題意得：|a|﹣1=2，且a+3≠0，解得：a=3，故答案為：3．18．一元二次方程3x〔x﹣3〕=2x2+1化為一般形式為x2﹣9x﹣1=0．【解答】解：一元二次方程3x〔x﹣3〕=2x2+1化為一般形式為x2﹣9x﹣1=0，故答案為：x2﹣9x﹣1=0．19．一元二次方程〔2+x〕〔3x﹣4〕=5的二次項系數是3，一次項系數是2，常數項是﹣13．【解答】解：方程〔2+x〕〔3x﹣4〕=5整理為一般式可得3x2+2x﹣13=0，∴二次項系數是3，一次項系數是2，常數項是﹣13，故答案為：3、2、﹣13．20．一元二次方程x2+px﹣2=0的一個根為2，那么p的值﹣1．【解答】解：把x=2代入方程x2+px﹣2=0得4+2p﹣2=0，解得p=﹣1．故答案為：﹣1．21．假設2n〔n≠0〕是關于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，那么m﹣n的值為．【解答】解：∵2n〔n≠0〕是關于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，∴4n2﹣4mn+2n=0，∴4n﹣4m+2=0，∴m﹣n=．故答案是：．22．假設關于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一個根是2，那么m+n=﹣2．【解答】解：∵2〔n≠0〕是關于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一個根，∴4+2m+2n=0，∴n+m=﹣2，故答案為：﹣2．23．假設m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一個根，那么6m2﹣9m+2023的值為2023．【解答】解：由題意可知：2m2﹣3m﹣1=0，∴2m2﹣3m=1∴原式=3〔2m2﹣3m〕+2023=2023故答案為：2023三．解答題〔共7小題〕24．關于x的方程〔m2﹣1〕x2+〔m﹣1〕x﹣2=0．〔1〕當m為何值時，該方程為一元二次方程？〔2〕當m為何值時，該方程為一元一次方程？【解答】解：〔1〕∵關于x的方程〔m2﹣1〕x2+〔m﹣1〕x﹣2=0為一元二次方程，∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，即當m≠±1時，方程為一元二次方程；〔2〕∵關于x的方程〔m2﹣1〕x2+〔m﹣1〕x﹣2=0為一元一次方程，∴m2﹣1=0，且m﹣1≠0，解得m=﹣1，即當m為﹣1時，方程為一元一次方程．25．方程是一元二次方程，試求代數式m2+2m﹣4的值．【解答】解：根據題意得，m2﹣2=2且m﹣2≠0，解得m=±2且m≠2，所以，m=﹣2，所以，m2+2m﹣4=〔﹣2〕2+2×〔﹣2〕﹣4=4﹣4﹣4=﹣4．26．把方程〔3x+2〕〔x﹣3〕=2x﹣6，化成一般形式，并寫出它的二次項系數，一次項系數和常數